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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.1.1


第一章三角函数
1.1任意角和弧制

1.1.1

1.1.1 任意角
【学习要求】 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念. 2.掌握终边相同角的表示方法. 【学法指导】 1.解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”: 顶点、始边、终边和旋转方向. 2.确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量. 3.学习象限角时,注意角在直角坐标系中的放法,在这个统一前 提下,才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.

1.1.1

复习回顾
什么是角?范围是多大? 定义:有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 角的范围:0°~360°

初中定义


顶 点



1.1.1

跳水运动员向内、向外转体两周半,这是多大角度?

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1

1.角的概念 (1)角的概念:角可以看成平面内 一条射线 绕着 端点 从一个位置 旋转 到另一个位置所成的图形.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.1

(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:

类型 正角 负角 零角

定义 按 逆时针方向旋转 形成的角 按 顺时针方向旋转 形成的角 一条射线 没有作任何旋转 称它形成了一个零角 ,

图示

填一填·知识要点、记下疑难点
2.象限角

1.1.1

角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重 合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是

第几象限角 .如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角
不属于任何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集

360° ,k∈Z 合 S={β|β= α+k·

}, 即任一与角 α 终边相同

的角,都可以表示成角 α 与 整数个周角 的和.

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1.1.1

探究点一

角的概念的推广

我们在初中已经学习过角的概念,角可以看作从同一点 出发的两条射线组成的平面图形. 这种定义限制了角的范围, 也不能表示具有相反意义的旋转量. 因此, 从“旋转”的角度, 对角作重新定义如下:一条射线 OA 绕着端点 O 旋转到 OB 的位置所形成的图形叫作角,射线 OA 叫角的始边,OB 叫 角的终边,O 叫角的顶点.

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1.1.1

问题 1 正角、负角、零角是怎样规定的?
答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋

转形成的角叫做负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们 称它形成了一个零角.

问题 2

-240° ; 根据角的定义,图中角 α=120° ;β=

-α= -120°;-β= 240° ;γ= 480° .

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1.1.1

问题 3 经过 10 小时,分别写出时针和分针各自旋转所形成 的角.
答 经过 10 小时,时针旋转形成的角是-300° ,分针旋转形 成的角是-3 600° .

问题 4

如果你的手表快了 1.25 小时,只需将分针旋转多少度

就可以将它校准?
答 将分针旋转 450° 或-3 870° 即可校准. (顺时针转 11 周 少 90 度)

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探究点二 终边相同的角

1.1.1

今后我们常在直角坐标系内讨论角.为了讨论问题的方便, 我们使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重 合. 角的终边落在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角. 如 果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限. 按 照上述方法,在平面直角坐标系中,角的终边绕原点旋转 360° 后回到原来的位置.终边相同的角相差 360° 的整数倍.因此, 所有与角 α 终边相同的角(连同角 α 在内)的集合 S={β|β=α+ k· 360° ,k∈Z}. 根据终边相同的角的概念,回答下列问题:

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1.1.1

问题 1 已知集合 S={θ|θ=k· 360° +60° ,k∈Z},则-240°

? S,300°? S,-1 020°∈ S.(用符号:∈或?填空).
问题 2 集合 S={α|α=k· 360° -30° , k∈Z}表示与角 -30° 终边 相同的角,其中最小的正角是 330° . 问题 3 已知集合 S={α|α=45° +k· 180° ,k∈Z},则角 α 的终 边落在 第一或第三象限的角平分线 上.

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1.1.1

探究点三

象限角与终边落在坐标轴上的角

问题 1 终边落在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在 x 轴、y 轴各半轴上的角,请完成下表.
终边所在的位置 x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴 角的集合

{α|α=k· 360° ,k∈Z}
{α|α=k· 360° +180° ,k∈Z} {α|α=k· 360° +90° ,k∈Z} {α|α=k· 360° +270° ,k∈Z}

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1.1.1

问题 2 下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整.
α 终边所在 的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

角 α 的集合

{α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z}

{α|k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z}
{α|k· 360° +180° <α<k· 360° +270° ,k∈Z} {α|k· 360° -90° <α<k· 360° ,k∈Z}

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1.1.1

问题 3 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S.
答 S={α|α=k· 360° ,k∈Z}∪{α|α=k· 360° +180° ,k∈Z}

={α|α=2k· 180° ,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)· 180° ,k∈Z} ={α|α=n· 180° ,n∈Z}.

问题 4 写出终边落在 y 轴上的角的集合 T.
答 T = {β|β = 90° + 2k· 180° , k∈Z}∪{β|β = 90° + 180° +

2k· 180° ,k∈Z}={β|β=90° +2k· 180° ,k∈Z}∪{β|β=90° + (2k+1)· 180° ,k∈Z}={β|β=90° +n· 180° ,n∈Z}.

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【典型例题】 例1

1.1.1

在 0° ~360° 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并

判定它们是第几象限角. (1)-150° ;(2)650° ;(3)-950° 15′.



(1)因为-150° =-360° +210° ,所以在 0° ~360° 范围

内,与-150° 角终边相同的角是 210° 角,它是第三象限角. (2)因为 650° =360° +290° , 所以在 0° ~360° 范围内, 与 650° 角终边相同的角是 290° 角,它是第四象限角. (3) 因为- 950° 15′ =- 3×360° + 129° 45′ ,所以在 0° ~ 360° 范围内,与-950° 15′角终边相同的角是 129° 45′角, 它是第二象限角.

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1.1.1

小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系: β=α+k· 360° , k∈Z,把所给的角化归到 0° ~360° 范围内,然后利用 0° ~360° 范围内的角分析该角是第几象限角.

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1.1.1

跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内: (1)1 400° ; (2)-2 010° .

解 (1)1 400° =3×360° +320° ,∵320° 是第四象限角,
∴1 400° 也是第四象限角.
(2)-2 010° =-6×360° +150° ,∴-2 010° 与 150° 终边相同. ∴-2 010° 是第二象限角.

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1.1.1

例 2 写出终边落在直线 y=x 上的角的集合 S,并把 S 中适合 不等式-360° ≤β<720° 的元素 β 写出来.
解 直线 y=x 与 x 轴的夹角是 45° , 在 0° ~360° 范围内, 终 边在直线 y=x 上的角有两个:45° ,225° .因此,终边在直线 y=x 上的角的集合:

S={β|β=45° +k· 360° ,k∈Z}∪{β|β=225° +k· 360° ,k∈Z}
={β|β =45° +2k· 180° ,k∈Z}∪{β|β =45° + (2k+1)· 180° , k∈Z}={β|β=45° +k· 180° ,k∈Z}. ∴S 中适合-360° ≤β<720° 的元素是: 45° -2×180° =-315° ;45° -1×180° =-135° ; 45° +0×180° =45° ;45° +1×180° =225° ; 45° +2×180° =405° ;45° +3×180° =585° .

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1.1.1

小结

当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时,能合并

的尽量合并,注意,把最后角的集合化成简单的形式.

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1.1.1

跟踪训练 2 求终边在直线 y=-x 上的角的集合 S.

解 由于直线 y=-x 是第二、四象限的角平分线,在 0° ~360° 间所对应的两个角分别是 135° 和 315° ,
从而S={α|α=k· 360° +135° ,k∈Z}∪{α|α=k· 360° +315° , k∈Z}={α|α=2k· 180° +135° ,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)· 180° + 135° ,k∈Z}={α|α=k· 180° +135° ,k∈Z}.

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1.1.1

α 例 3 已知 α 是第二象限角,试确定 2α, 的终边所在的位置. 2

解 因为 α 是第二象限角, 所以 k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z. 所以 2k· 360° +180° <2α<2k· 360° +360° ,k∈Z,
所以 2α 的终边在第三或第四象限或终边在 y 轴的非正半轴上. 因为 k· 360° +90° <α<k· 360° +180° ,k∈Z, α 所以 k· 180° +45° <2<k· 180° +90° ,k∈Z, α 所以当 k=2n,n∈Z 时,n· 360° +45° <2<n· 360° +90° , α 即2的终边在第一象限;

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1.1.1

α 当 k=2n+1,n∈Z 时,n· 360° +225° < <n· 360° +270° , 2 α 即 的终边在第三象限. 2

α 所以2的终边在第一或第三象限.
小结 α α 若已知角 α 是第几象限角,判断2,3等是第几象限

角,主要方法是解不等式并对 k 进行分类讨论,考查角的 终边的位置.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1

1.-361° 的终边落在 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

( D )

2.下列各角中与 330° 角终边相同的角是 A.510° B.150° C.-150°

( D ) D.-390°

-60 3.经过 10 分钟,分针转了________ 度.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1

1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应 用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转 方向”决定角的“正负”, “旋转幅度”决定角的“绝对值 大小”. 2.关于终边相同角的认识 一般地,所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成 一个集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z},即任一与角 α 终边 相同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的和.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1

注意:(1)α 为任意角. (2)k· 360° 与 α 之间是“+”号,k· 360° -α 可理解为 k· 360° +(-α). (3)相等的角终边一定相同; 终边相同的角不一定相等, 终边相同的 角有无数多个,它们相差 360° 的整数倍. (4)k∈Z 这一条件不能少.

作业:第5页练习5,第9 页习题1.自做2、3、5


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