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2012年北京市石景山高三毕业班一模数学(文)试题及答案免费下载


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2012 年石景山区高三统一测试

数学(文科)
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 6 页.各题答案均答在答题卡上.

题号 分数

一<

br />


三 15 16 17 18 19 20

总分

第Ⅰ卷

选择题

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | 2 x ? 2 ? 0} ,则 M ? N 等于(



A. (?1, 1) 2.在复平面内,复数 A.第一象限

B. (1,

3)

C. (0, 1) ) C.第三象限

D. (?1,

0)

2?i 对应的点位于( 1? i
B. 第二象限 )

D.第四象限

3.函数 y ? 1 ? sin(? ? x) 的图象( A. 关于 x ?

?
2

对称

B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称

D. 关于 x ? ? 对称

4.设

m, n


是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是( A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n

B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

5.执行右面的框图,若输入的 N 是 6 , 则输出 p 的值是( A. 120 ) B. 720
1 龙文教研室

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C. 1440

D. 5040

6.直线 x ? y ? 5 和圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( ) A.相离 C.相交不过圆心 B.相切 D.相交过圆心

7.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ?



4 3 3
2 3 3

B. 8 ?

4 2 3

C. 8 ?

D.

32 3

8.如图,已知平面 ? ? ? ? l , A 、 B 是 l 上的两个 点, C 、 D 在平面 ? 内,且 DA ? ? , CB ? ? ,

?
P A B

AD ? 4 , AB ? 6, BC ? 8 ,在平面 ? 上有一个
动点 P ,使得 ?APD ? ?BPC ,则 ?PAB 面积 的最大值是( A. ) B.

?

D C

9 3 2

36 5

C. 12

D. 24

2

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第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.设向量 a ? (cos? , 1), b ? (1,

?

?

? ? 3cos? ) ,且 a // b ,则 cos 2? =



10.等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, a4 ? ak ? 0 ,则 k =________.

? x ? y ? 4, ? 11. 已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x, 点 O 为坐标原点,那么 PO 的最小值 ? y ? 1. ?
等于______,最大值等于_____.

12.在区间 ?0,9? 上随机取一实数 x ,则该实数 x 满足不等式 1 ? log2 x ? 2 的概率为



13.设函数 f ( x) ? ?

?? x ? a, x ? 1,
x ?2 , x ? 1

的最小值为 2 ,则实数 a 的取值范围是



, 14.集合 U ? ? x, y) | x ? R, y ? R? M ? ( x, y) | x ? y ? a , P ? ?( x, y) | y ? f ( x)? ( ,
x 现给出下列函数:① y ? a ,② y = loga x ,③ y ? sin ? x ? a ? ,④ y ? cos ax ,

?

?

若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f (x ) 的编号是



三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A ,B ,C 所对应的边分别为 a ,b ,c , (2a ? c) cos B ? b cos C . 角 且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 A ?

?
4

, a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

16.(本小题满分 13 分) 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表:

3

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分组

频数

频率

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(0,30]

3
3

0.03
0.03 0.37

(Ⅰ)求出表中 m 、 n 、 M 、 N 的值,并根据表中所 给数据在下面给出的
频率/组距

(30,60]
(60,90] (90,120] (120,150]
合计

坐标系中画出频率分布直方图;

0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150

37

m
15
M

n
0.15 N

(Ⅱ)若我区参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中我区成绩 在 90 分以上的人数; (Ⅲ)若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分析,求 被选中 2 人分数不超过 30 分的概率. 17 . (本小题满分 13 分) 如图所示,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 DD1 的中点. 1 (Ⅰ)证明:平面 ADC1B1 ? 平面 A BE ; 1 (Ⅱ)在棱 C1 D1 上是否存在一点 F , 使 B1 F //平面 A1 BE ?证明你的结论. B 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x .
2

A1 B1 C1 A C

D1

E D

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值;

4

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(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )右顶点到右焦点的距离为 3 ?1 , a2 b2

短轴长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ) 过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、B 两点, 若线段 AB 的长为 直线 AB 的方程.

3 3 , 2



20. (本小题满分 13 分) 若数列 { An } 满足 An?1 ? An ,则称数列 { An } 为“平方递推数列” .已知数列 {an } 中,
2

a1 ? 2 ,点( a n , a n?1 )在函数 f ( x) ? 2x 2 ? 2x 的图像上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列 {2a n ? 1} 是“平方递推数列” ,且数列 {lg(2an ? 1)} 为等比数列; (Ⅱ)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T n ,即

T n? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)? 2an ? 1) ,求数列 {an } 的通项及 T n 关于 n 的表达式; (
(Ⅲ)记 bn ? log2an ?1 Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

5

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2012 年石景山区高三统一测试

高三数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

B

D

A

D

B

A

A

C

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14 ①②④ 注: 两

1 ? 3

10

2 , 10

2 9

a?3



的题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ (2a ? c) cos B ? b cosC ,由正弦定理,得 ∴ (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC . ????2 分

∴ 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin(B ? C ) ? sin A ,???4 分 ∵ A ? ?0,? ?, ∴ cos B ? ∴ sinA ? 0 又∵

1 . 2

0? B ?? ,

∴ B?

?
3



????6 分

(Ⅱ)由正弦定理

a b ? ,得 b ? sin A sin B

2?

3 2 ? 6 2 2

????8 分

?A?

?
4

,B ?

? ? sin C ?
3

6? 2 4

????11 分

6

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?s ?

1 1 6 ? 2 3? 3 . ab s i n ? ? 2 ? 6 ? C ? 2 2 4 2

????13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)由频率分布表得 M ?

3 ? 100 , 0.03

????1 分 ????2 分

所以 m ? 100 ? (3 ? 3 ? 37 ?15) ? 42 ,

n?

42 ? 0.42 , N ? 0.03 ? 0.03 ? 0.37 ? 0.42 ? 0.15 ? 1. ????3 分 100
频率/组距 0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150 分数 ????5 分

(Ⅱ)由题意知,全区 90 分以上学生估计为

42 ? 15 ? 600 ? 342 人.???7 分 100

(III)设考试成绩在 ? 0,30? 内的 3 人分别为 A、B、C; 考试成绩在 ? 30,60? 内的 3 人分别为 a、b、c, 从不超过 60 分的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有: (A,B),(A,C),(A ,a),(A,b),(A,c), (B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a), (C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c)共有 15 个. ????10 分 设抽取的 2 人的分数均不大于 30 分为事件 D. 则事件 D 含有 3 个结果: (A,B),(A,C) ,(B,C)
7

????11 分
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∴ P( D) ?

3 1 ? . 15 5
A1

????13 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)证明: 因为多面体 ABCD? A1 B1C1 D1 为正方体, 所以 B1C1 ? 面ABB1 A ; 1 A B 因为 A B ? 面ABB1 A ,所以 B1C1 ? A1B . 1 1 C ????2 分 B1 D1 F C1 E D

又因为 A B ? AB1 , B1C1 ? AB1 ? B1 ,所以 A B ? 面ADC1B1 .????4 分 1 1 因为 A B ? 面A BE ,所以平面 ADC1B1 ? 平面 A BE . 1 1 1 (Ⅱ)当点 F 为 C1 D1 中点时,可使 B1 F //平面 A1 BE . 以下证明之: 易知: EF // ????6 分 ????7 分

1 1 C1 D ,且 EF = C1 D , 2 2 1 1 C1 D 且 B1O = C1 D , 2 2

????9 分

设 AB1 ? A B ? O ,则 B1O // 1

所以 EF // B1O 且 EF =B1O , 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F // OE . 又因为 B1F ? 面A BE , OE ? 面A BE . 1 1 所以 B1 F //面 A1 BE ????13 分 ????11 分

18. (本小题满分 14 分)

2a 2 x 2 ? 2a ? 解:(Ⅰ) f '( x) ? 2 x ? x x
由已知 f '(2) ? 1,解得 a ? ?3 . (II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

????1 分

????3 分

8

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(1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ;??5 分

(2)当 a ? 0 时 f '( x) ?

2( x ? ?a )( x ? ?a ) . x

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f '( x)
f ( x)

(0, ?a )
-

?a
0
极小值

( ?a , ??)
+

由上表可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ?a ) ; 单调递增区间是 ( ?a , ??) . (II)由 g ( x) ? ????8 分

2 2 2a ? x 2 ? 2a ln x 得 g '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ,????9 分 x x x

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立,

2 2a ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x 1 2 即 a ? ? x 在 [1, 2] 上恒成立. ????11 分 x 1 1 1 2 令 h( x) ? ? x ,在 [1, 2] 上 h '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x x x 7 所以 h( x) 在 [1, 2] 为减函数. h( x) min ? h(2) ? ? , 2 7 所以 a ? ? . ????14 分 2
即? 19. (本小题满分 14 分)

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? 解:解: (Ⅰ)由题意, ? b ? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ? ?
解得 a ? 3, c ? 1 . 即:椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 2

------------4 分

9

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(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, AB ? 此时 S?AOB ? 3 不符合题意故舍掉;

4 , 3
-----------6 分

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) , 代入消去

y 得: (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 .

? ?6 k 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 3k 2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ? x x ? 3k ? 6 ? 1 2 2 ? 3k 2 ?
所以 AB ? 由 AB ?

-----------8 分

4 3(k 2 ? 1) 2 ? 3k 2



------------11 分

3 3 ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 , 2

------------13 分 ---------14 分

所以直线 lAB : 2x ? y ? 2 ? 0 或 lAB : 2x ? y ? 2 ? 0 .

20. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 an?1 ? 2an ? 2an ,2an?1 ?1 ? 2(2an ? 2an ) ?1 ? (2an ?1)
2 2 2

所以数列 {2a n ? 1} 是“平方递推数列” . 由以上结论 lg(2an?1 ? 1) ? lg(2an ? 1) ? 2lg(2an ? 1)
2

--------2 分

, --------4 分

所以数列 {lg(2an ? 1)} 为首项是 lg5 公比为 2 的等比数列 .
n ?1 n ?1 2 (II) lg(2an ? 1) ? [lg(2a1 ? 1)] ? 2 ? 2 lg 5 ? lg 5
n?1 1 n?1 2an ? 1 ? 52 , an ? (52 ? 1) . 2
n?1

, --------6 分

l gTn ? l g ( 12? ??? a 1)

an ? 2 ? lg(

n 1) ?

( 2 , 1) l g 5
--------9 分

Tn ? 52
(III) bn ?

n

?1



lg Tn (2n ? 1) lg 5 1 ? n?1 ? 2 ? n?1 lg(2an ? 1) 2 lg 5 2
1 . 2n ?1
10

, --------13 分

S n ? 2n ? 2 ?

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[注:若有其它解法,请酌情给分]

11

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