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第2讲 函数的单调性与最值


第 2 讲 函数的单调性与最值
一、填空题 1.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为________. 解析 令函数 g(x)=f(x)-2x-4,则 g′(x)=f′(x)-2>0,因此,g(x)在 R

上是增函数,又因为 g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0.

所以,原不等式可 化为:g(x)>g(-1),由 g(x)的单调性,可得 x>-1. 答案 (-1,+∞)

?1? 2.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)单调增加,则满足 f(2x-1)<f?3?的 x 取值范 ? ? 围是________. 解析 答案 1 1 2 由题意可知|2x-1|<3,解得3<x<3. ?1 2? ?3,3? ? ?

3.函数 f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a <1)的单调减区间是_______. 解析 ∵0<a<1,∴u=logax 在(0,+∞)上为减函数,根

据复合函数的单调性及图象知,若 f(x)为增函数,则 1 g(x)为减函数,故 0≤logax≤2,∴ a≤x≤1, ∴单调减区间为[ a,1]. 答案 [ a,1]

4.下列函数:①y=x3;②y=|x|+1;③y=-x2+1;④y= 2-|x|.既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数序号是________. 解析 y=x3 是奇函数,y=-x2+1 与 y=2-|x|在(0,+∞)上是减函数. 答案 ② 5.已知 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f(x)在(-1,1)上是减函数,则不等式 f(1-x)+f(1-x2)<0 的解集为________. 解析 由 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,

及 f(1-x)+f(1-x2)<0, 得 f(1-x)<-f(1-x2), 所以 f(1-x)<f(x2-1). 又因为 f(x)在(-1,1)上是减函数, <1, ?-1<1-x2 所以?-1<1-x <1,解得0<x<1. ?1-x>x2-1. 故原不等式的解集为(0,1). 答案 (0,1) 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,y=f(x)是减函数,若|x1| <|x2|,则结论:①f(x1)-f(x2)<0;②f(x1)-f(x2)>0;③f(x1)+f(x2)<0;④f(x1) +f(x2)>0 中成立的是________(填所有正确的编号). 解析 由题意,得 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(x1)=f(|x1|),f(x2)=f(|x2|), 从而由 0≤|x1|<|x2|,得 f(|x1|)<f(|x2|),即 f(x1)<f(x2),f(x1)-f(x2)<0,只能① 是正确的. 答案 ① 7.函数 f(x)=log2(x2-1)的单调减区间为________. 答案 (-∞,-1) 1 在[2,3]上的最小值为________,最大值为________. x-1

8.函数 f(x)= 答案

1 2,1

9.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. a ? ?2x+a,x≥-2, ∵f(x)=? a - 2 x - a , x < - ? ? 2,

解析

a? a ? ? a ? ∴f(x)在?-∞,-2?上单调递减,在?-2,+∞?上单调递增,∴-2=3,∴ ? ? ? ? a=-6. 答案 -6

-x ?e -2,x≤0, 10.已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命题: ?2ax-1,x>0

①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; ?1 ? ③若 f(x)>0 在?2,+∞?上恒成立,则 a 的取值范围是(1,+∞); ? ? ?x1+x2? ?< ④对任意的 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f? ? 2 ? f?x1?+f?x2? . 2 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). 解析

根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数 f(x)在 R 上不是单调 1 ?1 ? 函数,故②错误;若 f(x)>0 在?2,+∞?上恒成立,则 2a×2-1>0,a>1, ? ? 故③正确;由图象可知在(-∞,0)上对任意的 x1<0,x2<0 ?x1+x2? f?x1?+f?x2? ?< 且 x1≠x2,恒有 f? 成立, 2 ? 2 ? 故④正确. 答案 ①③④ 二、解答题 1 1 11.已知函数 f(x)=a-x(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. ?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ? (1)证明 法一 设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0.

?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2-x1 因为 f(x2)-f(x1)=?a-x ?-?a-x ?=x -x = x x >0,所以 f(x2)>f(x1), ? 2? ? 1? 1 2 1 2 因此 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

1 1 法二 因为 f(x)=a-x, 1 ?1 1? 所以 f′(x)=?a- x?′=x2>0, ? ? 所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数. (2)解 ?1 ? ?1 ? 因为 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?, ? ? ? ?

?1 ? 又 f(x)在?2,2?上单调递增, ? ? 2 ?1? 1 所以 f?2?=2,f(2)=2,故 a=5. ? ? 12.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x) 2 <0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)在 R 上是减函数. (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 法一 因为函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y),

所以令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又由 x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,所以 f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二 设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又由 x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, 所以 f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在 R 上为减函数. (2)解 因为 f(x)在 R 上是减函数,

所以 f(x)在[-3,3]上也是减函数, 所以 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. 所以 f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 13.已知 f(x)= x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解 (1)证明:任设 x1<x2<-2, x1 x2 - x1+2 x2+2

则 f(x1)-f(x2)= =

2?x1-x2? . ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = x1 x2 - x1-a x2-a

a?x2-x1? . ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1]. x2+2x+a 14.已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 7 解(1)当 a=2时,f(x)=x+2x+2,在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)=2.

a (2)f(x)=x+ x+2,x∈[1,+∞). ①当 a≤0 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数.最小值为 f(1)=a+3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0,即 a>-3,∴-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)=a+3. ∴a+3>0,a>-3.∴0<a≤1. ③当 a>1 时,f(x)在[1, a]上为减函数,在( a,+∞)上为增函数,所以 f(x) 在[1,+∞)上的最小值是 f( a)=2 a+2,2 a+2>0,显然成立. 综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,a 的取值范围是(-3,+∞).


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