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江苏省2014届高考数学(文)三轮专题复习考前体系通关训练:倒数第9天


倒数第 9 天

函数与导数

[保温特训] 1.函数 y= 解析 1 的定义域是________. x+2 1 ≥0,解得 x>-2,故所求定义域是 x+2

要使函数有意义,则

(-2,+∞). 答案 (-2,+∞)

2.函数 y=f(x)是偶函数,则在点(-a,f(a))

、(-a,-f(-a))、(-a,-f(a))、 (a,-f(-a))中,一定在函数 y=f(x)图象上的点是________. 解析 上. 答案 (-a,f(a)) 当 x=-a 时,y=f(-a)=f(a),即点(-a,f(a))一定在函数 y=f(x)图象

3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是________. 解析 根据函数极大值与导函数的关系,借助二次函数图象求解.因为 f(x)

在 x=a 处取到极大值,所以 x=a 为 f′(x)的一个零点,且在 x=a 的左边有 f′(x)>0,右边有 f′(x)<0,所以导函数 f′(x)的开口向下,且 a>-1,即 a 的取值范围是(-1,0). 答案 (-1,0)

x ?e ,x<0 ? ?1?? ? 4.已知函数 f(x)= ,则 f?f?e??=________. ? ? ?? ?ln x,x>0

解析 答案

1 ? ?1?? ? 1? f?f?e ??=f?lne?=f(-1)=e-1=e. ? ? ?? ? ? 1 e

1 5. 已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1, f(1))处的切线方程是 y=2x+2, 则 f(1)+f′(1) =________. 解析 5 本小题主要考查导数的概念及几何意义.由题意易知 f(1)=2,f′(1)

1

1 =2. 答案 3

?log2 x,0<x<1, 6.函数 f(x)=? 的值域是________. ?-2?x-1??x-3?,x≥1 解析 0<x<1 时,值域为(-∞,0);x≥1 时,值域为(-∞,2],故原函数

的值域是(-∞,0)∪(-∞,2]=(-∞,2]. 答案 (-∞,2]

7.函数 f(x)=x-ln x 的单调递减区间为________. 解析 1 x-1 函数定义域是(0,+∞),且 f′(x)=1- x= x <0,解得 0<x<1,

所以递减区间是(0,1). 答案 (0,1)

8.设 a>0,a≠1,函数 f(x)=ax2+x+1 有最大值,则不等式 loga(x-1)>0 的解 集为________. 解析 因为 x2+x+1 有最小值,函数 f(x)=ax2+x+1 有最大值,所以 0<a

<1,所以 loga(x-1)>0=loga1?0<x-1<1, 解得 1<x<2. 答案 (1,2)

9.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的 解集为________. 解析 由 f′(x)>2 转化为 f′(x)-2>0,构造函数 F(x)=f(x)-2x,得 F(x)在 R

上是增函数,又 F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4,即 F(x)>4=F(- 1),所以 x>-1. 答案 (-1,+∞)

10.已知 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值为 10,则 a+b=________. 解析 f′(x) = 3x2 + 2ax + b , 当 x = 1 时 , 函 数 取 得 极 值 10 , 得

?f′?1?=3+2a+b=0, ?a=4, ?a=-3, ? 解得 ? 或? 当 a =- 3 , b = 3 2 ?f?1?=1+a+b+a =10, ?b=-11 ?b=3. 时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2 在 x=1 两侧的符号相同,所以 a=-3,b =3 不符合题意舍去.而 a=4,b=-11 满足 f′(x)在 x=1 两侧异号,故 a +b=-7.
2

答案

-7

11.设 g(x)是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在区间[3,4]时 的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[2,5]上的值域为________. 解析 当 x∈[2,3]时,x+1∈[3,4],所以 f(x+1)=x+1+g(x+1)=x+1+g(x)

∈[-2,5],所以 f(x)=x+g(x)∈[-3,4];当 x∈[4,5]时,x-1∈[3,4],所以 f(x -1)=x-1+g(x-1)=x-1+g(x)∈[-2,5],所以 f(x)=x+g(x)∈[-1,6],所 以 f(x)在区间[2,5]上的值域为[-3,6]. 答案 [-3,6]

12.设函数 f(x),g(x)的定义域分别为 M,N,且 M 是 N 真子集,若对任意的 x 1 ∈M, 都有 g(x)=f(x), 则称 g(x)是 f(x)的“拓展函数”. 已知函数 f(x)=3log2x, 若 g(x)是 f(x)的“拓展函数”,且 g(x)是偶函数,则符合条件的一个 g(x)的解 析式是________. 解析 1 由题意可知,x>0 时,g(x)=3log2x,又函数 g(x)是偶函数,故 x<0

1 1 时,g(x)=3log2(-x),所以 g(x)=3log2|x|. 答案 1 g(x)=3log2|x|(其它符合条件的函数也可以)

13.已知曲线 y=(a-3)x3+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,函数 f(x)=x3-ax2-3x +1 在[1,2]上单调递增,则 a 的取值范围为________. 解析 1 由已知条件可得方程 y′=3(a-3)x2+x =0(x>0), 即 3(a-3)x3+1=0 1 >0,解得 a<3,又由函数 f(x)=x3 3?a-3?

有大于 0 的实数根,即得 x3=-

-ax2-3x+1 在[1,2]上单调递增, 可得不等式 f′(x)=3x2-2ax-3≥0 在[1,2] 3? 1? 1 上恒成立,即得 a≤2?x- x?在[1,2]上恒成立,由函数 y=x- x在[1,2]上单调递 ? ? 增可得,该函数的最小值为 0,∴a≤0,综上可得实数 a 的取值范围为(-∞, 0]. 答案 (-∞,0]

14. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(-1)=0, 当 x>0 时, (x2+1)f′(x)-2xf(x) <0,则不等式 f(x)>0 的解集为________.
3

解析

?x2+1?f′?x?-2xf?x? ? f?x? ? 因为?x2+1?′= ,而(x2+1)f′(x)-2xf(x)<0,所 2 2 ? x + 1 ? ? ?

f?x? ? f?x? ? 以?x2+1?′<0,令 g(x)= 2 ,则函数 g(x)在(0,+∞)单调递减,且也为 x +1 ? ? 奇函数,g(-1)=-g(1)=0,作出函数 g(x)的大致示意图,由图可知 g(x)>0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1),即为不等式 f(x)>0 的解集. 答案 (-∞,-1)∪(0,1) [知识排查] 1.求解与函数有关的问题应注意定义域优先的原则. 2.判断函数奇偶性时,注意检验函数定义域是否关于原点对称. 3. 求函数单调区间时, 易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”; 单调区间不能用集合或不等式表示. 4.三个二次的关系和应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值,注意到对二次 项的系数和对称轴位置的讨论了吗? 5.函数图象的平移、方程的平移以及点的平移易混,应特别注意: (1)函数图象的平移为“左+右-,上+下-”; (2)方程表示图形的平移为“左+右-,上-下+”. 6.以下结论你记住了吗? (1)如果函数 f(x)满足 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)的图象关于 x=a 对称. (2)如果函数 f(x)满足 f(x-a)=f(x-b),那么函数 f(x)为周期函数,周期 T=|a -b|. 7.常见函数的求导公式及和、差、积、商的求导法则及复合函数的求导法则你 都记熟了吗? 8.“函数在极值点处的导数为 0”是否会灵活运用?

4


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