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圆锥曲线测试题


高二理科数学圆锥曲线测试题
一、选择题: 1.已知动点 M 的坐标满足方程 13 x ? y
2 2

?| 12 x ? 5 y ? 12 | ,则动点 M 的轨迹是(
C. 椭圆 D.以上都不对



A. 抛物线 2.设 P 是双曲线

B.双曲线

r />x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分别是双曲线 9 a2

的左、右焦点,若 | PF1 A. 1 或 5

|? 5 ,则 | PF2 |? (

) C. 1 D. 9

B. 1 或 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三 、F 角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2
2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1
)条

4.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 只有一个公共点,这样的直线共有( A. 1 B.2 C. 3 D.4
2

5.已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y )满足 PA ? PB ? y ,则点 P 的轨迹是 ( A.圆 6.如果椭圆
王新敞
奎屯 新疆

)

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0 2 2 7、无论 ? 为何值,方程 x ? 2 sin ? ? y ? 1 所表示的曲线必不是( )
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

A. 双曲线

B.抛物线
2 2

C. 椭圆

D.以上都不对

2 8.方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是(



A
二、填空题:

B

C

D

9.对于椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 16 9 7 9
第 1 页

①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; 其中正确命题的序号是
2

④椭圆与双曲线有两个顶点相同. .
2

10.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 11、抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是
2

12、抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 13、椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 12 3



那么|PF1|是|PF2|的 14.若曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 a?4 a?5

.;

三、解答题:

15.已知双曲线与椭圆

x2 y2 14 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程.(12 分) 9 25 5

2 2 16.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. (14 分)

17、求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为
2

8 3 的双曲线方程.(14 分) 3

18、知抛物线 y ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点, 求点 M 的轨迹方程. (12 分) 19、某工程要将直线公路 l 一侧的土石,通过公路上的两个道口 A 和 B,沿

着道路 AP、BP 运往公路另一侧的 P 处,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°, 试说明怎样运土石最省工? 20、点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦 36 20

点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距 离 d 的最小值。

第 2 页

高二文科数学圆锥曲线测试题答题卷
一、 题号 答案 二、填空题(5*6=30) 9. 11. 13. 三、解答题: 15. (12 分) 10. 12. 14. 选择题(5*8=40) 1 2 3 4 5 6 7 8

16. (14 分)

17、(14 分)

第 3 页

18、 (12 分)

19、

20、

第 4 页

高二理科数学圆锥曲线测试题答案
一、选择题
ADDCD DBA

二、 9.①②

填空题: 10、-1 11、
4 3 1 12. ( ,1 ) 4

13. 7 倍

14.(0,±3)

三、解答题: 15.(12 分)
解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= c=4,a=2,b=2 3 .

4 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2,从而 5 y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12


16.[解析]:∵a=5,b=3?c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos 60? ? 8 2

②,由①2-②得 t1t 2 ? 12

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2
1 2

(2) P ( x, y ) , S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得 设 由
2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y??

3 3 4

, y ??3 将

3 4



入椭圆方程解得 x ? ? 5
2

17、解:设双曲线方程为 x -4y = ? .
2

13 4

,? P( 5

13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 , ) P(? , ) P( ,? ) P(? ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4

联立方程组得: ?

? x 2 -4y 2 =? ?x ? y ? 3 ? 0

,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0
2

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? x1 x2 ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? 3 ? 2 ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 ? 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2
那么:|AB|= (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ? 解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:
2

3

)?

3

?

3

x ? y2 ? 1 4 18 [解析]:设 M( x, y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x 2 , y 2 ) ,易求 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0) 1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ∵ M 是 FQ 的 中 点 , ∴ ? ? ? x 2 ? 2 x ? 1 , 又 Q 是 OP 的 中 点 ∴ 2 ? ? y2 ? 2 y ?y ? y ? 2 ?

第 5 页

x1 ? ? x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ?x2 ? 2 ? , ?? ? ? y1 ? 2 y 2 ? 4 y y1 ?y ? ? 2 2 ?

∵P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2

19 解析:设直线 l 与椭圆交于 P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 将 P1、P2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线 l 斜率

k=

=- =- =- =- . 由点斜式可得 l 的方程为 x+2y-8=0. 答案:x+2y-8=0 解:以直线 l 为 x 轴,线段 AB 的中点为原点对立直角坐标系,则在 l 一侧必存在经 A 到 P 和经 B 到 P 路程相等的点,设这样的点为 M,则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,

? | AB |? 50 7 ,
∴M 在双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的右支上. 25 2 25 ? 6

故曲线右侧的土石层经道口 B 沿 BP 运往 P 处,曲线左侧的土石层经道口 A 沿 AP 运往 P 处,按这种方法运土石最省工。
20(14 分)解:(1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
则 2 x +9 x -18=0, x =
2

3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x =

5 3 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0.

第 6 页

设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2 )2 ? y 2 ? x ?4 x2 ?4 ?2 0 ? x2 ? (x ? 2) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
说明:在解析几何中求最值:一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值;再是利用圆锥曲线 的几何性质或者曲线的参数方程求最值。

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