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2 结构优化设计的基本原理


结构优化设计
南京航空航天大学 飞机设计技术研究所

第二章 结构优化设计的基本原理

2.1 两类主要优化问题列式
I. 问题A --- 无约束最优化问题 该类问题不含任何约束条件. 也可将一个带约束的优化问题转化为无 约束最优化问题.

最优点X*处的函数值f(X*) =
这里引出如下研究问题 : 1. 如何取得极值? 2. 该极值是否是唯一的? 3. 若不是唯一的, 真正的极值何在? 如何求解?

II. 问题B --- 二次函数
f ( X ) = ?XTAX – bT X + C 其中 X?Rn

二次函数是一种简单而典型的函数。许多优化方 法都是以二次函数为基础来分析说明,然后推广应用 到一般函数。

2-2 函数的台劳展开式
假设 f(x) 在任一点 X(0) 的邻域内连续可微, 则可将 f(x) 在 X(0) 点按台劳级数展开; 若函数按台劳级数展开取二阶近似,即得一个二次函数。 目标函数取二阶展开,而约束条件取一阶展开,则构成 一个二次规划问题: 目标函数和约束条件按不同形式展开可得出不同的近似 序列规划问题; 原目标函数和约束条件的规划问题可以近似按台劳展开 的序列子问题通过逐次逼近来完成。

2-3 方向导数和梯度
I. 方向导数 Directional Derivatives
设空间任一点 X 0,对应函数为 f ( X 0 ),过 X 0 有某一 方向向量(单位向量) ? T P ? (P , P , ? , P ) 1 2 n ? 其中 P 1, P 2 ,?, P n 为单位向量 P 在各坐标轴上的分量 (方向余弦)
? 若 X ? X , 步长为 ? , 沿方向 P ? (1) ( 0) X ? X ? ?P ? (1) ( 0) f ( X ) ? f ( X ? ?P) ? ( 0) f ( X ? ?P) ? f ( X ( 0) ) 两设计点间函数值差的商式为
( 0) (1)

?

若 ? ? 0 时, 该商式有极限存在, 则此极限叫做点 X 0 处 函数 f ( X ) 沿P的方向导数,记为 ? ( 0) 0 f ( X ? ? P ) ? f ( X ) ' 0 ? ( X ) ? lim fP
? ?0

?

函数 f ( X ) 在 X ( 0) 点处的台劳展开为(并用 f ( X (1) ) 代入) f ( X (1) ) ? f ( X ( 0) ) ? ?f ( X ( 0) )( X (1) ? X ( 0) ) ? ? 式中 X
(1)

?X

( 0)

f (X

( 0)

? ? ?P) ? f ( X ( 0) )

? ? ?P , ? 是比 ? 更高阶的无穷小量

?

? ?f ( X

( 0) T

? ? ) P?

?

当? ? 0 时, ? /? ? 0 , 上式左边的极限存在, 从而得 ? ( 0) ( 0) ? f ( X ? ? P ) ? f ( X ) ' ( 0) ( 0) T ?(X fP ) ? lim ? ?f ( X ) P
? ?0

?

可见, 方向导数是函数 f ( X ) 在一点处沿某一方向对步长 的变化率。 ? ' ( 0) ?(X 方向增大; fP ) ? 0 函数沿 P ? ' ( 0) ?(X fP ) ? 0 函数沿 P 方向减小。 ?结论: (1) 方向导数是一个标量,它是两个向量的线性组合; (2) 优化中,为求目标函数值最小,希望目标函数下降, ? ? 为此,要寻找一个 P ,使之沿 P 方向的方向导数为负值, ? 即: ' ( 0) ( 0) T f P ( X ) ? ?f ( X ) P ? 0 ? T 或者 ?gi ( X ) P ? 0

II. 梯度 Gradient
?梯度函数对设计变量X各分量的一阶导数组合向量. ?将式(2-16)具体展开, 有

III. 几种特殊类型函数的梯度

?梯度的几何意义: 1. 梯度是一个向量; 2. 它是函数等值线的法线向量, 方向指向 函数值增加的一方; 3. 它的每一个分量代表函数对这一分量自 变量的偏导数。

2-4 极值的必要条件和充分条件
I. 基本概念
1. 绝对或总体极小值 ( Absolute or Global Minimum ) f(X) | x?Rn 在所有点上都有意义,且存在 f(X*) ? f(X) X*点称为绝对或总体极小值。 2. 相对或局部极小值 ( Relative or Local Minimum ) f(X) 在X*点的某个邻域 ? 上有意义, 若 0 < ? < ? ,使得所有X满足 || X-X* || < ? , 则 X* 称为相对或局部极小点, f(X*)为相对或局部极小值。

II. 极值的必要条件
设f(X) 在X* 的某个邻域 ? 内对所有点 X 连续可微, 且在 X* 处, 函数 f(X*) 局部极值, 则 ?f(X*) = 0
? ? 证明: 在 ? 邻域内, f( X* ) ? f( X ),沿任意方向 P 移动?P, ? ? 则 X ? X * ? ?P, f ( X ) ? f ( X * ) ? ?f ( X * )T ?P ? ? 当 ? ?0, ? /? ?0, ? f ( X ) ? f ( X *) ' * * T f P ( X ) ? lim ? ?f ( X ) P ? 0

? 要取得极值的必要条件是其方向导数在该点为 0。 ? 由于 P ? 0 , ? 必有 ?f(X*) = 0 证明完毕!
? ?0

III. 极值的充分条件
设 f(X) 在X* 的某个邻域 ? 内有点二阶X 连续导数,且 满足极值存在必要条件,假如 Hessian 矩阵 H( X* ) 正 定, 则 f(X) 在X* 点有相对极小值。
证明: ? f(X) 有二阶连续导数, 则由台劳展开, 有
1 f ( X ) ? f ( X * ) ? ?f ( X * )T ( X ? X * ) ? ( X ? X * )T H ( X * )( X ? X * ) ? ? 2

由极值存在必要条件知, ?f(X*) = 0 , 则 f( X ) - f( X* ) = ?( X - X* )TH( X* )( X - X* ) + ?, ? ? 0, 若 ?( X - X* )TH( X* )( X - X* ) > 0 , 则 f( X ) - f( X* ) > 0, 得 f( X ) > f( X* ) , 即X* 处函数有相对极小值. 证明完毕!

?讨论: H(X*) 正定, f(X*) 为强相对极小值; H(X*) 半正定, f(X*) 为弱相对极小值; H(X*) 负定, f(X*) 为强相对极大值; H(X*) 半负定, f(X*) 为弱相对极大值; H(X*) 不定, X* 为鞍点( Saddle Point ); H(X*) ? 0, 不能确定极值, 需要考查更高阶项.

2-5 凸集, 凸函数和凸规划
Convex set, Convex Function & Convex Programming

I. 函数的凸性
一元函数 Y = f(X) 在[a, b]区间内其几何图形呈下凸( 即上凹 ), 有 三种不同情况:

单峰函数

单调升函数

多峰函数

II. 凸集 Convex Set
设集合 D ? En ,若有任意两点XA,XB? D, 并设 a?[ 0, 1],若始终有 a XA + (1-a) XB ? D , 则称 D 为一个凸集, XC = a XA + (1-a) XB 为XA , XB 的凸组合。

III. 凸函数 Convex Functions
f(X) 为凸集D上的一个函数,若有 ? X(1), X(2) ? D 及 ? ? ?( 0, 1 ),有 f( ? X(1) + (1 - ? ) X(2) ) ? ?f( X(1) ) + (1 - ? ) f( X(2) ), 则f(X)为D上的一个凸函数。

例: (1) f( X ) = 3x + 4 (2) f( X ) = X2 – 2X (3) f( X ) = -X? , 当 X ? 0 时. (4) f( X1, X2 ) = 2X12 +X22 – 2X1X2 (5) f( X1, X2, X3 ) = X14+2X22 + 3X32 – 4X1 – 4X2X3 一个函数可以在整个 Rn 上有定义,作为一种特例, 它也许只在 Rn 中的某个凸集上才可能是凸函数。例如, f(X) = X3, X ?R1 ,在 整个R1 中f( X ) 都有定义,但只 在 D = { X | X ? 0 } 凸集上才是一个凸函数。又如,二 次函数 f(X) = XTAX ,当 A 正定或半正定时,为凸函数, 当A 负定或半负定时,为凹函数。

凸函数的性质
1. 若f(X) 为凸函数,则对 ?1 + ?2 + ……+ ?n = 1, ? i > 0 , 都有

f (? ?i X (i ) ) ? ? ?i f ( X (i ) )
i ?1 i ?1

X( i ), i = 1, 2, ……,n, 代表 n 个点,X( i ) 不全等。 2. 若D ? E n 为凸集,f(X) 在D上可微, f(X)在D上为凸函数的充要 条件是对 ? X(1), X(2) ? D ,有f(X(2) ) ? f(X(1)) + ?f(X(1))T ( X(2) – X(1) )

3. D ? E n 为凸集,f(X) 在D上有连续二阶导数,则f(X)在D上为凸 函数的充要条件是对一切 X ? D ,H(X) 为半正定。当H(X)正定时, f(X)本为严格凸函数。

IV. 凸规划 Convex Programming
现有规划问题(P)
min f (X ) n
X ?R

s.t. gi ( X ) ? 0, i ? 1,2,?, m

若在P规划中, f(X) 为凸函数, - gi(X) 也都是凸函 数, 则称规划P为凸规划。

凸规划的性质
1. 凸规划可行解的集合D为凸集; 2. 凸规划最优解的集合D*也是凸集; 3. 凸规划的任一局部最优解都是绝对最优解; 4. 如果f(X)为严格凸函数,- gi(X) 为凸函数,且凸规 划最优解的集合D*非空集,则最优解必是唯一的; 5. F(X), - gi(X) 为凸函数,且f(X)可微,则X* ? D 是 凸规划最优解的充要条件是对 ? X ? D ,有 ?f(X(1))T ( X – X* ) ? 0

2-6 约束和拉格朗奇乘子
Constraints & Lagrange Multipliers
有等式约束规划
min f (X ) n
X ?E

s.t. gi ( X ) ? 0,

i ? 1,2,?, m (m ? n )

早在1760年, Lagrange 便提出了一套有效求解方法----拉格 朗奇乘子法.

构造一个新函数 ---- 拉格朗奇函数

L( X , ? ) ? f ( X ) ? ? ?i gi ( X )
i ?1

m

函数 L(X, ? ) 定义在 E n+m 上, ? i 为 Lagrange 乘子. 这里有 n+m 个 未知量( n个X, m个? ). 由极值的必要条件 --- L(X, ? ) 对所有变量 X 和 ? 的偏 导数应为 0, 于是有
m ?L ?f ?g ? ? ? ?i i ? 0, ?X j ?X j i ?1 ?X j

j ? 1,2,?, n

?L ? gi ( X * ) ? 0, i ? 1,2,?, m ??i

或写成矩阵形式 ?L(X, ? ) = ?f( X* ) + ?G(X*) ?* = 0 gi( X* ) = 0, i = 1, 2, …,m 式中 ?G(X*) = [?g1(X*) , ?g2(X*) , ……, ?gm(X*) ] 为约束梯度向量组合矩阵。 这里要求各约束梯度向量线性无关! 若 L( X, ? )有解, 则其解必是唯一的, 且 L(X*, ? * ) = f ( X* )。

讨论:
1. 拉氏乘子法只能处理等式约束,对不等式约束它 要引进松弛变量,把不等式变为等式。因此,该法对设 计空间可行域范围限制很严,即若将一般规划问题用拉 氏乘子法求解,将使可行域缩小,只能求局部最优解, 且m < n; 2. ?G( X ) ? = - ?f ( X ), 两边前乘?G(X)T , 则得 ? = - [?G(X)T ?G( X ) ]-1 ?G( X ) T ?f ( X ) 欲使 ? 存在, [?G(X)T ?G( X ) ]-1 应是非奇异的,即各 ?g i (X) 线性无关。 另外,? 没有符号限制,所得最优解可能是极小值或极 大值,即是一个鞍点; 3. 即使f(X) 为严格凸函数,且有极小点X*,L(X, ? ) 也不一定具有凸性,这是与鞍点的说法相一致的。

2-7 Kuhn – Tucker 定理及约束 边界上的最优性判别
I. Kuhn – Tucker 定理
K – T 定理( 必要条件 ) 具体叙述如下: 考虑 NP 规划 ( Nonlinear Programming )
min f (X ) n
X ?E

s.t. gi ( X ) ? 0,

i ? 1,2,?, m

假设f(X), gi(X), i = 1,2,…m 是可微函数, f(X) 为凸函数, 定义拉格朗奇函数

L( X , ? ) ? f ( X ) ? ? ?i gi ( X )
i ?1

m

并假设拉氏乘子 ? i , i = 1, m 存在, 则在X*点满足 * min f ( X ) ? f ( X ) n
X ?E

s.t. gi ( X * ) ? 0,

i ? 1,2,?, m

K – T 必要条件为
? ?f ( X * ) m * ?gi ( X * ) * * * ? ? ? ? 0 ? f ( X ) ? ? G ( X ) ? ?0 ? i ? ?X ?X j i ?1 ? j * ? g ( X )?0 ? ? * i or ? * ? gi ( X ) ? 0 * ? g ( X )?0 ? ?* g ( X * ) ? 0 ? i i ? i i ? ?i ? 0 ? ? ??i ? 0

?

? ?

K – T 定理虽是必要条件,但如果 f(X) 和 - g i(X), i = 1, m 都是凸函数,则它也是充分条件,所得局部极值同 时也是总体极值。若f(X) 为严格凸函数,最优解是唯 一的。 规划问题不同,K – T 定理表达式略有差异,主要反映 在 ? i * 的符号上。 K – T 定理扩大了拉氏乘子法的应用范围,所以又称为 广义拉氏乘子法。它与拉氏乘子法的显著不同处在于:
1. 对约束条件数未加任何限制,所处理的问题在整个可行域及 约束边界上都有意义; 2. 对不同规划问题,? i * 有不同的符号要求; 3. K – T 定理包括了各约束条件在最优点处的实际状态,可取等 式,也可取不等式,即反映了优化的真实面貌。所以,K – T定 理是最优解的高度概括,又称为最优性条件或简称为K – T条件。

?

无论是最优性准则法( O. C. 法 ), 还是数学规划法( M. P. 法 ),都将广泛运用K – T 定理,它是结构优化设计 的基础!

II. K – T 定理的几何意义
由K – T 定理可知,最优解一定落在某个或几个临界约束边界上,同 时目标函数达到极值( 最小或最大 )。 1. 当只有一个约束为临 界约束时, ?f ( X* ) = - ?* ?g( X* ) 目标函数在最优点X*处 的梯度向量与临界约束 在X*处的梯度向量在同 一条直线上,方向正好 相反,大小相差一个比值 ?* ;

2. 多个约束条件同时为临界约束时, ?f ( X* ) = - ?G( X* ) ?* 目标函数在X* 的梯度向量的延长线必落在所有临界 约束在X*点 处的梯度向量所形成的扇形锥之内, 数值上等于各临界约束梯度的负线性组合( 所有临界 约束应线性无关 )。

min f ( X ) ? ( x1 ? 2) ? x
2

2 2

s.t.

g1 ( X ) ? ? x1 ? 0 g 2 ( X ) ? ? x2 ? 0 g 3 ( X ) ? x ? x2 ? 1 ? 0
2 1

min ( x1 ? 3) 2 ? ( x2 ? 2) 2 s.t.
2 2 x1 ? x2 ?5

x1 ? 2 x2 ? 4 -x1 ? 0 -x2 ? 0

min f ( x) ? ? x1 ? 3? ? ? x2 ? 5 ?
2

2

s.t.

? x1 ? x2 ? 2 2 x1 ? 3x2 ? 12 x1 , x2 ? 0

三杆结构优化
? P ,? ? ? ? 40, ? 4 ? ,
k k

? 30, ? 2 ? , ? 20,3? 4 ?
L U ? , ? ? i i ? ? ? ?5,5?(1) ,

? ?20, 20 ?(2) , ? ?5,5?(3)
V ? x2 ? 2( x1 ? x3 )

单元刚度矩阵

? 1 1 ?1 ?1? ? ? Ex1 ? 1 1 ?1 ?1? ?k1 ? ? 2 2 L ? ?1 ?1 1 1 ? ? ? ? ?1 ?1 1 1 ? ? 1 ?1 ?1 1 ? ? ? Ex3 ? ?1 1 1 ?1? ?k 3 ? ? 2 2 L ? ?1 1 1 ?1? ? ? ? 1 ?1 ?1 1 ?
边界约束后的总体刚度矩阵

?0 0 ? Ex2 ?0 1 ?k 2 ? ? ? L 0 0 ? ?0 ?1

0 0? 0 ?1? ? 0 0? ? 0 1?

E ? x1 ? x3 K ? ?k 1 ? ? ?k 2 ? ? ?k 3 ? ? ? 2 2 L ? x1 ? x3

? ? x1 ? x3 ? 2 2 x2 ?

x1 ? x3

节点位移计算列式 ?U x ? 1 ? x1 ? x3 ? 2 2 x2 U?? ?? ? U det K ? ? ? x3 ? x1 ? y?
单元应力计算列式 E ?1 ? Ux ?U y ? ? 2L ?? 1 ? ?1 ?? ? ? E ? 0 σ ? ? ? ? 2? 2L ? ? ? ?? 3 ? ? ? ?1

x3 ? x1 ? ? P 1? ?? ? x1 ? x3 ? ? P2 ?
E U y ?U x ? ? 2L

?2 ?

1? 1 ? x1 ? x3 ? 2 2 x2 x3 ? x1 ? ? P 1? ? 2? ? ?? ? det ? K ? ? x3 ? x1 x1 ? x3 ? ? P2 ? 1? ? ? ? x ? 2 x x 2 3 ? 3 ? ? 20 2 0 ?10 2 ? E ? x3 ? x1 ? x1 ? x3 ? ? ? L ? det ? K ? ? ?? ? 20 2 30 10 2 ? ? ? ? x1 ? 2 x2 x1 ? ? ? E ? 2 ? det ? K ? ? x ? x x ? x ? 2 2 x ? x ? x ? ? 1 3? 1 3 2 1 3? ? 2 2L ?

E Uy L

?3 ?

?

? ?

?

(1) 结构对称

x1 ? x3 det ? K ? ? 2 x1 ( x1 ? 2 x2 )
30 2 2( x1 ? 2 x2 ) 30 2 x1 ? 2 x2 30 2 2( x1 ? 2 x2 )

E L

? 40(2 x1 ? 2 x2 ) ? ? 2 x1 ( x1 ? 2 x2 ) ?? 1 ? ? 40 ?? ? ? ? ? 2 ? ? x ? 2x 1 2 ? ? ? ? 3? ? ? ?40 2 x2 ? 2x (x ? 2x ) ? 1 1 2

?20 2 x2 ? ? 2 x1 ( x1 ? 2 x2 ) ? ? 20 ? x1 ? 2 x2 ? ? 20(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2 x1 ( x1 ? 2 x2 ) ? ?

L( x) ? 2 2x1 ? x2 ? ?(8x1 ? 4 2x2 ? x12 ? 2x1x2 )
x1 =6.3094 x 2 =3.2660

? =0.3062
V=21.1117

(1) 结构不对称

? 4( x2 ? 2 x3 ) ? 3x3 ?2 x2 ?? 1 ? ? ?? ? ? 20 2 ? 4 2 x 3( x1 ? x3 ) 2 2 x1 ? ? 3 ? 2? B ? ? ? ? ? 3x1 2( 2 x1 ? x2 ) ? ? 3? ? ? ?4 x2 ? B ? ( x1 ? x3 )( x1 ? x3 ? 2 2 x2 ) ? ( x1 ? x3 ) 2 ? 0
3个杆都满足约束,此时1,3杆处于临界条件
? L( x) ? 2( x1 ? x3 ) ? x2 ? ?1[80 2( x2 ? 2 x3 ) ? 5B] ? ?2 ? ?40 2( 2 x1 ? x2 ) ? 5B ?

x1 =7.0237, x 2 =2.1381, x 3 =2.7559

?1 =0.0161, ?2 =0.0727,V=15.9686
忽略第3杆,仅考虑1,2杆处于临界条件
? L( x) ? 2( x1 ? x3 ) ? x2 ? ?1[80 2( x2 ? 2 x3 ) ? 5B] ? ?2 ? ?60 2( x1 ? x3 ) ? 20 B ?

x1 =7.72976, x 2 =.84272, x 3 = .4945,

?1 =0.06466, ?2 =0.0017086,V=12.4735

删除3杆,仅1,2杆处于临界条件

0 ?2 x2 ? 4 x2 ? ?? 1 ? ? ?? ? ? 10 ? 0 3x1 2 2 x1 ? ? 2? x x ? 1 2 ? ? ? ? ? ? 4 x 3 x 2( 2 x ? x ) ? 3? 1 1 2 ? ? 2

L( x) ? 2 x1 ? x2 ? ?1[40 x2 ? 5x1 x2 ] ? ?2 ?30 x1 ? 20 x1 x2 ?
x1 =8.0, x 2 =1.5, x 3 =0.0

?1 =0.1886, ?2 =0.00625,V=12.814
结构退化为一个静定结构

III. K – T 定理的推广
K – T 定理的用处: 1. 用来检查已知最优解是否符合要求; 2. 已知最优解处的有效约束类型和个数,求最优解; 3. 利用K – T 定理将一个带约束的规划问题变为一个 无约束问题求解。 K –T 定理的不足:对约束边界上的非最优点无法应 用!

K – T 定理的推广:

?G( X )? ? d ? ??f ( X ) ?G( X )T d ? 0
式中引入一个补偿向量 d ( Complement vector ),它与 所有临界约束的梯度向量都正交,由上两式联立解得

? ? ?[?G( X )T ?G( X )]?1 ?G( X )T ?f ( X )
d ? (?G( X )[?G( X )T ?G( X )]?1 ? I )?f ( X )
式中 I 为单位矩阵。 只有当所有临界约束线性无关时,方阵[?G( X )T?G( X )] 才是非奇异的。其逆阵 [?G( X )T ?G( X )] – 1 有解。

由 ? ,d 的解,可得出以下三种结果: (1) ? i ? 0, i = 1, k; 且 d = 0 , 符合K – T 条件,为最优 解; (2) 部分 ? i < 0, 且 d = 0, 说明该点不是最优点。此时, 可将所对应的有效约束梯度 ?gi(X) 从?G( X )中删 除,留下部分重新按上式计算 ? i 和 d 。这个过程可 反复多次; (3) 当保留下来的所有临界约束 ? i > 0 时,d ? 0,表明 所考查的最优解尚未达到,可进一步调参。d 向量 将为下一步调参提供信息,或者将 d 作为调参向量 ( 梯度投影法 )。

d 向量及K – T 推广式的几何意义: (a) 在最优点处 ? i ? 0, i = 1, k; 且 d = 0 ,说明在最优 点再也找不到可用来调整设计的参数,使 f(X) 进一步 下降,而又满足约束条件的方向了。这一点同原K – T 定理是一致的。 (b) 在非最优点 d ? 0,d 向量和等重线方向PW 合成一 个调参方向PK ( 可行方向法--- Feasible Directional Methods),或者直接利用 d 作为调参方向( 梯度投影 法--- Gradient Projection Methods )。


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