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高中数学必修2第二章知识点与典型试题精讲精练1


第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A组 一、选择题 1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? ,有如下的两个命题:①若??∥?,则 l∥m; ②若 l⊥m,则??⊥?.那么( ). B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 ).

A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题

2.如

图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; 其中真命题的序号是( A.①② 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ). B.③④ C.①④

(第 2 题)

②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则 m⊥n; ④m∥?,n⊥??且??⊥?,则 m∥n.

D.②③

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( . A.1 B.2 ). ). C.3 D.4

5.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个点不在平面???内,则 l∥? ②若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都没有公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 ). D.只有两个 D.3 个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的 角的大小为( A.90° ). B.60° ). C.45° D.30°

8.下列说法中不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: 第 1 页 共 1 页

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 ). B.3 C.2 D.1 ).

10.异面直线 a,b 所成的角 60° ,直线 a⊥c,则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] 二、填空题 B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[30°,120°]

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为 S1,S2,S3,则这个三棱锥的 体积为 .

12.P 是△ ABC 所在平面???外一点,过 P 作 PO⊥ 平面??,垂足是 O,连 PA,PB,PC. (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的 (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 点; 线上. ( 第 题) 13 心; 心; 心;

J

13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H,I,J 分别为 AF, AD, BE, DE 的中点, 将△ABC 沿 DE, EF, DF 折成三棱锥以后, GH 与 IJ 所成角的度数为 14.直线 l 与平面 ??所成角为 30°,l∩?=A,直线 m∈?,则 m 与 l 所成角的取值范围 是 . 15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,d2,d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值 为 . 16.直二面角??-l-??的棱上有一点 A,在平面??,??内各有一条射线 AB,AC 与 l 成 45°,AB ? ?,AC ? ?,则∠BAC = 三、解答题 17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A-BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?,猜想 ??为何值时,四面体 A-BCD 的体积最大.(不要求证 明) ( 17 题) 第 . .

第 2 页 共 2 页

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点,连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°, SA⊥ 面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S—ABCD 的体积; (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

1 . 2

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱柱的体积.(提示:在 AA1 上取一点 P, 过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

(第 20 题)

第 3 页 共 3 页

第二章 点线面之间的位置关系 复习
※基础达标 1. (06 年四川卷)已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60? , m, n 为异面直线,且 m ? ? , n ? ? ,则 m, n 所成的 角为( ). A. 30? B. 60? C. 90? D. 120? 2.在下列条件中,可判断平面α 与β 平行的是( ). A.α 、β 都垂直于平面 r B.α 内存在不共线的三点到β 的距离相等 C.l,m 是α 内两条直线,且 l∥β ,m∥β D.l,m 是两条异面直线,且 l∥α ,m∥α , l∥β ,m∥β 3.(04 年全国卷Ⅱ.文 6)正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为( ) . A.75° B.60° C.45° D.30° 4. (06 年福建卷)对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列说法中正确的是( ). A. 若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? B. 若 m∥? ,n∥? ,则 m∥ n C. 若 m ? ? , n∥? ,则 m∥ n D. 若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥ n ?,? 是不重合的平面, 5. (07 年广东卷) 若 l,m,n 是互不相同的空间直线, 则下列命题中为真命题的是 ( ) . A.若 ? ∥ ?,l ? ?,n ? ? ,则 l // n B.若 ? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? l ∥ m l ? n , m ? n C.若 ,则 D.若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ? 6. (06 年天津卷)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1 .若二面角 C ? AB ? C1 的大小为 60 ,则点 C 到平面 ABC1 的距离为_____________. 7. (01 京皖春)已知 m、n 是直线,α 、β 、γ 是平面,给出下列说法: ① 若α ⊥β ,α ∩β =m,n⊥m,则 n⊥α 或 n⊥β ; ② 若α ∥β ,α ∩γ =m,β ∩γ =n,则 m∥n; ③ 若 m 不垂直于α ,则 m 不可能垂直于α 内的无数条直线; ④ 若α ∩β =m,n∥m 且 n ? α ,n ? β ,则 n∥α 且 n∥β . 其中正确的说法序号是 (注:把你认为正确的说法的序号都 填上). . ※能力提高 8.直线 a、b、c 共点 P,且两两成 60°角,求 c 与 a、b 所确定的平面α 所成角的余 弦值.

9. ( 06 年北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB // 平面 AEC ; (3)求二面角 E ? AC ? B 的大小.

第 4 页 共 4 页

第二章

点、直线、平面之间的位置关系 参考答案

A组 一、选择题 1.D 解析:命题②有反例,如图中平面??∩平面??=直线 n, l ??,m ??, 且 l∥n,m⊥n,则 m⊥l,显然平面???不垂直平面 ?,??????????????????(第 1 题) 故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D 解析:异面直线 AD 与 CB1 角为 45°. 3.D 解析:在①、④的条件下,m,n 的位置关系不确定. 4.D 解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案 D. 5.B 解析: 学会用长方体模型分析问题, A1A 有无数点在平面 ABCD 外, 但 AA1 与平面 ABCD 相交, ①不正确; A1B1∥平面 ABCD, 显然 A1B1 不平行于 BD,②不正确;A1B1∥AB,A1B1∥平面 ABCD,但 AB ?平面 ABCD 内,③不正确;l 与平面 α 平行,则 l 与???无公共点,l 与平面???内的所有直线都没有公共点,④正确,应选 B. 6.B 解析: 设平面 ??过 l1, 且 l2∥?, 则 l1 上一定点 P 与 l2 确定一平面 ??, ??与 ??的交线 l3∥l2, 且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条,即 l3 有唯一性,所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7.C 解析:当三棱锥 D-ABC 体积最大时,平面 DAC⊥ABC,取 AC 的中点 O,则△DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO=45°. 8.D 解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;C.这些直线都在同一个平面内即 直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了. 9.B 10.A 解析:因为① ② ④ 正确,故选 B. 解析:异面直线 a , b 所成的角为 60° ,直线 c ⊥ a ,过空间任一点 P,作直线 a’∥a, b’∥b, c’∥c. 若 a’, (第 5 题)

b ’, c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角, 否则 二、填空题 11.

b’



c’

所成的角的范围为(30° , 90° ], 所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30° , 90° ] .

1 3

2S1S 2 S3 .解析:设三条侧棱长为 a,b,c.则

1 1 1 ab=S1, bc=S2, ca=S3 三式相乘: 2 2 2



1 2 2 2 1 1 1 a b c =S1S2S3,∴ abc=2 2 S1S2 S3 .∵ 三侧棱两两垂直,∴ V= abc· = 2 3 3 8

2S1S 2 S3 .

12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分.解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心;(2)由直线和平面垂直的判 定定理可证得, O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得, O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,

第 5 页 共 5 页

O 为 AB 边的中点;(5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60° .解析:将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 60°. 14.[30° ,90° ].解析:直线 l 与平面???所成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在???内适当旋转就可以得到 l⊥m, 即 m 与 l 所成角的的最大值为 90°. 15.

6 1 3 1 3 6 .解析:作等积变换: ? ×(d1+d2+d3+d4)= ? ·h,而 h= . 3 3 4 3 4 3

16.60°或 120°.解析:不妨固定 AB,则 AC 有两种可能. 三、解答题 17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD. (第 17 题)

解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AOD=?,则过点 D 作 DE⊥ AD,垂足为 E. ∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=

3 BD=2 3 , 2

在 Rt△DEO 中,sin?=

3 DE = , 2 DO
3 . 2

故二面角 A-BC-D 的正弦值为

(3)当 ?=90°时,四面体 ABCD 的体积最大. 18.证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点.∴△DD1E 为等腰直角三角形, ∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴ ?DEC ? 90? ,即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,BC⊥平面 D1 DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE.又 EC ? BC ? C ,∴DE⊥平面 EBC.∵平面 DEB 过 DE,∴平面 DEB⊥平面 EBC. (2)解:如图,过 E 在平面 D1 DCC1 中作 EO⊥DC 于 O.在 长方体 ABCD- O 在平面 DBC 中 -C 的平面角.利

A1B1C1D1 中,∵面 ABCD⊥面 D1 DCC1 ,∴EO⊥面 ABCD.过
作 OF⊥DB 于 F,连结 EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为二面角 E-DB 用平面几何知识可得 OF=

1 , 5

(第 18 题)

又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .

1 1+ 1 2 ? 1= 3 , 19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= (BC+AD)? AB = 2 4 2

第 6 页 共 6 页

∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V=

1 1 3 1 ·SA·M 底面= ×1× = . 4 4 3 3

(2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影, ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB=

SA2+AB2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB,
BC 2 = , SB 2
(第 19 题)

∴tan∠BSC=

即所求二面角的正切值为

2 . 2
10 , A1A 和 面 AA1∥CC1 ,∴截面 =6.

20*.解:如图,设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 BB1C1C 的距离为 6,在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR,使 AA1⊥截面 PQR, PQR⊥侧面 BB1C1C,过 P 作 PO⊥QR 于 O,则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 PO ∴V 斜=S△PQR·AA1=

1 ·QR·PO·AA1 2
(第 20 题)



1 ·PO·QR·BB1 2 1 ×10×6 2



=30.

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