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2016高考数学总复习课时作业堂堂清三角函数4-6


高三总复习

数学 (大纲版)

第六节

三角函数的性质

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考 纲 要 求

1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tan

x 的图象,掌握三角函 数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单 调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切
? π π? 函数在区间?- , ?内的单调性. ? 2 2?

考 试 热 点

1.以考查三角函数的图象和性质为主,同时考查图象的 变换和解析式的确定,以及通过图象描绘、观察、讨论 有关性质. 2.以三角函数为载体,考查数形结合的思想. 3.从近几年的试题来看,一是以选择题、填空题的形式 考查三角函数的单调性、周期性及对称性;二是以解答 题的形式综合考查三角恒等变换,且常与向量结合进行 综合考查.

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1.三角函数的性质 解析式 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

{x|x∈R,且x≠kπ 定义域 R R + ,k∈Z}

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解析式

y= sinx [-1,1]

y=cosx [-1,1] 当 x = 2kπ(k∈Z) 时, ymax=1; 当 x=2kπ+π (k∈Z)时, ymin=-1 2π 偶函数

y= tanx R 无 最 大 值 和 最 小值 π 奇函 数

π 当 x = 2kπ - 2 值域 (k∈Z)时, 和最值 ymin=-1; π 当 x = 2kπ + 2 (k∈Z)时,ymax=1 2π 周期 奇偶性 奇函数

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解析式

y= sinx π 在 [2kπ -2 ,2kπ + π ]上是增函数; 2 π 单调性 在 [2kπ + ,2kπ + 2 3π 2 ]上是减函数 (k∈Z)

y=cosx 在 [2kπ - π , 2kπ] 上 是 增 函数; 在 [2kπ , 2kπ + π] 上 是 减 函数(k∈Z)

y=tanx π 在(kπ-2, π kπ + ) 内 2 是增函数 (k∈Z)

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2.三角函数的性质的求法 求三角函数的性质,通常应将函数式化为只有一个函 数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,如y=Asin(ωx + φ) , y = Acos(ωx + φ) , y = Atan(ωx + φ) ,它们的性质在 ω>0的条件下,令t=ωx+φ转化为相应三角函数性质讨论. (1)y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的周期T= .y=

Atan(ωx+φ)的周期T=

.

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(2)当 φ=kπ 时,y=A sin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ), (A· ω≠0)分别为奇函数和偶函数(k∈Z). π 当 φ =kπ+2时,y=Asin(ωx+ φ),y=Acos(ωx+φ) , (A· ω≠0)分别为偶函数和奇函数(k∈Z). 3 3 如 y= sin( 2 π+x) 为偶函数,因为 y= sin( 2 π+x) =- cosx,前面系数“-”不改变奇偶性.

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(3)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的 确定,基本思想是把“ωx+φ”看作一个整体,比如: π π 由 2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z),解出 x 的范围,所 2 2 π 3 得 区 间 即 为 增 区 间 , 由 2kπ + ≤ωx + φ≤2kπ + 2 2 π(k∈Z),解出 x 的范围,所得区间为减区间.

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注意:这实际上是利用复合函数的单调性判断求解, 若ω<0时,应特别引起注意,所求单调区间中的单调性与上 面的正好相反.

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1.函数y=2sin(2x+

)+1的最小正周期是(

)

解析:函数y=2sin(2x+ =π,故应选C. 答案:C

)+1的最小正周期为T=

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2.函数f(x)=tan(x+ )的单调递增区间为

(

)

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π π 解析:∵y=tanx 的单调增区间为(kπ- 2,kπ+2), π π π k∈Z,∴x+ ∈(kπ- ,kπ+ ),k∈Z,解之得 x∈( kπ 4 2 2 3π π π - ,kπ+ ),k∈Z,因此 f(x)=tan(x+ )的单调增区 4 4 4 3π π 间为(kπ- ,kπ+ ),k∈Z,故应选 C. 4 4
答案:C

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3.已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间 值是-2,则ω的最小值等于

上的最小 ( )

答案:B

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4.函数f(x)=sinx- 间是

cosx(x∈[-π,0])的单调递增区 ( )

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答案:D

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5.已知函数 (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的对称轴方程; (3)求f(x)的单调区间.

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π π 3π (3)令 2kπ≤2x+4≤2kπ+π,则 kπ-8≤x≤kπ+ 8 , k∈Z. π 5π π 令 2kπ-π≤2x+ ≤2kπ,则 kπ- ≤x≤kπ- , 4 8 8 k∈Z. 5π π 故 f(x)的单调增区间为[kπ- 8 ,kπ-8],k∈Z. π 3π f(x)的单调减区间为[kπ-8,kπ+ 8 ],k∈Z.

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三角函数的定义域问题 [例1] 求函数f(x)=logsinx(1+2cosx)的定义域. [分析] 要使对数函数有意义,应使真数大于0,底数 大于0且不等于1.

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[ 拓展提升 ] 即可.

解三角不等式一般用图象或三角函数线

两种方法来解.先求一个周期内满足条件的角,再加周期

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(2009· 滨 州 调 研 ) 函 数 y = lg(cosx - sinx) 的 定 义 域 为 ________.

解析:由cosx-sinx>0得cosx>sinx,观察同一坐标系内
y=cosx和y=sinx的图象,如图1所示,

图1

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3π 在一个周期(-π,π)上,满足 cosx>sinx 的 x∈(- 4 , π ),又正弦函数和余弦函数的周期为 2kπ,所以在 R 上, 4 3π π 满足条件的 x∈(2kπ- ,2kπ+ ),k∈Z.即函数的定义域 4 4 3π π 为(2kπ- ,2kπ+ ),k∈Z. 4 4

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三角函数的值域与最值、周期性问题 [例2] (2009·北京高考)已知函数f(x)= 2sin(π-x)cosx.

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间 [ 分析 ] 性质解决. 上的最大值和最小值. 根据诱导公式和二倍角的正弦公式将函数解

析式变换为一个角的三角函数,然后根据三角函数的基本

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[ 解]

(1)因为 f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx= sin2x,

所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π (2)由-6≤x≤ 2得-3≤2x≤π, 3 所以- ≤ sin2 x≤1. 2 3 即 f(x)的最大值为 1,最小值为- . 2

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[ 拓展提升 ]

解决这类题目的一般思路就是变换函数

解析式,将其化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式,一般要求A>0, ω>0( 当然这不是绝对的 ) ,然后根据 y = Asin(ωx + φ) 的性质 解决问题.考生容易忽视角的范围对最值的影响,求错最 值 ,如 只 考虑自 变 量区间 的 端点值 而 把最大 值 求得为 0 等.由于三角函数是周期函数,在一定区间上三角函数值

可能重复出现,这就要求考生在解题时仔细斟酌自变量的
取值范围对三角函数值的影响,以防出错.

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三角函数的奇偶性问题 [例 3] (2009· 福建高考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ), π 其中 ω>0,|φ |<2. π 3π (1)若 cos cosφ- sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对 π 称轴之间的距离等于3,求函数 f(x)的解析式;并求最小 正实数 m, 使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对 应的函数是偶函数.

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[分析] (1)把sin

变换成sin ,然后利用两角和的余

弦公式解决; (2)正弦函数图象两相邻对称轴之间的距离是 半个周期,根据这点求出 ω,也就确定了函数 f(x)的解析式,

若要平移函数图象使其为偶函数,则只要保证y轴为这个函
数图象的一条对称轴即可.

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π 3π [解] (1)由 cos cosφ- sin sinφ=0 4 4 π π 得 cos4cosφ-sin4sinφ=0, π π π 即 cos( +φ)=0.又|φ |< ,∴φ= . 4 2 4 π T π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+4).依题意,2 =3. 2π π 又 T= ,故 ω=3,∴f(x)=sin(3x+ ). 4 ω 图象 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 π g(x)=sin[3(x+m)+4].

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[ 拓展提升 ]

解决这类考题必须抓住问题的重心,本

题的重心是讨论函数的奇偶性,对一般的函数必须根据奇
偶函数的定义解决,但三角函数图象有明确的对称轴和对 称中心,根据“函数是偶函数?函数的图象关于y轴对称,

函数是奇函数 ? 函数的图象关于坐标原点对称 ” 就可以根
据三角函数的对称轴方程和对称中心的坐标解决问题 了.本题容易犯的错误一是图象变换容易出错,本题中指

明了我们要解决的是正数m,因此变换图象时向左平移就是
把原解析式中的 x 换成 x + m ,注意整体变换的是 3(x + m) , 不要认为是3x+m(这是最容易出错的地方 );二是在处理三 角函数的对称轴时容易弄错,

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三角函数的对称轴也具有周期性,这个周期和相应的 三角函数的周期是不同的,它是相应三角函数周期的一半, 考生在处理这类问题时一定要注意这一点.

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将最小正周期为

的函数g(x)=cos(ωx+φ)+sin(ωx+

φ)(ω>0,|φ|<2π)的图象向左平移

个单位,得到偶函数图象,

则满足题意的φ的一个可能值为__________.

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解析:g(x)=cos(ωx+φ)+sin(ωx+φ)= π π 2π π 2sin(ωx+φ+4),其最小正周期为 2 ,则 =2,∴ω ω =4. π π ∴g(x)= 2sin(4x+φ+4),将其图象向左平移4个单位,得 π π 5π 到 g(x)= 2sin[4(x+ ) +φ + ]= 2sin(4x+φ+ ) 为偶函 4 4 4 3π 数,∴g(0)=± 2,故 φ=kπ- 4 (k∈Z).

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三角函数的单调性及应用
1-cos2x [例 4] 函数 f(x)= ( ) cosx π π 3π 3π A.在 [0 , ) , ( , π] 上递增,在[π , ) , ( , 2π] 2 2 2 2 上递减 π 3π π 3π B.在 [0 ,2) , [π , 2 ) 上递增,在 (2 , π] ,( 2 , 2π] 上递减

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[ 分析 ]
然后判断.

可利用二倍角公式化简,分段讨论去掉根号,

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由正切函数的单调性知选项 A 是正确的,在选项 B 3 中,当 x∈[π, π)时,sinx<0,此时 f(x)=- 2tanx,由复 2 3 合函数的单调性知,当 x∈[π, π)时,f(x)单调递减,而 2 不是单调递增.同理,在 C、D 两选项中也出现了类似的 错误,故选 A.

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[答案] A [ 拓展提升 ] 三角函数单调区间的确定,一般先将函 数式化为 “ 一个角的一个三角函数 ” 形式,然后用复合函 数的单调性求解.对于不易化为 “ 一个角的一个三角函数 ” 的式子可利用数形结合、分类讨论等方法求解.

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2π 已知函数 f(x)= 3sin(2x+φ),若 f(a)= 3,则 f(a+ ) 3 π 与 f(a+ )的大小关系是 ( ) 12 2π π 2π π A.f(a+ )>f(a+ ) B.f(a+ )=f(a+ ) 3 12 3 12 2π π C.f(a+ 3 )<f(a+12) D.其大小与 a、ψ 有关

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解:由 f(a)= 3可知 x=a 为对称轴且取得最大值,又 2 π 周期 T=π,f(a+ π)=f(a- ) 3 3 π π π π 又∵|a-(a- )|>|a-(a- )|且 a- 与 a- 在同一周 3 12 3 12 2 π 期内,∴f(a+ π)<f(a+ ). 3 12
答案:C

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1 . 求三角函数的最小正周期是高考中的一个热点,

解决这类问题的办法是将给定函数化为标准型.即通常将
函数式化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一 次的形式,然后借助于常见三角函数的周期公式来求

解.不易化简的可用数形结合法求解.
2 .三角函数奇偶性的判断与代数函数奇偶性的判断 步骤一致:(1)首先看定义域是否关于原点对称; (2)在满足

(1)后再看f(-x)与f(x)的关系.
由于三角函数具有奇偶性,从而产生了对称性,函数y =Asin(ωx+φ)的图象与x轴的交点即为对称中心,过最值点 与x轴垂直的直线为对称轴.

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3.三角函数的单调性 (1)若函数y=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公式 将函数变为 y =- Asin( - ωx -φ),则y = Asin( -ωx -φ)的增 区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间. 对函数y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等的单调性的

讨论同上.关键是利用复合函数的单调性求解.
(2)比较三角函数值的大小的一般步骤是:①先判断正 负;②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的

两个同名函数;③再利用单调性比较.函数的单调性是在
给定的区间上考虑的,只有属于同一单调区间的同名函数 的两个函数值才能由单调性来比较大小.

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