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黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


黑龙江省大庆市铁人中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1. (5 分)已知集合 A={1,2},B={x|ax﹣2=0},若 B?A,则 a 的值不可能是() A.0 B.1 C .2 D.3 2. (5 分)sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值为() A. B. C. D.

3. (5 分)点 P(sin2014°,tan2014°)位于() A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4. (5 分)已知 0<a<1,logam<logan<0,则() A.1<n<m B.1<m<n C.m<n<1 5. (5 分)下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()

D.n<m<1

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知映射 f:A→B,其中法则 f: (x,y,z)→(2x+y,y﹣z,3|z|+5) .若 B={(4,1,8)}, 则集合 A 可以为()

A.{(1,2,1)} B. {(1,2,1)}或{(2,0,﹣1)} C. {(2,0,﹣1)} D.{(1,2,1)}或{(2,0,﹣1)}或{(1,2,1) , (2,0,﹣1)}

7. (5 分)若向量 =(1,1) , =(﹣1,1) , =(4,2) ,则 =() A.3 + B.3 ﹣ C.﹣ +3 D. +3

8. (5 分)若 sin2θ=1,则 tanθ+ A.2 B.﹣2

的值是() C.±2 D.

9. (5 分)向量 =(1,2) , =(1,1) ,且 与 a+λ 的夹角为锐角,则实数 λ 满足() A.λ<﹣ B.λ>﹣ C.λ>﹣ 且 λ≠0 D.λ<﹣ 且 λ≠﹣5

10. (5 分)将函数 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是() A. B.

的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象 C. D.

11. (5 分)设 、 、 是单位向量,且 A.﹣2 B. ﹣2
2

,则 C.﹣1

?

的最小值为() D.1﹣

12. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +2ex﹣x﹣ 取值范围是() 2 A.(﹣e +2e,0)
2

+m (x>0) ,若 f(x)=0 有两个相异实根,则实数 m 的
2 2

B.(﹣e +2e,+∞)

C.(0,e ﹣2e)

D.(﹣∞,﹣e +2e)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 y=3sin(ωx+ ) (ω≠0)的最小正周期是 π,则 ω=.

14. (5 分)已知函数

,若 f(x0)≥2,则 x0 的取值范围是.

15. (5 分) (1+tan1°) (1+tan2°) (1+tan3°)…(1+tan44°) (1+tan45°)=.

16. (5 分)已知函数 f(x)满足下面关系: (1)f(x+

)=f(x﹣

) ; (2)当 x∈(0,π]时,f(x)=

﹣cosx, 则下列说法中,正确说法的序号是(把你认为正确的序号都填上) ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)是奇函数; ③函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; ④方程 f(x)=lg|x|解的个数是 8.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2 17. (10 分)已知 tan α,tan β 分别是方程 6x ﹣5x+1=0 的两个实根,且 α∈,β∈,求 α+β 的值.

18. (12 分)已知函数 f(x)=

的定义域为集合 A,函数 g(x)=3

﹣1 的值

域为集合 B,且 A∪B=B,求实数 m 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 上相邻两个最高点的距离为 π. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求 f(x)在 上的最大值和最小值. ≤φ< )的图象关于直线 x= 对称,且图象

20. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间.

sin(2x+

)+6sinxcosx﹣2cos x+1,x∈R.

2

21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域.



22. (12 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) ,

,记 F(x)=2f(x)+g(x) .

(1)求函数 F(x)的定义域及其零点; 2 (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣2m +3m+5=0 在区间上连续不断,并且有 f(a)?f(b)<0.即函数图象 连续并且穿过 x 轴. 解答: 解:能用二分法求零点的函数必须在给定区间上连续不断,并且有 f(a)?f(b)<0 A、B 中不存在 f(x)<0,D 中函数不连续. 故选 C. 点评: 本题考查了学生的识图能力,是基础题.

6. (5 分)已知映射 f:A→B,其中法则 f: (x,y,z)→(2x+y,y﹣z,3|z|+5) .若 B={(4,1,8)}, 则集合 A 可以为() A.{(1,2,1)} B. {(1,2,1)}或{(2,0,﹣1)} C. {(2,0,﹣1)} D.{(1,2,1)}或{(2,0,﹣1)}或{(1,2,1) , (2,0,﹣1)} 考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 由题意知,

;从而解出集合 A.

解答: 解:由题意知,



故 x=1,y=2,z=1,或 x=2,y=0,z=﹣1; 故集合 A 可以为 {(1,2,1)}或{(2,0,﹣1)}或{(1,2,1) , (2,0,﹣1)}; 故选 D. 点评: 本题考查了映射的概念的应用,属于基础题.

7. (5 分)若向量 =(1,1) , =(﹣1,1) , =(4,2) ,则 =() A.3 + B. 3 ﹣ C.﹣ +3 D. +3

考点: 平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 设 =λ +μ ,由 =(4,2) ,用待定系数法求出 λ 和 μ,可得结果.

解答: 解:设

=λ +μ

=(λ,λ)+(﹣μ,μ)=(λ﹣μ,λ+μ )=(4,2) ,∴λ﹣μ=4,λ+μ=2, ,

∴λ=3,μ=﹣1,可得

故选 B. 点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,两个向量坐标形式的运算.

8. (5 分)若 sin2θ=1,则 tanθ+ A.2 B. ﹣2

的值是() C.±2 D.

考点: 三角函数的化简求值.

专题: 三角函数的求值. 分析: 依题意,将所求关系式中的“切”化“弦”,通分后,利用同角三角函数间的关系式即可求得答案. 解答: 解:∵sin2θ=1, ∴tanθ+ = + = = =2,

故选:A. 点评: 本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数间的关系式的应用,属于基础题.

9. (5 分)向量 =(1,2) , =(1,1) ,且 与 a+λ 的夹角为锐角,则实数 λ 满足() A.λ<﹣ B.λ>﹣ C.λ>﹣ 且 λ≠0 D.λ<﹣ 且 λ≠﹣5

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 ?(a+λ )=1+λ+2(2+λ)>0,解不等式去掉向量同向的情形即可. 解答: 解:∵ =(1,2) , =(1,1) , ∴a+λ =(1+λ,2+λ) , ∵ 与 a+λ 的夹角为锐角, ∴ ?(a+λ )=1+λ+2(2+λ)>0, 解得 λ>﹣ , 但当 λ=0 时, 与 a+λ 的夹角为 0°,不是锐角,应舍去, 故选:C 点评: 本题考查数量积表示两向量的夹角,去掉同向是夹角问题的关键,属基础题. 10. (5 分)将函数 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是() A. B. 的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象 C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 函数解析式提取 2 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规 律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于 y 轴对称,即可求出 m 的最小值. 解答: 解:y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x+ ) , ) ,

∴图象向左平移 m(m>0)个单位长度得到 y=2sin=2sin(x+m+

∵所得的图象关于 y 轴对称, ∴m+ =kπ+ (k∈Z) , .

则 m 的最小值为

故选 B 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟练掌握公式 是解本题的关键.

11. (5 分)设 、 、 是单位向量,且 A.﹣2 B. ﹣2

,则 C . ﹣1

? D.1﹣

的最小值为()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 压轴题. 分析: 由题意可得 cos =1﹣ = cos ,故要求的式子即 ﹣( )? + =1﹣

,再由余弦函数的值域求出它的最小值. ,∴ )? + , = .

解答: 解:∵ 、 、 ∴ cos =1﹣ cos ?

是单位向量, = ﹣(

=0﹣(

)? +1=1﹣





故选项为 D 点评: 考查向量的运算法则;交换律、分配律但注意不满足结合律.
2

12. (5 分)已知函数 f(x)=﹣x +2ex﹣x﹣ 取值范围是() 2 A.(﹣e +2e,0)
2

+m (x>0) ,若 f(x)=0 有两个相异实根,则实数 m 的
2 2

B.(﹣e +2e,+∞) C.(0,e ﹣2e)

D.(﹣∞,﹣e +2e)

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 函数 f(x)=﹣x +2ex﹣x﹣
2

+m 可化为 m=x ﹣2ex+x+

2

,从而求导

m′=

;从而可得.
2 2

解答: 解:函数 f(x)=﹣x +2ex﹣x﹣

+m 可化为 m=x ﹣2ex+x+



m′=
2



故 m=x ﹣2ex+x+

在(0,e)上是减函数,

在(e,+∞)上是增函数; 若使 f(x)=0 有两个相异实根, 2 则 m>﹣e +2e; 故选 B. 点评: 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 y=3sin(ωx+ ) (ω≠0)的最小正周期是 π,则 ω=±2.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期性及其求法即可求值. 解答: 解:∵y=3sin(ωx+ ∴T= =π, ) ,

∴可解得:|ω|=2,即 ω=±2, 故答案为:±2. 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,属于基础题.

14. (5 分) 已知函数

, 若f (x0) ≥2, 则 x0 的取值范围是 x0≤﹣1 或 x0≥2.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数恒成立问题. 专题: 压轴题. 分析: 分 x≤0 和 x>0 两种情况求解. x0≤0 时, f (x0) = ≥2,分别求解. 解答: 解:x0≤0 时,f(x0)= = ≥2,则 x0≤﹣1, = ≥ 2; x0>0 时, f (x) =log2 (x0+2)

x0>0 时,f(x0)=log2(x0+2)≥2,解得 x0≥2 所以 x0 的范围为 x0≤﹣1 或 x0≥2 故答案为:x0≤﹣1 或 x0≥2 点评: 本题考查分段函数、解不等式、指对函数等知识,属基本题. 15. (5 分) (1+tan1°) (1+tan2°) (1+tan3°)…(1+tan44°) (1+tan45°)=2 .
23

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先利用两角和的正切公式求得 (1+tan1°) (1+tan44°) =2, 同理可得, (1+tan2°) (1+tan43°) = (1+tan3°) (1+tan42°)=(1+tan4°) (1+tan41°)=…=(1+tan22°) (1+tan23°)=2,而(1+tan45°)=2,从而求得要求 式子的结果. 解答: 解:∵(1+tan1°) (1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°?tan44° =1+tan(1°+44°)+tan1°?tan44°=2. 同理可得, (1+tan2°) (1+tan43°)=(1+tan3°) (1+tan42°) =(1+tan4°) (1+tan41°)=…(1+tan22°) (1+tan23°)=2, 而(1+tan45°)=2, 23 故(1+tan1°) (1+tan2°) (1+tan3°)…(1+tan44°) (1+tan45°)=2 , 23 故答案为 2 . 点评: 本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于中档题. ) ; (2)当 x∈(0,π]时,f(x)=

16. (5 分)已知函数 f(x)满足下面关系: (1)f(x+

)=f(x﹣

﹣cosx, 则下列说法中,正确说法的序号是①④(把你认为正确的序号都填上) ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)是奇函数; ③函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; ④方程 f(x)=lg|x|解的个数是 8. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件可得函数 f(x)是正确为 π 的函数,先画出当 x∈(0,π]时 f(x)=﹣cosx 的图象, 进而据周期再画出定义域内的图象;根据偶函数的性质可画出函数 f(x)=lg|x|,即可得出答案. 解答: 解:由 f(x+ )=f(x﹣ )可知:

f(x+π)=f=f=f(x) , 即函数 f(x)是周期为 π 的周期函数, 再根据条件:当 x∈(0,π]时 f(x)=﹣cosx,画出图象:

∵f(0)=f(π)=1≠0,∴函数 f(x)不是奇函数; 根据图象可知:函数 f(x)的图象关于 y 轴不对称; 方程 f(x)=lg|x|的解的个数是 8. 综上可知:只有①④正确.

故答案为:①④. 点评: 本题综合考查了函数的周期性、单调性及函数的交点,利用数形结合并据已知条件正确画出图象 是解题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)已知 tan α,tan β 分别是方程 6x ﹣5x+1=0 的两个实根,且 α∈,β∈,求 α+β 的值. 考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得:tanα+tanβ= ;tanαtanβ= ,从而可求 tan(α+β)=1,根据角的范围即可求 α+β 的 值. 解答: 解:由题意可得:tanα+tanβ= ;tanαtanβ= , 显然 α ,β ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)
2

又 tan(α+β)=

=

=1 且 α+β∈,

故 α+β=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

点评: 本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用,解题时要注意分析角的范围,属于基本知识 的考查.

18. (12 分)已知函数 f(x)=

的定义域为集合 A,函数 g(x)=3

﹣1 的值

域为集合 B,且 A∪B=B,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对数式中真数应大于 0,偶次被开方数大于等于 0,求出集合 A,又 A 是 B 的子集,根据指数运 算求出 m 的取值范围. 解答: 解: ,得 1<x≤2,即 A=(1,2],
1+m

又 g(x)=3

﹣1=

,即 B=(0,3

﹣1],

∵A∪B=B,∴A?B, 1+m ∴3 ﹣1≥2 解得 m≥0, ∴m 的取值范围为 解答: 解: (I)∵函数 f(x)图象上相邻两个最高点的距离为 π, ∴?(x)的最小正周期 T=π,∴ω= =2,

又∵f(x)图象关于直线 x= ∴2× ∵﹣ +φ=kπ+ ≤φ< ,k∈Z, ,∴φ=﹣ ) ; ,

对称,

∴f(x)=2sin(2x﹣

(II)由(I)知 f(x)=2sin(2x﹣ ∵x∈ ∴ ∴ ,∴2x﹣ ∈, ,

) ,

点评: 本题考查三角函数的图象和性质,涉及三角函数的对称性和最值,属中档题. )+6sinxcosx﹣2cos x+1,x∈R.
2

20. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间.

sin(2x+

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)将函数进行化简,根据三角函数的周期公式即可求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求 f(x)的单调递增区间. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=﹣ 则求 f(x)的最小正周期 T= (Ⅱ)由 2kπ 解得 kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ sin(2x+ ; ,k∈Z, )+6sinxcosx﹣2cos x+1=2sin2x﹣2cos2x=2
2

sin(2x﹣

) ,

≤x≤kπ+

,k∈Z,

故 f(x)的单调递增区间.k∈Z. 点评: 本题主要考查三角函数的周期和单调区间的求解,利用三角函数的三角公式将函数化简是解决本 题的关键.

21. (12 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)求函数 f(x)的值域.



考点: 函数奇偶性的判断;函数的值域.

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (I)求出函数的定义域,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可判断奇偶性; (Ⅱ)令 t=3 ,则 t>0,转化为 t 的函数,运用分离变量,结合不等式的性质,即可得到所求值域. 解答: 解: (I) f(x)的定义域为 R, ∵ (Ⅱ)令 t=3 ,则 t>0,
x x

,∴f(x)是奇函数;





∵t>0,∴t +1>1, 即 ,

2



∴函数 f(x)的值域为(﹣1,1) . 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断和值域的求法,考查定义法和指数函数的值域的应用,考查运算能 力,属于基础题. 22. (12 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) , (1)求函数 F(x)的定义域及其零点; 2 (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣2m +3m+5=0 在区间, ∴只需 2m ﹣3m﹣5≤0 解得: 综上所述,当 0<a<1 时: 当 a>1 时,m≤﹣1,或 .
2

,记 F(x)=2f(x)+g(x) .

, ;

点评: 本题考查了对数函数及分式函数类型得到的复合函数的定义域单调性及其零点、一元二次不等式 的解法、方程的解等价转化问题等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.


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