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2.3.2


二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)

相切

相交

?<0

?=0

?>0

1) 位置关系种类
Y

O

X

种类:相离;相切;相交(0个交点,一个交点, 一个交点或两个交点)

2)位置关系与交点个数
Y

相交:两个交点
相切:一个交点
O X

相离:0个交点

Y

相交:一个交点

O

X

3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

注:
①相交两点: △>0 同侧:x1 ? x2>0 异侧: x1 ? x2 <0 一点: 直线与渐进线平行 △=0
△<0

②相切一点:
③相 离:

特别注意直线与双曲线的 位置关系中: 一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支

例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5或k> 5 ;

且k ? ?1 (2)有两个公共点; (2) ? 5 <k< 5 ;
2 2

2

2

(3)只有一个公共点; (3)k=±1,或k= ± 5 ;
2

(4)交于异支两点; (4)-1<k<1 ; (5)与左支交于两点.

5 ? k ? ?1 2

三、弦长问题
x2 y 2 ? ? 1的右焦点 F2 , 例、如图,过双曲线 3 6 倾斜角为 30 的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一 :如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.

2 2 例.已知双曲线方程为3x -y =3,

求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直 线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗? 说明理由;

x2 2 ? y ? 1(a ? 0) 练习、设双曲线C:2 a 相交于两个不同的点A、B。

l : x ? y ?1 与直线

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。
5 (2)设直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB, 求a的值。 12

17 2a 所以 x 2 ? ? . 2 12 1? a 2 5 2 2a x2 ? ? . 2 12 1? a 2 2a 289 消去, x 2 , 得 ? ? 2 60 1? a 17 由a ? 0, 所以a ? 13

2

x y ? ? 1上的一点P与左、右 4、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 ?PF 1F 2 ,求 ?PF 1F 2 的内切圆与
边F 1 F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF | PF2 |和 | F1F2 | 1 |、 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。

2

2

小结:
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称

5.设而不求(韦达定理、点差法)

x y ? ? 1只有 一个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. ( 1, 1)


2

2

变题:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.


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