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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 拓展资料:用辨证的观点学导数


拓展资料:用辨证的观点学导数
导数的重要性是人所共知的.它不仅仅应用于数学、物理、化学,而且在天 文、地理、经济等科学领域中也有非常广泛而重要地应用;学好它是应该的也是 必须的.但这个内容与我们前面学习的东西又有很大的区别,如何理解它呢?只 要你能辨证的看问题也许就不难了.下面我们看几个例题: 例1 自由落体的瞬时速度问题

我 们 知 道 自 由

落体 运 动 是 一 种 变 速 运动 , 它 的 下 落 高 度
h? 1 2 .如图,当物体 gt ( g 为自由落体加速度, t 为下落的时间) 2

从点 A 处自由下落时,由 B 到 C 的过程是变速的,但当 ?h 很小时, 我们可以把它看成是匀速运动. 若由 B 到 C 的时间为 ?t , 则此时的
1 1 g (t ? ?t )2 ? gt 2 ?h 2 1 2 ? ? gt ? ?t .由于 ?t 很小,当 ?t ? 0 速度为 v ? ?t ?t 2

时,点 B 与点 C 将无限接近,当趋于一点时,就得到了我们平时用的自由落体的瞬 时速度公式 v ? gt . 例2 交流电的瞬时电流强度问题

由物理知识我们知道,对于直流电,单位时间内流过导线截面的电量叫做电 流强度.设 t 从 t 0 变到 t0 ? ?t 时,通过导线截面的电量为 ?q ,电流强度公式为:电 流强度 ?
?q . ?t

对于交流电,电量是随时间变化的.设电量 q 与时间 t 的关系为 q ? q (t ) ,当 t 从
t 0 变到 t0 ? ?t 时,电量为 ?q ? q(t0 ? ?t ) ? q(t0 ) ,从而电流强度 ?

?q q(t0 ? ?t ) ? q(t0 ) , ? ?t ?t

显然,这只是在时间段 ?t 内的平均电流强度.当 ?t 很小,即 ?t ? 0 时,t0 ? ?t ? t0 , 此时,就得到了 t 0 时的瞬时电流强度. 例3 非均匀细棒的密度问题

所谓细棒是指棒的横断面很小,且在任何部位的横断面面积都相等.如果棒 的任何长度相等的两段质量都相等,就说棒是均匀的,否则,棒就是非均匀的.因 此,非均匀细棒有的地方质量分布较密、有的地方质量分布较疏.对于均匀的细

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棒的密度可用公式: 密度 ?

质量 长度

,来计算.

下面我们来探求非均匀细棒的密度.设棒的一端为 A,棒上的任意一点为 P, 且 PA ? x,PA 段 的 质 量 记 为 p ? p( x) , 当 PA 由 x 变 到 x ? ?x 时 , 质 量 的 改 变 量
?p ? p( x ? ?x) ? p( x) ,则此时的密度 ?

p( x ? ?x) ? p( x) ,显然,这是由 x 到 x ? ?x 的平 ?x

均密度.当 ?x 很小,即 ?x ? 0 时, x ? ?x ? x ,此时,就得到了 P 处的密度. 可以看出:以上三例的处理方式很相近,无论是“当 ?h 很小时,我们可以把它 看成是匀速运动”, 还是“这只是在时间段 ?t 内的平均电流强度”、 “这是由 x 到 x ? ?x 的平均密度”都是一个辨证的过程,在这个辨证的过程中,量变促使了质变

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