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【教学随笔】放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径


放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年命题的热点, 解决这类问 题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径:一是先放缩再求 和,二是先求和再放缩。 1、 先放缩再求和 例 1 已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为不大于 2 的整数, [log2 n] 表示不 2 3 n 2

超 过 l o2 n g 的 最 大 整 数 。 设 数 列

?an ?

的 各 项 为 正 且 满 足

a1 ? b(b ? 0), an ?

nan?1 2b , n ? 3,4,5? (n ? 2,3,4?) ,证明: an ? 2 ? b[log2 n] n ? an?1 nan?1 1 1 1 得: ? ? a n a n ?1 n n ? an?1
(n ? 2)

分析:由条件 a n ?

?

1 1 1 ? ? a n a n ?1 n 1 a n?1
……

?

1 an?2

?

1 n ?1

1 1 1 ? ? a 2 a1 2
以上各式两边分别相加得:

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? a n a1 n n ? 1 2 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? an b n n ? 1 2
?
=

1 1 ? [l og 2 n] b 2

(n ? 3)

2 ? b[log2 n] 2b

? an ?

2b 2 ? b[log2 n]

(n ? 3)

本题由题设条件直接进行放缩,然后求和,命题即得以证明。 例 2 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1

(1)写出数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 ; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对任意的整数 m ? 4 ,有

1 1 1 7 ? ??? ? a 4 a5 am 8

分析:⑴由递推公式易求:a1=1,a2=0,a3=2; ⑵由已知得: an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? (?1)n ? 2an ?1 ? (?1)n?1 (n>1) 化简得: an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1

an a 1 a a 1 2 2 ? ?2 n?n ? 2 , n n ? ? ?2[ n?n ? ] n ?1 ?1 3 3 (?1) (?1) (?1) (?1)
故数列{

an 2 2 ? }是以 ? a1 ? 为首项, 公比为 ? 2 的等比数列. n 3 3 (?1)
∴ an ?



an 2 1 ? ? (? )(?2) n?1 n 3 3 (?1)

2 n?2 [2 ? (?1) n ] 3

∴数列{ an }的通项公式为: an ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ] . 3

⑶观察要证的不等式,左边很复杂,先要设法对左边的项进行适当的放缩,使之能 够求和。而左边=

1 1 ? ? a4 a5

?

1 3 1 1 ? [ 2 ? 3 ? am 2 2 ? 1 2 ? 1

?

2

m?2

1 ] ,如果我们把 ? (?1) m

上式中的分母中的 ? 1 去掉,就可利用等比数列的前 n 项公式求和,由于-1 与 1 交错出现, 容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:

1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? 3, 2 ?1 2 ?1 2 2
2

1 1 1 1 1 ? 4 ? 3 ? 4 ,因此,可将 2 保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ?1
3

求和。这里需要对 m 进行分类讨论, (1)当 m 为偶数 (m ? 4) 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ( ? ) ??? ( ? ) a 4 a5 am a4 a5 a 6 am?1 am
1 3 1 1 1 ? ( 3 ? 4 ? ? ? m?2 ) 2 2 2 2 2 1 3 1 1 ? ? ? (1 ? m ? 4 ) 2 2 4 2 1 3 7 ? ? ? 2 8 8 ?

(2)当 m 是奇数 (m ? 4) 时, m ? 1 为偶数,

1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? ??? ? ? ? ??? ? ? a 4 a5 a m a 4 a5 a 6 am am?1 8
所以对任意整数 m ? 4 ,有

7 1 1 1 ? 。 ? ??? a 4 a5 am 8

本题的关键是并项后进行适当的放缩。 2、 先求和再放缩 例 3 定义数列如下: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1, n ? N ?
2

证明: (1)对于 n ? N 恒有 a n ?1 ? a n 成立。 (2)当 n ? 2且n ? N ,有 an?1 ? an an?1?a2 a1 ? 1 成立。 (3) 1 ?
?

?

1 2
2006

?

1 1 1 ? ??? ? 1。 a1 a2 a2006

分析: (1)用数学归纳法易证。 (2)由 an?1 ? an ? an ? 1 得:
2

an?1 ? 1 ? an (an ? 1)
? an ? 1 ? an?1 (an?1 ? 1)
… …

a2 ? 1 ? a1 (a1 ? 1)
以上各式两边分别相乘得:

an?1 ? 1 ? an an?1 ?a2 a1 (a1 ? 1) ,又 a1 ? 2 ? an?1 ? an an?1 ?a2 a1 ? 1
(3)要证不等式 1 ?

1 2
2006

?

1 1 1 ? ??? ? 1, a1 a2 a2006

可先设法求和:

1 1 1 ? ??? ,再进行适当的放缩。 a1 a 2 a 2006

? an?1 ? 1 ? an (an ? 1)
? 1 an?1 ? 1 ? 1 1 ? an ? 1 an

?

1 1 1 ? ? an an ? 1 an?1 ? 1 1 1 1 ? ??? a1 a 2 a 2006 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) a1 ? 1 a 2 ? 1 a 2 ? 1 a3 ? 1 a 2006 ? 1 a2007 ? 1

?

?(

?

1 1 ? a1 ? 1 a 2007 ? 1 1 ?1 a1 a 2? a 2006
2006

? 1?

又 a1a2 ?a2006 ? a1

? 22006

?1 ?

1 1 ? 1 ? 2006 a1a2 ? a2006 2

? 原不等式得证。
本题的关键是根据题设条件裂项求和。


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