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2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《曲线与方程》


2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

“曲线与方程”教学设计
一、教学内容:人教版选修 2—1 第二章第一节:曲线与方程 二、教材分析 曲线属于“形”的范畴,方程则属于“数”的范畴,它们通过直角坐标系而联 系在一起,曲线的方程是曲线几何的一种代数表示,方程的曲线则是代数的一种 几何表示。在直角坐标系中,点可由它的坐标来表示,而曲线是点的轨迹,所以 曲线可用含 x、y 的方程来表示。“曲线和方程”这节教材,揭示了几何中的“形” 与代数中的“数”的统一,为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基 础,对解析几何教学有着深远的影响,曲线与方程的相互转化,是数学方法论上 的一次飞跃。 由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容, 因而学生用解析法研究 几何图形的性质时,只有透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析几何 学习的入门之径。求曲线与方程的问题,也贯穿了这一章的始终,所以应该认识 到,本节内容是解析几何的重点内容之一。本节中提出的曲线与方程的概念,它 既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化,又 是学习圆锥曲线的理论基础,它贯穿于研究圆锥曲线的全过程,根据曲线与方程 的对应关系, 通过研究方程来研究曲线的几何性质, 是几何的研究实现了代数化。 数与形的有机结合,在本章中得到了充分体现。 ●教学目标: 1.通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程,初步理解曲线 的方程和方程的曲线的概念。 2.理解曲线的方程与方程的曲线的概念和集合相等的关系、渗透转化与化 归的思想与数形结合的思想 。 3.培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质, 以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神。 ●教学重点 理解曲线的方程和方程的曲线的概念。 ●教学难点 对曲线与方程对应关系的理解。 ●学情分析 新课标强调返璞归真,努力揭示数学概念、结论的发展背景,过程和本质, 揭示人们探索真理的道路。本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知 识的基础上,使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程,体会孕 育在其中的思想,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。为突破曲 线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的 方程”,“ 圆的方程”入手,以集合相等,辅助理解 “曲线的方程”与“方程的曲 线”,进一步强化了概念理解的深刻性。无论是判断、证明,还是求解曲线的方 程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两条为准则。

2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

教学过程设计 教学步骤 教师活动 学生活动 一、情景引入 幻灯片展示:现实生活中飞逝 的流星,雨后的彩虹,古代的 教 师 引 出 课 观看图片并 石拱桥和现代繁华都市的立交 题 回答 桥的图片 二、探究问题,引出概念 问题一 (1)平面直角坐标系中,第一、 三象限角平分线方程是 y ? x吗 ? 为什么?你能用集合的知识加 以阐述吗? (2)方程|y|=|x|是上述直线的方 程吗? (3)以上两个方程不是直线的 方程,那么你们能找出第一、 三象限角平分线的方程吗? 问题二 圆心在 C(1,2),半径为 2 的圆的
2 2 方 程 是 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4

设计意图 激发兴趣, 将课件 中的图片抽象成 曲线, 体现出 “数” 控制“形”的变化

从学生已学知识 为切入点, 引起学 生的关注, 引发数 引 导 学 生 回 学生思考问 学思考, 鼓励学生 顾 直 线 的 方 题,并回答 发 现 数 学 的 规 律 程,圆的方程 和问题解决的途 和集合的相 径, 使他们经历知 关知识 识形成的过程。 使 学生不断地经历 直观感知、 观察发 现、归纳类比、空 间想像、抽象概 括、 反思与建构等 思维过程。

吗? 三、归纳,生成概念 曲线的方程、方程的曲线的定 义: 一般地, 在平面直角坐标系中, 如果某曲线 C(看作点的集合 或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个二元方程
f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如

鼓励学生归 纳出曲线的 方程、方程的 曲线的定义

结 合 问 题 一、问题二 尝试归纳, 生成概念

下的关系: (1) 曲线上的点的坐标都是方 程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的 点都是曲线上的点; 那么,这个方程叫做曲线的方 程, 这条曲线叫做方程的曲线。 四、通过运用,巩固概念 练习

由特殊到一般, 从 简单到复杂, 使新 知的建构顺畅和 自然, 既体现在教 师引导下学生自 我建构, 又使学生 感到知识之间并 不是孤立的, 而是 相互联系的, 他们 是一个相互联系 的、 密切相关的整 体。

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1、过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线方程是|x|=2 吗?为 什么? 学生回答,老 师点评。 2、 到两坐标轴等距离的点的轨 迹方程是 y=x 吗?为什么? 例 1:证明与两条坐标轴的距 离的积是常数 k(k>0)的点的轨 迹方程是 xy ? ? k 五、课堂小结 1、 曲线的方程和方程的曲线的 概念 通过本节学习,要理解曲线的 方程和方程的曲线的概念,曲 线 C 和方程 f(x,y)=0 必须满 足两个条件。曲线的方程和方 程的曲线是同一个概念,相对 不同角度的两种说法,曲线与 提问 方程的这种对应关系,是通过 平面直角坐标系建立的,曲线 和方程之间的对应关系,实质 上是曲线 C 上点的坐标与方程 的解之间的对应关系问题。以 及用集合相等来辅助理解曲线 的方程和方程的曲线的概念。 2、基本思想与方法 数形结合的思想 , 转化与化 归的思想 六、布置作业 1.举出一个曲线的方程的例 子. 2.举出一个方程与一条曲线, 幻灯片展示 使它们之间符合关系(1)而不 符合关系(2). 3.举出一个方程与一条曲线, 使它们间符合关系(2)而不符 合关系(1).

学生思考、 回答,学生 之间互相补 充。

数学概念是要在 运用中得以巩固, 通过练习, 可以纠 正错误的认识, 促 使对概念的正确 理解,

学生归纳整 让 学 生 回 顾 、 总 理并回答 结、联系、整合、 提高认识、理解。 学生补充

巩固所学知识


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