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新课标Ⅱ第二辑2016届高三上学期第一次月考 数学(理)


第一次月考数学理试题【新课标Ⅱ版】
一、 选择题: 本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 合题目要求的.
2 1.已知集合 x x ? 2 , N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则集合 M ? N ? (



?

?

?

?



(A) x x ? ?2

?

?

(B) x x ? 3

?

?

(C) x ?1 ? x ? 2

?

?

(D) x 2 ? x ? 3 )

?

?

2.已知复数 z ? (A)第一象限

i2 (i 是虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点位于( 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限

(D)第四象限

3.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ) ) (A)圆柱 (B)圆锥 (C)四面体 (D)三棱柱 )

4.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( ) (A) y ? x
3

(B) y ? 2
2

?| x|

(C ) y ? ? x ? 1

(D) y ? x ? 1 )

5.阅读右面的程序框图,则输出的 S = ( (A) 14 (C) 20 (B) 30 (D) 55

6. a ,b, c ,d∈ R? ,设 S ? 正确的是( (A) 0 ? S ? 1
(C ) 2 ? S ? 3

a b c d ? ? ? ,则下列判断中 a ? b ? d b ? c ? a c ?d ?b d ?a ?c

) (B) 3 ? S ? 4
(D) 1 ? S ? 2

7.等差数列{a n }中,如果 a1 ? a4 ? a7 =39 , a3 ? a6 ? a9 =27 ,数列{a n }前 9 项的和为( ) (A) 297
1.2

(B) 144
?0.8

(C) 99

(D) 66 )

?1? 8.已知 a ? 2 , b ? ? ? ? 2?
(A) a ? b ? c

, c ? 2log5 2 ,则 a, b, c 的大小关系是(
(D) c ? b ? a )

(B) b ? a ? c (C) b ? c ? a

9.要得到函数 y ? cos 2 x 的图像,只需把 y ? sin 2 x 的图像( ? ? (A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位
4 ? (C)向左平移 个单位 2 4

(D)向右平移

? 个单位 2

10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? ? 3t ? (t 为参数) , 以 O 为极点, ? ?y ? 4 ? t

射线 Ox 为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C1 与 C2 交于 M、N 两点,则线段 MN 的长度为( (A) 1 (B) 2 (C) 3 ) (D) 4

11.函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致 图象如图所示,则 x12 ? x22 等于( (A) ) (D)

28 9

(B)

16 9

(C)

10 9

8 9


12.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? a 的最小值 3,则实数 a 的值为( (A) ?4 或 8 (B) ?1 或 ?4 (C) ?1或 5 (D) 5 或 8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
2 13.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a3 ? 4, a5 ? 16, 则 a3 ? 2a2a6 ? a3a7 ? ____

14.函数 y ? sin x ? 3 cos x 的最大值 15.已知 x ? y ? ?1 且 x ? 0, y ? 0 ,求 xy ?

1 的最小值 xy
??? ? ??? ?

16.过半径为 2 的圆外一点 P 作圆的两条切线 PA, PB ,切点分别为 A、 B ,则 PA ? PB 的最小值 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

? ?x ? ? 17 . 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 是 ? ?y ? ? ?
? ? ? 2 cos(? ? ) .
4

2 t, 2 ,圆 C 的极坐标方程为 (t 是 参 数 ) 2 t ? 4 2, 2

(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

18. 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ?a.

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x) ?

12 ? 1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. a

19.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .且 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b) sin B 。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 cos 2 A ? cos 2 B 的取值范围.

20.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 ,
?

E 是棱 CC1 上的动点, F 是 AB 中点 , AC ? BC ? 2 ,
AA 1 ? 4.
(Ⅰ)求证: CF ? 平面 ABB1 ; (Ⅱ)若二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45 ,求 CE 的长.
?

21.数列 ?an ? 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * ,总有 an , Sn , an 2 成等 差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

n 1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 an n ?1

22.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a . x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)如果 P( x0 , y0 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的任意一点,若以 P ( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率
1 k≤ 恒成立,求实数 a 的最小值; 2

(Ⅲ)讨论关于 x 的方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a ) 1 ? 的实根情况. 2x 2

参考答案
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题 (1) C (2) B (3) A (4) D (5) B (6) D (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A 二、填空题 17 (13) 400 (14) 2 (15) (16) 8 2 ? 12 4 三、解答题 (17) 解:解: (I)? ? ? 2 cos ? ? 2 sin? ,

? ? 2 ? 2? cos ? ? 2? sin? , ?圆C的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,
即 (x ?

…………(2 分) …………(3 分)

2 2 2 2 2 2 ) ? (y ? ) ? 1 ,?圆心直角坐标为 ( ,? ) .…………(5 分) 2 2 2 2 (II)方法 1:直线 l 上的点向圆 C 引切线长是

2 2 2 2 2 t? ) ?( t? ? 4 2 ) 2 ? 1 ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6 , 2 2 2 2 …………(8 分) ∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6 …………(10 分) (
方法 2:?直线l的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0, …………(8 分)

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ?5, 2
…………(10 分

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 5 2 ? 12 ? 2 6

??2 x ? 2 , x ? ?1 , ? ?1 ? x ? 4 , (18) 解:解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 4 ? 1 ? ?4 , ?2 x ? 4 , x ? 4 . ?

--3 分

? f ? x ?min ? 4 ? 值域 ?4, ? ? ?
(2) f ? x ? ?

------5 分

12 ? 1 对任意的实数 x 恒成立 a
-------8 分

?

a 2 ? 4a ? 12 ?0 a

? a ? ?2 或 0 ? a ? 6
综上,实数 a 的取值范围为 ? ??, ?2? ? ? 0,6? (19) 解: (Ⅰ)余弦定理得: C ?

?
??

3 1 2 2 (Ⅱ) cos A ? cos B ? 1 ? cos(A ? B) 2 1 5 2 2 ? cos A ? cos B 取值范围为 [ , ) 2 4

2? 2? ? A? B ? 3 3

(20) 解: (Ⅰ)证明:∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直棱柱,∴ BB1 ? 平面 ABC . 又∵ CF ? 平面 ABC ,∴ CF ? BB1 .
? ∵ ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 , F 是 AB 中 点 ,

∴ CF ? AB . 又∵ BB1 ∩ AB ? B , ∴ CF ? 平面 ABB1 . (Ⅱ)解:以 C 为坐标原点,射线 CA, CB, CC1 为 x, y , z 轴正半 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz , 则 C (0, 0, 0) , A(2, 0, 0) , B1 (0, 2, 4) .

设 E (0, 0, m) ,平面 AEB1 的法向量 n ? ( x, y, z) , 则 AB1 ? (?2, 2, 4) , AE ? (?2,0, m) .

?

????

??? ?

???? ? ? ? ???? ? ??? ? ? AB1 ? n ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0, 且 AB1 ? n , AE ? n .于是 ? ??? ? ? ? ? AE ? n ? ?2 x ? 0 y ? mz ? 0.
mz ? x? , ? ? ? 2 所以 ? 取 z ? 2 ,则 n ? (m, m ? 4, 2) ? y ? mz ? 4 z . ? ? 2
∵ 三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直棱柱,∴ BB1 ? 平面 ABC .
? 又∵ AC ? 平面 ABC ,∴ AC ? BB1 .∵ ?ACB ? 90 ,

∴ AC ? BC .∵ BB1 ∩ BC ? B , ∴ AC ? 平面 ECBB1 .∴ CA 是平面 EBB1 的法向量, CA ? (2,0,0) . ∵二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45 ,
?

??? ?

??? ?

??? ? ? 5 5 CA ? n 2m 2 ∴ cos 45 ? ??? . 解得 m ? . ∴ CE ? . ? ? ? ? 2 2 2 CA n 2 ? m2 ? (m ? 4)2 ? 22
?

(21) 解:解: (Ⅰ)由已知:对于 n ? N ,总有 2Sn ? an ? an 2 ①成立
*

∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

①-②得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1 ∴ an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ? ∵ a n , a n ?1 均为正数,∴ an ? an?1 ? 1 ∴数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列

(n ≥ 2)

又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a1 , 解得 a1 =1,
2

∴ an ? n . (n? N )
*

(Ⅱ) 解:由(1)可知 bn ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 n n n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1
(Ⅱ)设 bn ?

n 1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 an n ?1

(22) 解:解(Ⅰ) f ( x) ? ln x ?

a ,定义域为 (0, ??) , x

则 f | ( x) ?

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x

(1)当 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a ) , 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a ) . (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0, 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??)

(Ⅱ) 由 题 意 , 以 P ( x0 , y0 ) 为 切 点 的 切 线 的 斜 率 k 满 足 k ? f ?( x0 ) ?

x0 ? a 1 ? 2 x0 2

( x0 ? 0) ,
1 2 1 1 x0 ? x0 对 x0 ? 0 恒成立. 又当 x0 ? 0 时, ? x0 2 ? x0 ? , 2 2 2 1 所以 a 的最小值为 . 2
所以 a ? ?

x3 ? 2(bx ? a ) 1 ? 化简得 (Ⅲ)由题意,方程 f ( x) ? 2x 2
1 2 1 x + x ? (0, ??) 2 2 1 1 1 (1 ? x)(1 ? x) 令 h( x) ? ln x ? x 2 ? b ? ,则 h?( x) ? ? x ? . 2 2 x x b ? ln x ?
当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. 所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值,最大值为 h(1) ? ln1 ?

1 2 1 ? 1 ? b ? ? ?b . 2 2

所以 当 ?b ? 0 ,即 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a ) 1 ? 有两个实根, 2x 2

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点,

方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a ) 1 ? 有一个实根, 2x 2

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a ) 1 ? 无实根 2x 2


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