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人教A版必修5:第三章3.4第2课时基本不等式的应用 Word版含解析


第三章 3.4

不等式

a+ b 基本不等式: ab≤ 2

第 2 课时 基本不等式的应用
A级 一、选择题 1 1.若 x>0,则函数 y=-x- ( x A.有最大值-2 C.有最大值 2 ) 基础巩固

B.有最小值-2 D.有最小值 2

1 解析:因为 x>0,所以 x+ ≥2. x 1 1 所以-x- ≤-2.当且仅当 x=1 时,等号成立,故函数 y=-x- 有最大 x x 值-2. 答案:A 2.数列{an}的通项公式 an= A.第 9 项 C.第 10 项 解析:an= n = n +90
2

n ,则数列{an}中的最大项是( n +90
2

)

B.第 8 项和第 9 项 D.第 9 项和第 10 项 , 90 n+ n 1

因为 n+

90 ≥2 90,且 n∈N*, n 90 最小,an 取最大值. n

所以当 n=9 或 10 时,n+

答案:D 3.lg 9·lg 11 与 1 的大小关系是( A.lg 9·lg 11>1 C.lg 9·lg 11<1 )

B.lg 9·lg 11=1 D.不能确定

?lg 9+lg 11?2 ?lg 99?2 ?lg 100?2 ?2?2 ? <? ? =? ? =1. ? =? 解析:lg 9×lg 11≤? ? 2 ? ? 2 ? ?2? 2 ? ?

答案:C 1 4.已知 a,b∈R,且 a+b=1,则 ab+ 的最小值为( ab A.2 B. 答案:C 5. 某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货 物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站 10 km 处建仓库,则 土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元,那么要使两项费用之和最小,仓 库应建在离车站( A.5 km 处 C.3 km 处 ) B.4 km 处 D.2 km 处 5 17 C. D.2 2 2 4 )

k1 解析:设仓库建在离车站 x km 处,则土地费用 y1= (k1≠0),运输费用 y2 x 4 =k2x(k2≠0),把 x=10,y1=2 代入得 k1=20,把 x=10,y2=8 代入得 k2= , 5 故总费用 y= 20 4 + x≥2 x 5 20 4 20 4 · x=8,当且仅当 = x,即 x=5 时等号成立. x 5 x 5

答案:A 二、填空题 6.若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 解析:因为实数 x,y 满足 xy=1, 所以 x2+2y2≥2 x2·2y2=2 2(xy)2=2 2,

当且仅当 x2=2y2 且 xy=1, 即 x2=2y2= 2时等号成立, 故 x2+2y2 的最小值为 2 2. 答案:2 2 7.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. 解析:ab=a+b+3≥2 ab+3, 所以( ab-3)( ab+1)≥0, 所以 ab≥3,所以 ab≥9. 答案:[9,+∞) 1 8. 当 x>1 时, 不等式 x+ ≥a 恒成立, 则实数 a 的最大值为________. x-1 解析:x+
? 1 ? 1 ≥a 恒成立??x+x-1?min≥a, x-1 ? ?

因为 x>1,即 x-1>0, 所以 x+ 1 1 =x-1+ +1≥2 x-1 x-1 1 (x-1)· +1=3, x-1

当且仅当 x-1=

1 ,即 x=2 时,等号成立. x-1

所以 a≤3,即 a 的最大值为 3. 答案:3 三、解答题 9.(1)已知 x<3,求 f(x)= 4 +x 的最大值; x-3

1 3 (2)已知 x>0,y>0,且 x+y=4,求 + 的最小值. x y 解:(1)因为 x<3,所以 x-3<0, 所以 f(x)= 4 4 +x= +(x-3)+3= x-3 x-3

? 4 ? -?3-x+(3-x)?+3≤ ? ?

-2

4 · (3-x)+3=-1, 3-x 4 =3-x,即 x=1 时取等号, 3-x

当且仅当

所以 f(x)的最大值为-1.
?1 3? ? y 3x? (2)因为 x,y∈R+,所以(x+y)?x+y ?=4+?x+ y ?≥4+2 3. ? ? ? ?

y 3x 当且仅当 = ,即 x=2( 3-1), x y y=2(3- 3)时取“=”号. 1 3 3 又 x+y=4,所以 + ≥1+ , x y 2 1 3 3 故 + 的最小值为 1+ . x y 2 1 1 m 10.(1)设 a>b>c,且 + ≥ 恒成立,求 m 的取值范围. a-b b-c a-c (2)记 F(x,y)=x+y-a(x+2 2xy),x,y∈(0,+∞).若对任意的 x,y∈ (0,+∞),恒有 F(x,y)≥0,请求出 a 的取值范围. 解:(1)由 a>b>c,知 a-b>0,a-c>0. a-c a-c 所以原不等式等价于 + ≥m. a-b b-c 要使原不等式恒成立,只需 a-c a-c + 的最小值不小于 m 即可. a-b b-c

a-c a-c (a-b)+(b-c) (a-b)+(b-c) 因为 + = + = a-b b-c a-b b-c b-c a-b 2+ + ≥2+2 a-b b-c 当且仅当 b-c a-b · =4. a-b b-c

b-c a-b = ,即 2b=a+c 时,等号成立, a-b b-c

所以 m≤4,即 m∈(-∞,4]. (2)由 F(x,y)≥0,得 x+y≥a(x+2 2xy). x+y 因为 x>0,y>0,所以 a≤ . x+2 2xy
? x+y ? ? 所以 a≤? . ?x+2 2xy?min

因为 2 2xy≤x+2y, x+y x+y 1 所以 ≥ = ,当且仅当 x=2y>0 时,等号成立. x+2 2xy x+(x+2y) 2
? 1? 所以 a∈?-∞,2?. ? ?

B级

能力提升

1. 某工厂拟建一座平面图为矩形, 且面积为 400 平方米的三级污水处理池, 如图所示,池外圈造价为每米 200 元,中间两条隔墙造价为每米 250 元,池底 造价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使水池的总造价最 低,那么污水池的长和宽分别为( )

A.40 米,10 米 C.30 米, 40 米 3

B.20 米,20 米 D.50 米,8 米

400 解析:设总造价为 y 元,污水池的长为 x 米,则宽为 米,总造价 y= x
? ? 400? 900? 400 ?2x+2· ? × 200 + 2×250· ?x+ ? + 80 × 400 = 400· x ? x ? + 32 x ? ?

000≥400×2



900 900 +32 000=56 000(元),当且仅当 x= ,即 x=30 时等 x x 40 米. 3

号成立,此时污水池的宽为 答案:C

2.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 1 2 mx+ny+1=0 上,其中 m,n>0,则 + 的最小值为________. m n 解析:函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(-2,-1),且 点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 所以 2m+n=1,m,n>0, 1 2 ? 1 2? 所以 + =?m+n?·(2m+n)= m n ? ? n 4m 4+ + ≥4+2 m n 当且仅当? n 4m ?m= n , 答案:8 3.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开 发一个桑基鱼塘项目, 该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块, 中间挖出 三个矩形池糖养鱼,挖出的泥土堆在池糖四周形成基围 (阴影部分所示 )种植桑 树,池糖周围的基围宽约为 2 米,如图,设池塘所占的总面积为 S 平方米. n 4m · =8, m n 1 ? m = ? 4, 即? 时等号成立. 1 ? ?n=2,

?2m+n=1,

(1)试用 x 表示 S; (2)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求出 S 的最大值. 解:(1)由图形知,3a+6=x,所以 a= x-6 . 3
?

?1 800 ? ?1 800 ? 则总面积 S=? x -4?·a+2a? x -6?= ? ? ? ?5 400 ? x-6?5 400 ? ? -16?= a? x -16?= 3 ? x ? ? ?

?10 800 16x? 1 832-? x + 3 ?, ? ? ?10 800 16x? 即 S=1 832-? x + 3 ?(x>0). ? ? ?10 800 16x? (2)由 S=1 832-? x + 3 ?, ? ?

得 S≤1 832-2 当且仅当

10 800 16x · =1 832-2×240=1 352. x 3

10 800 16x = ,即 x=45 时等号成立. x 3

即当 x 为 45 米时,S 最大,且 S 最大值为 1 352 平方米.


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