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三角函数专项训练(三)答案


三角函数专项训练三答案

三角函数专项训练三答案
1. (2010 年高考山东卷理科 17) (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)因为已知函数图象过点(

π 1 , ) ,所以有 6 2

1 1 ? ? 1 ?? ? ? sin 2 ? sin ? ? cos 2 cos ? ? sin ? ? ?

? ? 0<?<? ? ,即有 6 6 2 ?2 2 2 ?
1?


3 3 ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? 0<?<? ? = sin (? + ) ,所以 ? + ? ,解得 ? ? 。 2 2 3 6 6 2
Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知

??

?
3







1 ? ? 1 ?? ? ? f ? x ? ? sin 2 x sin ? cos2 x cos ? sin ? ? ? ? 0<?<? ? 2 3 3 2 ?2 3?
=

3 1 1 3 1 1+cos 2x 1 1 ? sin2x+ cos 2 x- = sin2x+ ? - = sin (2x+ ) , 4 2 4 4 2 2 4 2 6

1 ? π ? ? 7? ], sin (4x+ ) ,因为 x ? [0, ],所以 4x+ ? [ , 4 6 6 6 2 6 ? ? 1 ? 7? 1 所以当 4x+ ? 时, g ? x ? 取最大值 ;当 4x+ ? 时, g ? x ? 取最小值 ? 。 2 6 6 4 6 2
所以 g ? x ? = 【命题意图】 本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、 图象变换以及 三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。 2. (2010 年高考福建卷理科 19) (本小题满分 13 分) 【解析】如图,由(1)得

OC ? 10 3,AC=10,故OC >AC ,且对于线段AC上任意点P,有OP ? OC>AC, 而小艇的最
高航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小艇不可能在 A、C(包含 C)的任意位置相
? ? 遇,设 ?COD=? (0 <? <90 ),则在Rt ?COD中,CD ? 10 3 tan ? ,OD=

10 3 , cos ?

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t ?

10 ? 10 3 tan ? 10 3 和t ? , 30 v cos ?

所以

15 3 3 10 ? 10 3 tan ? 10 3 ,又v ? 30,故 sin (? +30? ) ? ? ,解得 v ? , ? sin (? +30 ) 2 30 v cos ?

从而 30? ? ? <90? ,由于? ? 30?时, ? 取得最小值,且最小值为 tan

3 ,于是 3

1

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当 ? ? 30 时, ? t
?

10 ? 10 3 tan ? 2 取得最小值,且最小值为 。 30 3

此时,在 ?OAB 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。 3 。(2010 年高考天津卷理科 17) (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、 两角和的正弦、 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力。
2 【解析】 (1)由 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ,得
?

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2cos2 x ?1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1

? ?? ?? ? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ? 2? ?2?

(2)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

?? 3 6 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 6? 5 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 。 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
4. (2010 年高考数学湖北卷理科 16) (本小题满分 12 分)

2

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5. (2010 年高考安徽卷理科 16) (本小题满分 12 分)

6. (2010 年高考广东卷理科 16)(本小题满分 14 分) 【解析】

3

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5 ? 3 3 3 1 . sin(2? ? ) ? , cos 2? ? , 1 ? 2sin 2 ? ? , sin 2 ? ? , sin ? ? ? 5 2 5 5 5 5

7.

( 2010 年高考全国卷 I 理科 17)(本小题满分 10 分)

17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中 的边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用. 【解析】

8. (2010 年高考四川卷理科 19) (本小题满分 12 分)

4

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9. (2010 年高考江苏卷试题 17) (本小题满分 14 分) [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)

H H h H ? tan ? ? AD ? ,同理: AB ? , BD ? 。 tan ? AD tan ? tan ? H H h h tan ? 4 ?1.24 ? ? ? ? 124 。 ,解得: H ? tan ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

AD—AB=DB,故得

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , , tan ? ? ? ? d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d d tan(? ? ? ) ? ? ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d

5

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d?

H ( H ? h) ( 取等号) ? 2 H ( H ? h) ,当且仅当 d ? H ( H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时, d

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。 10. (2010 年高考陕西卷理科 17) (本小题满分 12 分) 解 由题意知 AB= 海里, ∠ DAB=90°—45°=45°, ∴∠ =105°,在△ADB 中,有正弦定

∠ DA B=90°—60°=30°, ADB=180° —( 45° +30° ) 理得

11.(2010 年高考北京市理科 15)(本小题共 13 分) (15) (共 13 分)
www.@ks@5u.com

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解: (I) f ( ) ? 2cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4

(II) f ( x) ? 2(2cos2 x ?1) ? (1? cos2 x) ? 4cos x
2 = 3cos x ? 4 cos x ? 1

= 3(cos x ? ) 2 ? 因为 cos x ? [?1,1] ,

2 3

7 , x?R 3

所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x ) 取最大值 6;当 cos x ?

2 7 时, f ( x ) 取最小值 ? 3 3

6

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12.(2010 年高考江西卷理科 17) (本小题满分 12 分) 解: (1)当 m ? 0 时, f ( x) ? sin2 x ? sin x cos x

?
又由 x ? [

1 1 2 ? 1 (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

? 3?
8 4 ,

] 得 2x ?

?
4

?[0,

? 2 5? ,1] , ] ,所以 sin(2 x ? ) ?[? 4 2 4

从而 f ( x) ?

2 ? 1 1? 2 sin(2 x ? ) ? ?[0, ]. 2 4 2 2

(2) f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ?

m 1 ? cos 2 x 1 m cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 1 1 ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2 2sin ? cos ? 2 tan ? 4 由 tan ? ? 2 得 sin 2? ? ? ? , 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ?? , 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 5

所以

3 1 4 3 1 ? [ ? (1 ? m) ] ? ,得 m ? ?2 . 5 2 5 5 2
解: (Ⅰ)由已 知,根据正弦定理得 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即

13. (2010 年高考辽宁卷理科 17) (本小题满分 12 分)

a 2 ? b2 ? c 2 ? b c
由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A
……6 分



1 c o s ? ? ,A=120° A 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

s i n ? s iC ? B n

s Bn i?

sin(60 ? ?B

)

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 ……12 分

7

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14. (2010 年高考浙江卷理科 18) (本题满分 14 分) 本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ?

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= ?

a c ,得 ? sin A sin C

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

15.(2010 年高考全国 2 卷理数 17) (本小题满分 10 分) 【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

8

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【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题, 是近几年高考的热点, 在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角 或将边角互化. 16. (2010 年高考重庆市理科 16) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分.)

9

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