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漠南中学高二2中段考(理科)数学试题


漠南中学高二第二学期中段数学(理科)考试试题(A 卷)
出题人: 审题人:

一.选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1、函数 y ? x 2 在区间 [1,2] 上的平均变化率为( (A) 2 (B) 3 (B) 4 ) (D) 5

2 曲线 y ? x 3 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直

线 x ? 2 所围成的三角形的面积为 ( ) (A)
8 3

(B)

7 3

(C)

5 3

(D) )

4 3

3、设 1, a ? bi, b ? ai 是一等比数列的连续三项,则 a , b 的值分别为( (A) a ? ?
3 1 ,b ? ? 2 2 3 1 ,b ? 2 2 1 3 (B) a ? ? , b ? 2 2 1 3 (D) a ? ? , b ? ? 2 2

(C) a ? ?

4、数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,? 的第 50 项是( (A) 8 (B) 9

) (C)10 (D) 11

5、在证明 f ( x) ? 2 x ? 1 为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是 大前提;②增函数的定义是小前提;③函数 f ( x) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是小 前提;④函数 f ( x) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是大前提;其中正确的命题是 ( ) (A) ①② (B) ②④ (C) ①③ (D) ②③

6、对于函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ,给出下列四个命题:① f ( x) 是增函数,无极值; ② f ( x) 是减函数,有极值;③ f ( x) 在区间 (??,0] 及 [2,??) 上是增函数;④ f ( x) 有极大值为 0 ,极小值 ? 4 ;其中正确命题的个数为( (A) 1 (B) 2
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) (D) 4

(C) 3

7.5 名运动员争夺三个项目的冠军(不能并列),所有可能的结果共有( A.35 种 B.53 种 C.A3 4种 D.C3 4种

)

8.(2009· 辽宁)从 5 名男医生,4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队, 要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种 )

二.选择题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间 [?3,0] 上的最大值与最小值分别为: ____________。 10.物体 A 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 2t ? 1 ( v 的单位是 m / s ,t 的 单位是 s ) ,物体 B 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 1 ? 8t ,两个物体在相 距为 405 m 的同一直线上同时相向运动。则它们相遇时,A 物体的运动路程为: ______________________ 11、设 Z1 = i4 + i5+ i6+…+ i12 , Z 2 = i4 · i5 · i6·…· i12,则 Z1 , Z 2 关系为 。

12.函数 y ?

sin x 的导数为_________________; x
? ? ? ? 2

13.

2 2 如果 z ? a ? bi(a, b ? R, 且a ? 0) 是虚数,则 z , z , z , z , z , z ? z , z , z , z

是虚数的有

_______个,是实数的有

个,相等的有



14.甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周一,乙不值 周六,则可排出________种不同的值日表.

共8页

第2 页

三.解答题 (共 6 小题,80 分) 15. (本小题 14 分) 已知函数 y ? ax3 ? bx2 ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ; (1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的极小值。

16. (本小题 14 分)用数学归纳法证明 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

n(n ? 1)( 2n ? 1) , 6

(n ? N ? )

17. (本小题 12 分)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价为每天 180元时,房间会全部住满;房间单价增加10元,就会有一个房间空闲,如 果游客居住房间, 宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。 房间定价多少时, 宾馆利润最大?

18. (本小题 14 分)设 y ? f ( x) 是二次函数,方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根, 且 f ?( x) ? 2 x ? 2 . (1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2) 若直线 x ? ?t (0 ? t ? 1) 把 y ? f ( x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等 分,求 t 的值.
共8页 第3 页

19. (本小题 14 分)用 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字组成没有重复数字的四 位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被 5 整除的有多少个? (2)这些四位数中大于 6500 的有多少个?

20. (本小题 14 分)一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节 目单. (1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法? (2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?

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漠南中学高二第二学期中段数学(理科)考试试题(A 卷) 答题卡
姓名:____________ 一.选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 班级:_____________ 学号:___________

二.填空题 9.______________________________ 10._________________________

11._______________________________

12._________________________

13._______

_______

________

14.____________________________

三.解答题 (共 6 小题,80 分)
15. (本小题 12 分)

共8页

第5 页

16. (本小题 14 分)

17. (本小题 14 分)

共8页

第6 页

18. (本小题 12 分)

19. (本小题 14 分)

共8页

第7 页

20. (本小题 14 分)

共8页

第8 页

漠南中学高二第二学期中段数学(理科)考试试题(A 卷) 参考答案
一.选择题 1.答案: (B) 2.答案: (A) ;

? 3 a ? ? ? ?a ? b ? b ? 2 (b ? ai) 2 ? a ? bi ? ? ?? 2 ab ? a 1 ? ?b ? ? 2 ? 3.答案: (C ) ;由
2 2

4.答案: (C) 5.答案: (C) 6. 答案: (B) ;其中命题③与命题④是正确的。 7 答案:A 答案:A

1 1 2 8.解析:C2 5C4+C5C4=70.

二.填空题 9.答案: 3,?17 ;
72 m ; 10. 答案: 提示, 设运动 ts 时两物体相遇, 那么 ? (2t ? 1)dt ? ? (1 ? 8t )dt ? 405
0 0 t t

得 t ? 9 ,由于 ? ( 2t ? 1) dt ? 72 ,得相遇时 A 物体运动 72 m ;
0

9

11.相等

12.

x cos x ? sin x x2

y' ?
? ?

(sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x ? x2 x2
? ? 2

13 . 4, 5, 3
? ?

z , z , z , z 2 四 个 为 虚 数 ; z , z , ?z z ,
?

z 2, 五 z 个 为 实数 ;

z ? z, z ? z , z ? z ? z 三组相等

2

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第9 页

2 2 14.解析:解法一:甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班共有 C2 6C4C2 2 2 1 2 2 种排法;甲值周一的共有 C1 5C4C2种排法;乙值周六的共有 C5C4C2种排法,甲值 2 1 2 2 1 2 周一且乙值周六的共有 C1 因此满足条件的排法共有 C2 4C3C1种排法. 6C4C2-2C5C4 1 2 1 C2 2+C4C3C1=42(种). 1 2 2 2 1 2 解法二:C4 C4C2+C4 C3C2=42.

答案:42 三.解答题

15.解: (1) y ' ? 3ax2 ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,

?3a ? 2b ? 0 即? , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
(2) y ? ?6x3 ? 9x2 , y' ? ?18x2 ? 18x ,令 y' ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0
16.证明: 10 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ?
20
(1 ? 1)(2 ? 1) ? 1 ,即原式成立 6 k (k ? 1)(2k ? 1) 假设当 n ? k 时,原式成立,即 12 ? 22 ? 32 ? ? k 2 ? 6 k (k ? 1)(2k ? 1) ? ( k ? 1) 2 当 n ? k ? 1 时, 12 ? 22 ? 32 ? ? k 2 ? (k ? 1) 2 ? 6

k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1) 2 (k ? 1)(2k 2 ? 7 k ? 6) ? 6 6 (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) ? 6 ?

即原式成立
?12 ? 22 ? 32 ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) , 6

17.解:设每个房间每天的定价为 x 元,那么宾馆利润
L( x) = (50 ?
x ? 180 )( x ? 20) 10

1 2 x ? 70 x ? 1360 ,180 ? x ? 680 . 10 1 令 L' ( x) ? ? x ? 70 ? 0, 解得 x ? 350 . 5

=?

共8页

第 10 页

当 x ? (180,350) 时, L' ( x) ? 0, 当 x ? (180,680) 时 L' ( x) ? 0 因此, x ? 350 时是函数 L( x) 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的 定价为 350 元时,宾馆利润最大 18.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 则 f ?( x) ? 2ax ? b . 由已知 f ?( x) ? 2 x ? 2 ,得 a ? 1 , b ? 2 .

? f ( x) ? x2 ? 2x ? c .
又方程 x 2 ? 2 x ? c ? 0 有两个相等的实数根,
?? ? 4 ? 4c ? 0 ,即 c ? 1 .

故 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ; (2)依题意,得 ? ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)dx ,
?1 ?t ?t 0

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?

?t ?1

?1 ? ? ? x3 ? x 2 ? x ? ?3 ?

0 ?t



整理,得 2t 3 ? 6t 2 ? 6t ? 1 ? 0 ,即 2(t ?1)3 ? 1 ? 0 ,
?t ? 1 ? 1 . 3 2

19.[解析]

1 (1)偶数的个位数只能是 2、4、6 有 A3 种排法,其它位上有 A3 6种排

1 3 法,由分步乘法计数原理知共有四位偶数 A3 · A6=360 个;能被 5 整除的数个位 3 必须是 5,故有 A6 =120 个.

(2)最高位上是 7 时大于 6500,有 A3 6种,最高位上是 6 时,百位上只能是 7 或 5,故有 2× A2 5种.∴由分类加法计数原理知,这些四位数中大于 6500 的共有
3 A6 +2A2 5=160 个.

20.[解析]

2 (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A5 种排法,

共8页

第 11 页

6 再将剩余的 3 个演唱节目, 3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A6 种排法, 故共 2 6 有 A5 A6种排法.

(2)先不考虑排列要求,有 A8 8种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况, 可先从 5 个演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置, 然后将剩余四个节目排列在
4 4 4 4 后四个位置, 有 A5 A4种排法, 所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A8 8-A5A4)

种.

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