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高三数学世纪金榜题目与答案1.2


第二节 命题及其关系、充分条件 与必要条件

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原命题的逆命题和否命题有怎样的真假关系? 原命题的逆命题和否命题有怎样的真假关系? 提示:真假相同, 提示:真假相同,因为原命题的逆命题和否命题互为逆 否命题,故有相同的真假性. 否命题,故有相同的真假性.

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命题“ 命题“若p,则q”的逆命题为真,逆否命题为假,则p q”的逆命题为真,逆否命题为假, 的逆命题为真 是q的什么条件? 的什么条件? 提示:逆命题为真即q p,逆否命题为假 逆否命题为假, 提示:逆命题为真即q ? p,逆否命题为假,即p ? q, 故p是q的必要不充分条件. 的必要不充分条件.

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≤1, 1”的逆否命题是 的逆否命题是( 1.命题:“若x2≤1,则-1<x<1”的逆否命题是( 命题: x≥1或x≤- (A)若x2>1,则x≥1或x≤-1 (B )若-1 <x <1 ,则x 2<1 (C)若x>1或x<-1,则x2>1 <-1 (D)若x≥1或x≤-1,则x2>1 x≥1或x≤- 【解析】选D,逆否命题是条件和结论都否定.故选D. 解析】 逆否命题是条件和结论都否定.故选D.



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2 .x =1 是x 2=1 的( (A)充分条件 (C)充要条件

) (B)必要条件 (D)既不充分也不必要条件

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但是x x=1.故选 故选A. 【解析】选A.x=1 ? x2=1,但是x2=1 ? x=1.故选A. 解析】 A.x=

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3.下列命题中正确的是( 3.下列命题中正确的是( 下列命题中正确的是



①“若 ≠0, 不全为零” ①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似” ②“正多边形都相似”的逆命题 正多边形都相似 ③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题 m=0有实根 有实根” ③“若m>0, ④“若 x- 3 是有理数,则x是无理数”的逆否命题 ④“若 是有理数, 是无理数” (A)①②③④ (A)①②③④ (C)②③④ (C)②③④ (B)①③④ (B)①③④ (D)①④ (D)①④
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=0, 全为零” 【解析】选B.①的否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”, 解析】 B.①的否命题是“ 是真命题, 的逆命题是“相似形是正多边形” 是错误的; 是真命题,②的逆命题是“相似形是正多边形”,是错误的; ③④的原命题是真命题,故它们的逆否命题是真命题. ③④的原命题是真命题,故它们的逆否命题是真命题. 的原命题是真命题

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4.“在 ABC中 4.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题 C=90° 都是锐角” 为:_______,否定形式是_______. :_______,否定形式是_______. 【解析】原命题的条件:△ABC中,若∠C=90°, 解析】原命题的条件: ABC中 C=90° 结论: 结论:∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论. 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角. 即在△ABC中 C≠90° 不都是锐角. 否定形式是只否定结论. 否定形式是只否定结论. 即在△ABC中 即在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B不都是锐角. C=90° 不都是锐角. 答案: 答案:在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角在 ABC中 C≠90° △ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B不都是锐角 ABC中 C=90°

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5.圆(x- +(y经过原点的充要条件是______( ______(用含有 5.圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件是______(用含有 a,b,r的等式表示). a,b,r的等式表示). 的等式表示 【解析】把(0,0)代入(x-a)2+(y-b)2=r2得 解析】 (0,0)代入(x- +(y代入(x 反之也成立. a2+b2=r2,反之也成立. 答案: 答案:a2+b2=r2

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1.命题的否定与否命题的区别 1.命题的否定与否命题的区别 若p表示命题,“非p”叫做命题的否定.如果原命题是 表示命题, p”叫做命题的否定. 叫做命题的否定 “若p,则q”,否命题是“若﹁p,则﹁q”,而命题的否定 q”,否命题是“ q”, 是“若p,则﹁q”,即只否定结论. q”,即只否定结论. 2.原命题与逆否命题的关系 往往可以通过判断原命题的逆否命题的真假,从而得出原命 往往可以通过判断原命题的逆否命题的真假, 题的真假. 题的真假.

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3.反证法的常见题型 否定性问题、存在性问题、惟一性问题,至多、至少问题, 否定性问题、存在性问题、惟一性问题,至多、至少问题, 结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握. 结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握. 4.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性: (1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即 对称性 的充分条件, 的必要条件, p”; “p ? q” ? “q ? p”; (2)传递性: (2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要) 传递性 的充分(必要)条件, 的充分(必要) 条件, 条件,则p是r的充分(必要)条件. 的充分(必要)条件.

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四种命题及其关系

则二次方程ax 【例1】已知命题p: “若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有 已知命题p: “若ac≥0,则二次方程 +bx+c=0没有 实根” 实根” (1)写出命题p的否命题 写出命题p (2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论. 判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论. 【审题指导】先写出p的否命题,再去判断其真假,注意结 审题指导】先写出p的否命题,再去判断其真假, 合二次方程没有实根的情况. 合二次方程没有实根的情况.

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ac<0,则二次方程 则二次方程ax 【自主解答】(1)否命题: “若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0 自主解答】(1)否命题: 否命题 有实根” 有实根” (2)命题p的否命题为真命题,证明如下: (2)命题p的否命题为真命题,证明如下: 命题 ∵ac<0,∴-ac> 4ac> 二次方程ax ∵ac<0,∴-ac>0 ? Δ=b2-4ac>0 ? 二次方程ax2+bx+c=0 有实根

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【规律方法】1.命题真假的判定:对于命题真假的判定,关 规律方法】1.命题真假的判定:对于命题真假的判定, 命题真假的判定 键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清, 键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结 合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假. 合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假. 2.掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性, 2.掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当一 掌握原命题和逆否命题 个命题直接判断真假性不容易进行时, 个命题直接判断真假性不容易进行时,可以转而判断其逆否 命题的真假. 命题的真假.

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【互动探究】命题p不变,写出命题p的逆否命题,并判断其 互动探究】命题p不变,写出命题p的逆否命题, 真假. 真假. 【解析】命题p的逆否命题: 解析】命题p的逆否命题: 若二次方程ax +bx+c=0有实根 有实根, ac< 若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则ac<0. +bx+c=0有实根 有实根, ∵ax2+bx+c=0有实根, ∴b2-4ac≥0, 4ac≥0, ac不一定小于零 不一定小于零, ∴ ac ≤ b ,而ac不一定小于零,
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故是假命题. 故是假命题.

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5x+6=0”的逆命题 的逆命题、 【变式训练】写出“若x=2或x=3,则x2-5x+6=0”的逆命题、 变式训练】写出“ x=2或x=3, 否命题、逆否命题及命题的否定,并判断其真假. 否命题、逆否命题及命题的否定,并判断其真假. 5x+6=0, x=2或x=3,是真命题; 【解析】逆命题:若x2-5x+6=0,则x=2或x=3,是真命题; 解析】逆命题: 否命题:若x≠2且x≠3,则x2-5x+6≠0,是真命题; 5x+6≠0,是真命题; 否命题: x≠2且x≠3, 逆否命题: 5x+6≠0, x≠2且x≠3,是真命题, 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3,是真命题, 命题的否定: x=2或x=3, 5x+6≠0,是假命题. 命题的否定:若x=2或x=3,则x2-5x+6≠0,是假命题.

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充分条件和必要条件的判定

【例2】下列各小题中,p是q的什么条件? 下列各小题中, 的什么条件? p:a,b是整数;q: +ax+b=0有且仅有整数解 是整数;q (1) p:a,b是整数;q:x2+ax+b=0有且仅有整数解 (2)p: (2)p:a+b=1; +abq:a3+b3+ab-a2-b2=0 (3) p:x,y是实数,xy>0; p:x,y是实数,xy> 是实数 q:|x+y|=|x|+|y| p: q: +2x+1=0至少有一个负的实根 至少有一个负的实根. (4) p:a≤1; q:ax2+2x+1=0至少有一个负的实根.

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【审题指导】根据所给的条件,结合充分条件、必要条件的 审题指导】根据所给的条件,结合充分条件、 定义判断所给条件和结论的关系. 定义判断所给条件和结论的关系. 【自主解答】(1)必要不充分条件. 自主解答】(1)必要不充分条件. 必要不充分条件 成立而p 不成立, ∵q ? p成立而p ? q不成立, +ax+b=0的解是 的解是x 是整数, 设x2+ax+b=0的解是x1,x2,由x1,x2是整数,x1+x2=-a, x1x2=b 得a,b是整数,所以必要性成立.由a,b是整数,x1+x2=-a, a,b是整数,所以必要性成立. a,b是整数, 是整数 是整数 =b,则 不一定是整数,方程x +ax+b=0有且仅有整数 x1x2=b,则x1,x2不一定是整数,方程x2+ax+b=0有且仅有整数 解不成立,所以充分性不成立. 解不成立,所以充分性不成立.

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(2)充分不必要条件. (2)充分不必要条件. 充分不必要条件 +ab=0即(a+ba3+b3+ab-a2-b2=0即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0 q成立而 成立而q p不成立 不成立. ∴p ? q成立而q ? p不成立. (3)充分不必要条件. (3)充分不必要条件. 充分不必要条件 ∵xy> x,y同正或同负 ∵xy>0 ? x,y同正或同负
x>0 ∴当 ? ? |x+y|=|x|+|y| ? ? y>0

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当 ? x<0 ? |x+y|=|x|+|y| ?
? y<0

∴xy> ∴xy>0 ? |x+y|=|x|+|y| 但反之不能推出,如当x=0,y=2 x=0,y=2时 |x+y|=|x|+|y|成立 成立, 但反之不能推出,如当x=0,y=2时,有|x+y|=|x|+|y|成立, xy> 却不成立, xy>0却不成立,

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(4)充要条件. (4)充要条件. 充要条件 ①当a=0时,原方程变形为一元一次方程2x+1=0,有一个负 a=0时 原方程变形为一元一次方程2x+1=0, 2x+1=0 的实根. 的实根. ②当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是 a≠0时 原方程为一元二次方程, a≠0且Δ=4-4a≥0,即a≤1且 a≠0且Δ=4-4a≥0,即a≤1且a≠0. 设两根为x 则有一负实数根时, 设两根为x1、x2, x1 +x 2 =- 2 ,x1x 2 = 1 , 则有一负实数根时,
a a

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综上①②可得, 综上①②可得, a≤1. ①②可得

? ?a ≤ 1 ? ?a ≤ 1 ? 2 ? 有两负实数根时, 有两负实数根时,?- <0 ? 0<a ≤ 1 ? a<0; ?1 ? a ? a <0 ? ?1 ? a >0 ?

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? 2 ?- a <0 方程有两负实数根. 反之当0 a≤1时 反之当0<a≤1时,? ,方程有两负实数根. ? ? 1 >0 ?a ? 当a<0时, 1 <0,方程有一负实根 a

当a=0时,方程有一负根 a=0时 q成立 成立, p成立 成立. ∴p ? q成立,且q ? p成立.

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【规律方法】判断充分条件、必要条件的方法 规律方法】判断充分条件、 1.命题判断法 设“若p,则q”为原命题,那么: p,则 为原命题,那么: (1)原命题为真,逆命题为假时,则p是q的充分不必要条件; (1)原命题为真,逆命题为假时, 原命题为真 的充分不必要条件; (2)原命题为假,逆命题为真时p (2)原命题为假,逆命题为真时p是q的必要不充分条件;(3) 原命题为假 的必要不充分条件; 原命题与逆命题都为真时, 原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件;(4)原命题与 的充要条件;(4)原命题与 逆命题都为假时, 逆命题都为假时,p是q的既不充分也不必要条件. 的既不充分也不必要条件.

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2.集合判断法 从集合的观点看,建立命题p,q相应的集合:p:A={x|p(x)成 从集合的观点看,建立命题p,q相应的集合:p:A={x|p(x)成 p,q相应的集合 立},q:B={x|q(x)成立},那么: },q:B={x|q(x)成立} 那么: 成立 (1)若A ? B,则p是q的充分条件,若A (1)若 B, 的充分条件, 分不必要条件; 分不必要条件; (2)若 A, 的必要条件, (2)若B ? A,则p是q的必要条件,若B 要不充分条件; 要不充分条件; (3)若 B且 A时 A=B, 的充要条件. (3)若A ? B且B ? A时,即A=B,则p是q的充要条件. A时 A时,则p是q的必 B时,则p是q的充 B时

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【变式训练】(2011·深圳模拟)已知a、b为实数,则2a> 变式训练】 2011·深圳模拟)已知a 深圳模拟 为实数, 2b是log2a>log2b的( (A)充分非必要条件 (C)充要条件 ) (B)必要非充分条件 (D)既不充分也不必要条件

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【解析】选B.由于2a>2b,得a>b,但不一定有log2a> 解析】 B.由于2 但不一定有log 由于 因为a,b可负,反之一定成立,故选B. a,b可负 log2b,因为a,b可负,反之一定成立,故选B.

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充分条件和必要条件的应用 【例3】已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x已知集合M={x|x< M={x|x 5},P={x|(x-a)·(x8)≤0}. (1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充 求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充 M∩P={x|5 要条件; 要条件; (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个 求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个 M∩P={x|5 充分但不必要条件; 充分但不必要条件; (3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一 求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一 M∩P={x|5 个必要但不充分条件. 个必要但不充分条件.

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【审题指导】求a的取值范围使它成为M∩P的不同条件,可 审题指导】 的取值范围使它成为M∩P的不同条件, M∩P的不同条件 借助集合的观点,根据要求,求出成立时a的取值范围. 借助集合的观点,根据要求,求出成立时a的取值范围. M∩P={x|5<x≤8}, 3≤a≤5, 【自主解答】(1)由 M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因 自主解答】 此M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}; M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}; 的充要条件是{a| (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个 求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个 M∩P={x|5 充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值, 充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值, {a| 中取一个值 如取a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5< 如取a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5< a=0 M∩P={x|5 x≤8}未必有a=0, a=0是所求的一个充分不必要条件; x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个充分不必要条件; 未必有a=0 是所求的一个充分不必要条件

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(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一 求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一 M∩P={x|5 个必要不充分条件就是另求一个集合Q 个必要不充分条件就是另求一个集合Q,故{a|-3≤a≤5}是 {a|-3≤a≤5}是 集合Q的一个真子集.如果{a|a≤5}时 未必有M∩P={x|5 M∩P={x|5< 集合Q的一个真子集.如果{a|a≤5}时,未必有M∩P={x|5< {a|a≤5} x≤8},但是M∩P={x|5<x≤8}时 必有a≤5, x≤8},但是M∩P={x|5<x≤8}时,必有a≤5,故{a|a≤5} M∩P={x|5 a≤5 是所求的一个必要不充分条件. 是所求的一个必要不充分条件.

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【规律方法】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或 规律方法】解决此类问题一般是把充分条件、 充要条件转化为集合之间的关系, 充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系 列出关于参数的不等式求解. 列出关于参数的不等式求解.

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8x-20> 2x+ 【变式训练】已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0, 变式训练】已知p 且p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围. 的充分不必要条件,求正实数a的取值范围. 8x-20> 【解析】由x2-8x-20>0得x<-2或x>10, 解析】 ∴p:x<-2或x>10. ∴p: 2x+1由x2-2x+1-a2>0得x<1-a或x>1+a ∴命题q:x<1-a或x>1+a 命题q 若p是q的充分不必要条件, 的充分不必要条件,

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?a>0 ? 解得0 ∴ ?1-a ≥ -2 ,解得0<a≤3. ?1+a ≤ 10 ?

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∴a的取值范围为0 ∴a的取值范围为0<a≤3. 的取值范围为

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充要条件的证明和探求 【例】求证:△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2= 求证: ABC是等边三角形的充要条件是a 是等边三角形的充要条件是 ab+ac+bc.这里a ab+ac+bc.这里a、b、c是△ABC的三条边. 这里 ABC的三条边. 的三条边 【审题指导】已知△ABC是等边三角形,证a2+b2+c2= 审题指导】已知△ABC是等边三角形, 是等边三角形 ab+ac+bc是必要性,反之是充分性, ab+ac+bc是必要性,反之是充分性,证明时注意对 是必要性 =ab+ac+bc的化简 的化简. a2+b2+c2=ab+ac+bc的化简.

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)∵△ 是等边三角形, 【规范解答】 (必要性)∵△ABC是等边三角形,且a、b、c 规范解答】 必要性)∵ ABC是等边三角形 是其三边, 是其三边, ∴a=b=c,∴a2+b2+c2=ab+ac+bc. (充分性)∵a2+b2+c2=ab+ac+bc, 充分性) ∴
1 (a(b- =0即(a- +(a(a-b)2+ 1 (a-c)2+ 1 (b-c)2=0即(a-b)2+(a-c)2+ 2 2 2

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(b(b-c)2=0, ∴a=b=c,∵a、 ∴a=b=c,∵a、b、c是△ABC的三边,∴△ABC是等边三角形. ABC的三边,∴△ABC是等边三角形. 的三边,∴ 是等边三角形 综上所述, ABC是等边三角形的充要条件是a 综上所述,△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab 是等边三角形的充要条件是 +ac+bc. ac+

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【规律方法】1.充要条件的证明应注意的问题: 规律方法】1.充要条件的证明应注意的问题: 充要条件的证明应注意的问题 (1)一般地,条件已知,证明结论成立是充分性,结论已 一般地,条件已知,证明结论成立是充分性, 知,推出条件成立是必要性. 推出条件成立是必要性. 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件, (2) 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个 是结论. 是结论. 2.充要条件的探求方法 2.充要条件的探求方法 (1)利用充要条件进行等价转化. 利用充要条件进行等价转化. (2)利用结论的必要性寻求解决问题的切入点. 利用结论的必要性寻求解决问题的切入点.

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提醒:有关充要条件探求的问题中,易犯的错误是用“ 提醒:有关充要条件探求的问题中,易犯的错误是用“必要 条件(或充分条件) 去代替“充要条件” 条件(或充分条件)”去代替“充要条件”.

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=0的两个实根都 【变式备选】求关于x的方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个实根都 变式备选】求关于x的方程x +(2k大于1的充要条件. 大于1的充要条件. 【解析】方法一:设方程的两个根为x1,x2,则 解析】方法一:设方程的两个根为x
?? ≥ 0 x1+x2=-2k+1,x1x2=k2,所以 ? x >1 ? ? 1 ? x >1 ? 2

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?? ≥ 0 ?? ≥ 0 ? ? ? x1 -1>0 ? ?( x1 -1) + ( x 2 -1)>0 ? ? x -1>0 ? ? 2 ?( x1 -1)( x 2 -1)>0
?( 2k-1)2 -4k 2 ≥ 0 ?? ≥ 0 ? ? ? x1 +x 2>2 即 ?-2k+1>2 ? ? x x - x +x +1>0 ?k 2 +2k-1+1>0 ? 1 2 ( 1 2) ? ?

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解得k 解得k<-2,故所求的充要条件是k<-2. 故所求的充要条件是k

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方法二: +(2k故所求的充要条件是: 方法二:记f(x)=x2+(2k-1)x+k2,故所求的充要条件是:
?( 2k-1)2 -4k 2 ≥ 0 ?? ≥ 0 ? ? 1 ? 2k-1 ? >1即 ?k<?2 2 ? ? ?f (1)>0 ?1+2k-1+k 2>0 ? ?

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解得k 解得k<-2,故所求的充要条件是k<-2. 故所求的充要条件是k

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新定义题的切入点 【典例】(2010·湖北高考改编)记实数x1,x2…,xn中的最 典例】 2010·湖北高考改编)记实数x 湖北高考改编 大数为max{x 最小数为min{x }.已 大数为max{x1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn}.已 知△ABC的三边边长为a、b、c(a≤b≤c),定义它的倾斜度 ABC的三边边长为a 的三边边长为 a≤b≤c) 为t=max{ a , b , c }·min{ a , b , c },求证“t=1”是“△ABC },求证 t=1”是“△ABC 求证“
b c a b c a

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为等边三角形”的必要不充分条件. 为等边三角形”的必要不充分条件. 【审题指导】解答本题的关键是弄清题目中倾斜度的概念及 审题指导】 其求法,然后从必要性和充分性两方面证明, 其求法,然后从必要性和充分性两方面证明,不成立的条件 举出反例即可. 举出反例即可.

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ABC为等边三角形 为等边三角形, 【规范解答】(必要性)若△ABC为等边三角形,则a=b=c, 规范解答】 必要性)
a b c }· }·min{ a , b , c }=1 b c a b c a a b c a b c 充分性) }· }=1, (充分性)若t=max{ , , }·min{ , , }=1, b c a b c a a b c a b c 例如a=b=2,c=3,此时max{ a=b=2,c=3,此时 例如a=b=2,c=3,此时max{ , , }= 3 ,min{ , , }= 2 , b c a b c a 2 3

=1,所以t=max{ 此时 = = =1,所以t=max{ , ,

a b c b c a

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则t=1,但是△ABC是等腰三角形,而不是等边三角形. t=1,但是△ABC是等腰三角形,而不是等边三角形. 是等腰三角形 综上t=1是 ABC为等边三角形的必要不充分条件. 综上t=1是△ABC为等边三角形的必要不充分条件. t=1 为等边三角形的必要不充分条件

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【创新点拨】本题以最大的数和最小的数作为题目背景,定 创新点拨】本题以最大的数和最小的数作为题目背景, 义“倾斜度”,由于题目的背景对中学生来说是新颖的,可 倾斜度” 由于题目的背景对中学生来说是新颖的, 以充分考查学生的读题、理解题意的能力, 以充分考查学生的读题、理解题意的能力,因此在高考题中 经常出现. 经常出现. “新定义”题的常见类型有: 新定义”题的常见类型有: 1.把学生没有见过的数学知识作为新情境,例如本题. 1.把学生没有见过的数学知识作为新情境,例如本题. 把学生没有见过的数学知识作为新情境 2.自我规定一些题目背景. 2.自我规定一些题目背景. 自我规定一些题目背景 解答这类题的关键是理解题目所处的新背景, 解答这类题的关键是理解题目所处的新背景,联系所学的知 识,选择正确的解题方法. 选择正确的解题方法.

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【变式训练】(2011·珠海模拟)集合U={(x,y)|x∈R, 变式训练】 2011·珠海模拟)集合U={(x,y)|x∈R, y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0}, y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那 么点P 的充要条件是( 么点P(2,3)∈A∩ (?U B) 的充要条件是( (A)m>-1,n<5 (A)m>(C)m>(C)m>-1,n>5 (B)m<-1,n<5 (B)m<(D)m<(D)m<-1,n>5 )

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【解析】选A.P(2,3)∈A,则2×2-3+m>0,得m>-1,又 解析】 A.P( 3+m> m>-1,又 所以2+3 2+30,故得 故得n P(2,3)∈?U B ,所以2+3-n>0,故得n<5.

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r 1.(2010·福建高考 福建高考) =(x,3)(x∈R).则 x=4”是 1.(2010·福建高考)若向量 a =(x,3)(x∈R).则“x=4”是 r |=5”的 “| a |=5”的(



(A)充分而不必要条件 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 (D)既不充分又不必要条件
r r 解析】 A.当x=4时 r =(4,3),则 |=5.若 |=5,则 【解析】选A.当x=4时, a =(4,3),则| a |=5.若| a |=5,则 r x=± x=4” |=5”的充分而不必要条件. x=±4,故“x=4”是“| a |=5”的充分而不必要条件.

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2.(2011·济南模拟)给出命题:已知a 为实数, a+b=1, 2.(2011·济南模拟)给出命题:已知a、b为实数,若a+b=1, 济南模拟 则
1 在它的逆命题、否命题、 在它的逆命题、否命题、逆否命题三个 ab ≤ . 4

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命题中,真命题的个数是( 命题中,真命题的个数是( (A)3 (B)2 (C)1

) (D)0

【解题提示】先利用原命题和逆否命题之间的关系判断真假, 解题提示】先利用原命题和逆否命题之间的关系判断真假, 然后再写出逆命题判断真假,得否命题的真假. 然后再写出逆命题判断真假,得否命题的真假.

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【解析】选C.因为a+b=1 ? 1=(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab ? 解析】 C.因为a+b=1 因为
1 所以原命题为真命题;从而逆否命题亦为真命题. ab ≤ , 所以原命题为真命题;从而逆否命题亦为真命题.若 4 1 不一定有a+b=1 故逆命题为假命题, a+b=1, ab ≤ , 不一定有a+b=1,故逆命题为假命题,从而否命题 4

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亦为假命题.故在它的逆命题、否命题、 亦为假命题.故在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题 中,真命题的个数为1. 真命题的个数为1.

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2 3.(2011·中山模拟)已知a f(x)< 3.(2011·中山模拟)已知a>1,f(x)=ax +2x,则f(x)<1成立 中山模拟

2

的一个充分不必要条件是( 的一个充分不必要条件是( (A )0 <x <1 (C )- 2 <x <0



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(B )- 1 <x <0 (D )- 2 <x <1
2

2 1,也就是 +2x<0(a>1), 也就是x 【解析】选B.f(x)<1,即:ax +2x<1,也就是x2+2x<0(a>1), 解析】 B.f(x)<1,即

解得: 解得:-2<x<0,经验证知,B适合. 0,经验证知, 适合. 经验证知

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4.(2011·惠州模拟) ”是 ”的 4.(2011·惠州模拟)“α= π ”是“sinα= 1 ”的___ 惠州模拟
6 2

_____条件. 充分不必要” 必要不充分” _____条件. (填“充分不必要”或“必要不充分”或“充 条件 要”或“既不充分也不必要”) 既不充分也不必要” 【解析】当α= π 时 sinα=sin π = 1 ,但是sinα= 1 时,角α 但是sinα= 解析】
6 6 2 2

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不一定是 π ,如α可以是 5 π 等,故是充分不必要条件. 故是充分不必要条件.
6 6

答案: 答案:充分不必要

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一、选择题(每小题4分,共20分) 选择题(每小题4 20分 1.下列命题中,为真命题的是( 下列命题中,为真命题的是( (A){ }是空集 }是空集 )

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(B){x∈N||x-1|<3}是无限集 (B){x∈N||x-1|<3}是无限集 (C)空集是任何集合的真子集 (C)空集是任何集合的真子集 5x= (D)x2-5x=0的根是自然数 解析】 D.方程 方程x 5x= 的根是0 都是自然数, 【解析】选D.方程x2-5x=0的根是0和5,都是自然数,故 选D.

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2.(2011·佛山模拟)已知a,b是实数, 2.(2011·佛山模拟)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是 佛山模拟 a,b是实数 b>0”是 “a+b>0且ab>0”的( a+b> ab>0”的 (A)充分而不必要条件 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (C)充分必要条件 ) (B)必要而不充分条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

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【解析】选C.对于“a>0且b>0”可以推出“a+b>0且ab> 解析】 C.对于“ 对于 b>0”可以推出“a+b> ab> 0”,反之也是成立的. 反之也是成立的.

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3.(2011·韶关模拟)下列命题是真命题的为( 3.(2011·韶关模拟)下列命题是真命题的为( 韶关模拟 (A)若 (A)若 1 = 1 ,则x=y
x y

)

(B)若 =1,则 (B)若x2=1,则x=1 (D)若 (D)若x<y,则 x2<y2 y,则

(C)若x=y,则 (C)若x=y,则logax=logay

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【解题提示】根据条件逐一验证,但是要注意每个选项字母 解题提示】根据条件逐一验证, 的所有可能取值. 的所有可能取值. x=y,故 正确;而由x =1得x=±1,则 【解析】选A.由 1 = 1 得x=y,故A正确;而由x2=1得x=±1,则 解析】 A.由
x y

无意义, x=B不正确;当x=y≤0时,logax和logay无意义,而x=-3<y=1 不正确; x=y≤0时 故选A. 时,得不到x2<y2.故选A. 得不到x

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1 4. 已知条件p:x≤1,条件q: 已知条件p:x≤1,条件q: <1,则p是﹁q成立的( 成立的( p:x≤1 x

)

(A)充分不必要条件 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要条件 (D)既非充分也非必要条件

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1 解析】 B.因为 因为q: <1, 【解析】选B.因为q: x 1 所以﹁ 解得0 x≤1, 所以﹁q: ≥1,解得0<x≤1, x

∞,1] 又(0,1] ? (-∞,1],故﹁q ? p,p ? ﹁q, 因此p 因此p是﹁q成立的必要不充分条件. 成立的必要不充分条件.

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5.一元二次方程ax +2x+1=0有一个正根和一个负根的充分不 5.一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根的充分不 一元二次方程 必要条件是( 必要条件是( (A )a <0 (C )a <- 1 ) (B )a >0 (D )a >1

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【解题提示】先由方程有一个正根和一个负根求出a满足的 解题提示】先由方程有一个正根和一个负根求出a 条件,再根据充分不必要条件确定a的范围. 条件,再根据充分不必要条件确定a的范围. 【解析】选C.若方程有一个正根和一个负根, 解析】 C.若方程有一个正根和一个负根, 若方程有一个正根和一个负根 则Δ=4-4a >0且 Δ=41 < 0, 得 a< 0, a

故充分不必要条件是a 故充分不必要条件是a<-1.

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二、填空题(每小题4分,共12分) 填空题(每小题4 12分 6.“末位数是0 6.“末位数是0或5的整数能被5整除”的否定形式是______ 末位数是 的整数能被5整除”的否定形式是______ ___________________________________________________ 否命题是___________________________________________ 否命题是___________________________________________ 答案:末位数是0 答案:末位数是0或5的整数,不能被5整除 的整数,不能被5 不是5的整数,不能被5 不是5的整数,不能被5整除 末位数不是0 末位数不是0且

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+bx+c(a>0,x∈R),f(-1)=0,则:“b< 2a”是 7. 若f(x)=ax2+bx+c(a>0,x∈R),f(-1)=0,则:“b<-2a”是 “f(2)<0”成立的______条件. f(2)<0”成立的______条件. 成立的______条件

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【解析】∵f(-1)=0,∴a-b+c=0,∴c=b-a, 解析】∵f(-1)=0,∴a-b+c=0,∴c=b∴f(2)=4a+2b+c=3a+3b; ∴f(2)=4a+2b+c=3a+3b; 若b<-2a,则f(2)=3a+3b<3a+3×(-2a) b<-2a,则f(2)=3a+3b<3a+3× =-3a<0(∵a>0),是充分条件. 3a<0(∵a>0),是充分条件. 是充分条件 若f(2)=4a+2b+c=3a+3b<0,则b<-a,∵a>0, f(2)=4a+2b+c=3a+3b<0,则 a,∵a> ∴不能推出b<-2a,不是必要条件,综上可知,“b<-2a” 不能推出b 2a,不是必要条件,综上可知, 不是必要条件 2a” 是“f(2)<0”成立的充分不必要条件. f(2)< 成立的充分不必要条件. 答案: 答案:充分不必要

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8.(2011·中山模拟)设集合A={x|x 4x+3<0},B={x|a8.(2011·中山模拟)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|a4<x<a+4},且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数a 4<x<a+4},且x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数a的取值 的充分不必要条件 范围是_________. 范围是_________. 【解析】由已知A 解析】由已知A ∴? ? B,A={x|1<x<3},

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a-4 ≤ 1 ?a-4<1 解得或? . 解得-1≤a≤5. ?a+4>3 ?a+4 ≥ 3

答案: 答案:[-1,5] 1,5]

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三、解答题(每小题9分,共18分) 解答题(每小题9 18分 9.(2011·湛江模拟)设条件p:2x 3x+1≤0,条件 条件q:x 9.(2011·湛江模拟)设条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2湛江模拟 (2a+1)x+a(a+1)≤0, (2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实 的必要不充分条件, 数a的取值范围. 的取值范围. q.利用必要不充 【解题提示】先求出p、q,再写出﹁p、﹁q.利用必要不充 解题提示】先求出p 再写出﹁ 分条件直接求a的取值范围. 分条件直接求a的取值范围.

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【解析】命题p为:{x| 解析】命题p

1 ≤x≤1},命题 命题q {x|a≤x≤a+1}, ≤x≤1},命题q为: {x|a≤x≤a+1}, 2 1 对应的集合A={x|x A={x|x> ﹁p对应的集合A={x|x>1或x< }, ﹁q对 2

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应的集合B={x|x>a+1或 应的集合B={x|x>a+1或x<a}, B={x|x ∵﹁p是﹁q的必要不充分条件,∴B 的必要不充分条件, a+1≥1且 ∴a+1>1且a≤ 或a+1≥1且a< . a+1>1且 ∴0≤a≤ .
1 2 1 2 1 2

A, A,

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10.求证:关于x的方程ax +bx+c=0有一个根为 有一个根为1 10.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件 求证 是a+b+c=0. 【证明】必要性: 证明】必要性: 若方程ax +bx+c=0有一个根为 有一个根为1, 若方程ax2+bx+c=0有一个根为1, ∴x=1满足方程ax ∴x=1满足方程ax2+bx+c=0, 满足方程 ∴a+b+c=0.

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充分性: 充分性: 若a+b+c=0,∴b=-a-c, a+b+c=0,∴b=+bx+c=0化为 化为ax ∴ax2+bx+c=0化为ax2-(a+c)x+c=0, ∴(ax-c)(x-1)=0, ∴(ax-c)(x∴当x=1时,ax2+bx+c=0, x=1时 ∴x=1是方程ax +bx+c=0的一个根 的一个根. ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 是方程

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【方法技巧】充要条件的证明技巧: 方法技巧】充要条件的证明技巧: 1.充要条件的证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性. 1.充要条件的证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性. 充要条件的证明分为两个环节 证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写” 证明时,不要认为它是推理过程的“双向书写”,而是应该 进行条件到结论,结论到条件的证明. 进行条件到结论,结论到条件的证明. 2.证明时易出现必要性和充分性混淆的情形, 2.证明时易出现必要性和充分性混淆的情形,这就要求我们 证明时易出现必要性和充分性混淆的情形 分清哪是条件,哪是结论. 分清哪是条件,哪是结论.

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【探究创新】 探究创新】 (10分)命题p:-2<m<0,0<n<1;命题q:关于x的方程x2+mx+ 10分 命题p:-2<m<0,0<n<1;命题q:关于x的方程x p: 命题q:关于 n=0有两个小于1的正根,试分析p n=0有两个小于1的正根,试分析p是q的什么条件. 有两个小于 的什么条件. 【解析】 (1)取 m=- ,n= , 方程为 x 2 - 1 x+ 1 =0, ?= 1 -4 × 1 <0, 解析】 (1)取
3 2 9 2 1 3 1 2

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方程无实根. 方程无实根.故p ? q.

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(2)若关于x的方程x +mx+n=0有两个小于 的正根, 有两个小于1 (2)若关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根, 若关于 设为x 设为x1、x2,则0<x1<1,0<x2<1. ∴0<x1+x2<2,0<x1x2<1. 又x1+x2=-m,x1x2=n, ∴0<-m<2,0<n<1, ∴0<-m<2,0<n<1, 即-2<m<0,0<n<1.∴q ? p. 综上所述, 综上所述,p是q的必要不充分条件. 的必要不充分条件.

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