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高中数学选修2-2知识点总结(精华版)


数学选修 2-2 知识点总结 一、导数
1.函数的平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x

注 1:其中 ?x 是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注 2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、

导函数的概念:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ,则 ? lim ? x ? 0 ?x ?x

?x?0

称函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数,记作 f ' ( x0 ) 或
y ' | x ? x0 ,即 f ' ( x0 ) = lim
?x?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y . ? lim ?x ?x?0 ?x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4 导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 5、常见的函数导数 函数

导函数
y' ?0

y?c
y ? xn ? n ? N * ? y ? a x ? a ? 0, a ? 1?

y ' ? nxn?1

y ' ? a x ln a
y ' ? ex
1 x ln a 1 y'? x y'?

y ? ex

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1, x ? 0?
y ? ln x
y ? sin x
y ? cos x

y ' ? cos x
y ' ? ? sin x

6、常见的导数和定积分运算公式:若 f ? x ? , g ? x ? 均可导(可积),则有: 和差的导数运算

? f ( x) ? g ( x) ?

'

? f ' ( x) ? g ' ( x)

? f ( x) ? g ( x) ?
积的导数运算

'

? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x)

特别地: ? ?Cf ? x ? ? ? ' ? Cf ' ? x ?
? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? 2 ? ? ? g ( x) ?
? 1 ? ? g '( x) 特别地: ? ?'? 2 g ? x? ? g ? x? ?
y x? ? yu? ? u x?
'

商的导数运算

复合函数的导数

微积分基本定理

? f ? x ?dx ?
a

b

(其中 F ' ? x ? ? f ? x ? )

和差的积分运算

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

特别地: 积分的区间可加性

?

b

a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx(k为常数)
a

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中a ? c ? b)
a c

c

b

用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f '( x ) ②令 f '( x ) >0,解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f '( x ) <0,解不等式,得 x 的范围,就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x)的导数 f '( x ) (3)求方程 f '( x ) =0 的根 (4) 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格, 检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如

果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处 无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ?a, b? 上的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a), f (b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。 [注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9.求曲边梯形的思想和步骤: 分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限 10.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 (“以直代曲”的思想)

? 1dx ? b ? a
a b a
b

b

性质 5 若 f ( x) ? 0, x ? ?a, b?,则 ? f ( x)dx ? 0 ①推广: ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x) ?
a

? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ?
a a

b

b

? ? f m ( x)
a

b

②推广: ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ?
a a c1

b

c1

c2

? ? f ( x)dx
ck

b

11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也可能取 负值,还可能是 0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的 值取正值,且等于 x 轴上方的图形面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的 值取负值,且等于 x 轴上方图形面积的相反数; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为 0,且等于 x 轴 上方图形的面积减去下方的图形的面积.

12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速度,速度的 导数为加速度。(2)力的积分为功。

二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义: 从个别事实 中推演出一般性 的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。 .... ... 归纳推理是由部分到整体 ,由个别到一般 的推理。 .. .. 14.归纳推理的思维过程大致如图:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实验检验, 因此,它不能作为数学证明的工具。 ③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义: 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或 相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊 到特殊 的推理。 .. .. 17.类比推理的思维过程
观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义: 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般 到特殊 的推理。 .. .. 19.演绎推理的主要形式:三段论 20.“三段论”可以表示为:①大前题:M 是 P②小前提:S 是 M ③结论:S 是 P。 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个特殊对象; ③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。 21.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的 真实性。直接证明包括综合法和分析法。 22.综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推 出要证的结论。 23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的 式子,可称为“由果索因”。 要注意叙述的形式:要证 A,只要证 B,B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合 使用,不要将它们割裂开。 24 反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的, 从而肯定原结论是正确的证明方法。 25.反证法的一般步骤 (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确 ,即所求证命题正确。 ...

26 常见的“结论词”与“反义词” 原结论词 反义词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 一个也没有 至少有两个 至多有 n-1 个 至少有 n+1 个

原结论词 对任意 x 不成立 p或q p且q

反义词 存在 x 使成立

对所有的 x 都成立 存在 x 使不成立

?p 且 ?q
?p 或 ?q

27.反证法的思维方法:正难则反 .... 28.归缪矛盾 (1)与已知条件 矛盾: .... (2)与已有公理、定理、定义 矛盾; .......... (3)自相 矛盾. .. 29.数学归纳法(只能证明与正整数 有关的数学命题)的步骤 ...
? (1)证明:当 n 取第一个值 ....n0 ? n0 ? N ? 时命题成立;

(2)假设当 n=k (k∈N*,且 k≥n0)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. . . . . . 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 [注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
王新敞
奎屯 新疆

三、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念:形如 a+bi 的数叫做复数,其中 i 叫虚数单位, a 叫实部, b 叫虚部,数 . . . . 集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。 规定: a ? bi ? c ? di ? a=c 且 , . . . .b=d . . . 强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相等。
?实数 (b ? 0) ? 31.数集的关系: 复数Z ? ? ?一般虚数(a ? 0) ?虚数 (b ? 0)? ? ?纯虚数(a ? 0) ?

32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。 33.复平面:根据复数相等的定义,任何一个复数 z ? a ? bi ,都可以由一个有序实数对 ( a, b) 唯一确定。 由于有序实数对 ( a, b) 与平面直角坐标系中的点一一对应,因此复数集与平面直角坐标 系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,

x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯
虚数。 34.求复数的模(绝对值)与复数 z 对应的向量 OZ 的模 r 叫做复数 z ? a ? bi 的模(也叫绝对值) 记作 z 或 a ? bi 。由模的定义可知: z ? a ? bi ? a 2 ? b 2 35.复数的加、减法运算及几何意义 ①复数的加、减法法则: z1 ? a ? bi与z2 ? c ? di ,则 z1 ? z2 ? a ? c ? (b ? d )i 。 注:复数的加、减法运算也可以按向量 的加、减法来进行。 .. ②复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i 。 ③复数的除法法则:
a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i 其中 c ? di 叫做实数化因子 c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

36.共轭复数:两复数 a ? bi与a ? bi 互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n?4 ? 1;
(7) ?1 ? i ? ? ?i;(8)
2

1? i 1? i ?1? i ? ? i, ? ?i , ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?

2

(9 ) 设 ? ?

? 1 ? 3i 2 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? 3n?1 ? ?, ? 3n?2 ? ? , ? 3n?3 ? 1 2


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