当前位置:首页 >> 数学 >> 【教学随笔】放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

【教学随笔】放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径


放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年命题的热点, 解决这类问 题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径:一是先放缩再求 和,二是先求和再放缩。 1、 先放缩再求和 例 1 已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为不大于 2

的整数, [log2 n] 表示不 2 3 n 2

超 过 l o2 n g 的 最 大 整 数 。 设 数 列

?an ?

的 各 项 为 正 且 满 足

a1 ? b(b ? 0), an ?

nan?1 2b , n ? 3,4,5? (n ? 2,3,4?) ,证明: an ? 2 ? b[log2 n] n ? an?1 nan?1 1 1 1 得: ? ? a n a n ?1 n n ? an?1
(n ? 2)

分析:由条件 a n ?

?

1 1 1 ? ? a n a n ?1 n 1 a n?1
……

?

1 an?2

?

1 n ?1

1 1 1 ? ? a 2 a1 2
以上各式两边分别相加得:

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? a n a1 n n ? 1 2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? an b n n ? 1 2
?
=

1 1 ? [l og 2 n] b 2

(n ? 3)

2 ? b[log2 n] 2b

? an ?

2b 2 ? b[log2 n]

(n ? 3)

本题由题设条件直接进行放缩,然后求和,命题即得以证明。 例 2 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1

(1)写出数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对任意的整数 m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

分析:⑴由递推公式易求:a1=1,a2=0,a3=2; ⑵由已知得: an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an ?1 ? (?1)n?1 (n>1) 化简得: an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1

an a 1 a a 1 2 2 ? ?2 n?n ? 2 , n n ? ? ?2[ n?n ? ] n ?1 ?1 3 3 (?1) (?1) (?1) (?1)
故数列{

an 2 2 ? }是以 ? a1 ? 为首项, 公比为 ? 2 的等比数列. n 3 3 (?1)
∴ an ?



an 2 1 ? ? (? )(?2) n?1 n 3 3 (?1)

2 n?2 [2 ? (?1) n ] 3

∴数列{ an }的通项公式为: an ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ] . 3

⑶观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能 够求和。而左边=

1 1 ? ? a4 a5

?

1 3 1 1 ? [ 2 ? 3 ? am 2 2 ? 1 2 ? 1

?

2

m?2

1 ] ,如果我们把 ? (?1) m

上式中的分母中的 ? 1 去掉,就可利用等比数列的前 n 项公式求和,由于-1 与 1 交错出现, 容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:

1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3, 2 ?1 2 ?1 2 2
2

1 1 1 1 1 ? 4 ? 3 ? 4 ,因此,可将 2 保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ?1
3

求和。这里需要对 m 进行分类讨论, (1)当 m 为偶数 (m ? 4) 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ( ? ) ??? ( ? ) a 4 a5 am a4 a5 a 6 am?1 am
1 3 1 1 1 ? ( 3 ? 4 ? ? ? m?2 ) 2 2 2 2 2 1 3 1 1 ? ? ? (1 ? m ? 4 ) 2 2 4 2 1 3 7 ? ? ? 2 8 8 ?

(2)当 m 是奇数 (m ? 4) 时, m ? 1 为偶数,

1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ??? ? ? ? ??? ? ? a 4 a5 a m a 4 a5 a 6 am am?1 8
所以对任意整数 m ? 4 ,有

7 1 1 1 ? 。 ? ??? a 4 a5 am 8

本题的关键是并项后进行适当的放缩。 2、 先求和再放缩 例 3 定义数列如下: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1, n ? N ?
2

证明: (1)对于 n ? N 恒有 a n ?1 ? a n 成立。 (2)当 n ? 2且n ? N ,有 an?1 ? an an?1?a2 a1 ? 1 成立。 (3) 1 ?
?

?

1 2
2006

?

1 1 1 ? ??? ? 1。 a1 a2 a2006

分析: (1)用数学归纳法易证。 (2)由 an?1 ? an ? an ? 1 得:
2

an?1 ? 1 ? an (an ? 1)
? an ? 1 ? an?1 (an?1 ? 1)
… …

a2 ? 1 ? a1 (a1 ? 1)
以上各式两边分别相乘得:

an?1 ? 1 ? an an?1 ?a2 a1 (a1 ? 1) ,又 a1 ? 2 ? an?1 ? an an?1 ?a2 a1 ? 1
(3)要证不等式 1 ?

1 2
2006

?

1 1 1 ? ??? ? 1, a1 a2 a2006

可先设法求和:

1 1 1 ? ??? ,再进行适当的放缩。 a1 a 2 a 2006

? an?1 ? 1 ? an (an ? 1)
? 1 an?1 ? 1 ? 1 1 ? an ? 1 an

?

1 1 1 ? ? an an ? 1 an?1 ? 1 1 1 1 ? ??? a1 a 2 a 2006 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) a1 ? 1 a 2 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 a 2006 ? 1 a2007 ? 1

?

?(

?

1 1 ? a1 ? 1 a 2007 ? 1 1 ?1 a1 a 2? a 2006
2006

? 1?

又 a1a2 ?a2006 ? a1

? 22006

?1 ?

1 1 ? 1 ? 2006 a1a2 ? a2006 2

? 原不等式得证。
本题的关键是根据题设条件裂项求和。


更多相关文档:

2014年高考难点:放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

2014年高考难点:放缩法证明数列+不等式问题的两条途径_数学_高中教育_教育专区。放缩法证明数列+不等式问题的两条途径 数列与不等式的综合问题常常出现在...

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

放缩法证明“数列 不等式 不等式” 放缩法证明数列+不等式问题的两条途径数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年命题的热点, 解决这类问...

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

放缩法证明"数列 不等式 不等式" 放缩法证明"数列+不等式"问题的两条途径...放缩法证明数列不等式 2页 免费 【教学随笔】放缩法证明... 暂无评价 4页 ...

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列不等式压轴题_数学_高中教育_...的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。...进行放缩得到递推不等关系,进行迭代,找到解题途径。...

放缩法证明答案

学大教育科技(北京)有限公司武汉分公司红钢城校区 WuHan Branch Of XueDa Education Technology(Beijing )Ltd 放缩法证明数列+不等式问题的两条途径数列与不...

数列不等式证明放缩法运用论文

数列不等式证明放缩法运用论文_数学_高中教育_教育专区。数列不等式证明放缩法...常常用到放缩法,而求解途径 一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再...

用放缩法证明与数列和有关的不等式

放缩法证明数列和有关的不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。用放缩...问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条:一是先求和再放 缩,二是先放缩...

放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式_数学_高中教育_教育专区。放缩法证明数列不等式一、基础知识: 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质: (1)传递性:若 a ...

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列不等式压轴题_数学_高中教育_...的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。...进行放缩得到递推不等关系,进行迭代,找到解题途径。...

放缩法证明数列不等式中的运应用

放缩法证明数列不等式中的运应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.(2011 ...的值. 8 4. 【广东省中山市一中 201 4 届高三第二次统测】已知 f ( x...
更多相关标签:
数列不等式 | 放缩法证明数列不等式 | 数列与不等式综合 | 数列与不等式 | 数列不等式放缩技巧 | 数列不等式证明 | 数列与不等式综合题 | 数列与不等式放缩 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com