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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(38)不等式的综合应用


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课时作业(三十八) [第 38 讲 不等式的综合应用] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1. 0<a<1, m=loga(a2+1), n=loga(a+1), p=loga(2a), 则 m、 n、 p 的大小关系是( A.n>m>p B.m>p>n C.m>n&g

t;p D.p>m>n 2.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( ) A.ab<b2<1 1 1?a ?1?b B. <? < 2 ?2? ?2? C.a2<ab<1 1 1 D.log b<log a<0 2 2 2 ,x<2, ? ? 3.设函数 f(x)=? 2x 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ,x≥2. ? ?x+3
x

)

)

A.(0,2)∪(3,+∞) B.(3,+∞) C.(0,1)∪(2,+∞) D.(0,2) 4. 要设计一个矩形,现只知道它的对角线长度为 10,则在所有满足条件的设计中, 面积最大的一个矩形的面积为( ) A.50 B.25 3 C.50 3 D.100 能力提升 5. 设全集 U=R,集合 A={x|x(x-2)<0},B={x|x<a}.若 A 与 B 的关系如图 K38-1 所示,则 a 的取值范围是( )

图 K38-1 A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.[2,+∞) D.(2,+∞) x y 6.若直线 + =1 通过点 M(cosα,sinα),则( ) a b A.a2+b2≥1 B.a2+b2≥1 1 1 1 1 C. 2+ 2≤1 D. 2+ 2≥1 a b a b b+c x2 y2 7.已知 c 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距,则 的取值范围是( ) a b a A.(1,+∞) B.( 2,+∞) C.(1, 2) D.(1, 2] 8. 银行计划将某客户的资金给项目 M 和 N 投资一年, 其中 40%的资金给项目 M,60% 的资金给项目 N,项目 M 能获得 10%的年利润,项目 N 能获得 35%的年利润.年终银行必 须回笼资金,同时按一定的回报率支付给客户.为了使银行年利润不小于给 M、N 总投资的 10%而不大于总投资的 15%,则给客户的回报率最大值为( ) A.5% B.10% C.15% D.20% → → 9. 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 90° .如图 K38-2 所示,点 → → → C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动.若OC=xOA+yOB,其中 x、y∈R,则 x+y 的最大值是
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图 K38-2 A.1 B. 2 C. 3 D.2 10.要挖一个面积为 432 m2 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3 m,4 m 的堤堰, 要想使占地总面积最小,此时鱼池的长________ m、宽________ m. 8 x y 11. 已知三个函数 y=2x, y=x2, y= 的图象都过点 A, 且点 A 在直线 + =1(m>0, x m 2n n>0)上,则 log2m+log2n 的最小值为________. 12.若命题“?a∈[1,3],使 ax2+(a-2)x-2>0”为真命题,则实数 x 的取值范围是 ____________. 13.半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,AB,AC,AD 两两互相垂直,则△ABC、 △ACD、△ADB 面积之和 S△ABC+S△ACD+S△ADB 的最大值为________. 14.(10 分)青海玉树大地震,牵动了全国各地人民的心,为了安置广大灾民,抗震救灾 指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状,房高 2.5 米),前后墙用 2.5 米高的彩色钢板, 两侧用 2.5 米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为 2.5 米,用 钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米单价:彩色钢板为 450 元,复合钢板为 200 元.房顶用其他材料建造,每平方米材料费为 200 元.每套房材料费控制在 32000 元以内, 试计算: (1)设房前面墙的长为 x,两侧墙的长为 y,所用材料费为 p,试用 x,y 表示 p; (2)求简易房面积 S 的最大值是多少?并求 S 最大时,前面墙的长度应设计为多少米?

x 15.(13 分)已知 f(x)= (x≠-1). x+1 (1)求 f(x)的单调区间; 1 3 (2)若 a>b>0,c= ,求证:f(a)+f(c)> . 4 ?a-b?b

难点突破 1 1 16.(12 分)已知函数 f(x)= x3+ ax2+bx+1(x∈R,a,b 为实数)有极值,且在 x=-1 3 2 处的切线与直线 x-y+1=0 平行. (1)求实数 a 的取值范围. (2)是否存在实数 a,使得 f′(x)=x 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2<1?若存在,求实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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课时作业(三十八) 【基础热身】 1.D [解析] 2a<a2+1<a+1,因此 p>m>n. 1?x 2.B [解析] 依题意得 ab-b2=b(a-b)>0,ab>b2,因此 A 不正确.由函数 y=? ?2? 1?0 ?1?b ?1?a ?1?1 1 1 ?1?a ?1?b 在 R 上是减函数得,当 0<b<a<1 时,有? ?2? >?2? >?2? >?2? =2,即2<?2? <?2? ,因 此 B 正确.同理可知,C、D 不正确.综上所述,选 B. 2x0 3.A [解析] 当 x0≥2 时, >1,解得 x0>3;当 x0<2 时,2x0>1,解得 0<x0<2.综上 x0+3 可知 x0 的取值范围是(0,2)∪(3,+∞),选 A. 4.A [解析] 设矩形的长和宽分别为 x、y,则 x2+y2=100. x2+y2 于是 S=xy≤ =50,当且仅当 x=y 时等号成立. 2 【能力提升】 5.C [解析] A={x|0<x<2},A B,∴a≥2,故选 C. x y 6.D [解析] 由题意知,直线 + =1 即直线 bx+ay-ab=0 与圆 x2+y2=1 有交点, a b |-ab| 1 1 所以圆心(0,0)到直线 bx+ay-ab=0 的距离 d= 2 2≤1,解得 2+ 2≥1,选 D. a b a +b b+c 7.D [解析] 由题设条件知,a<b+c,∴ >1, a ?b+c?2 b2+c2+2bc 2?b2+c2? ∵a2=b2+c2,∴ = ≤ =2, a2 a2 a2 b+c ∴ ≤ 2.故选 D. a 8.C [解析] 设银行在两个项目上的总投资金额为 s,按题设条件,在 M、N 上的投资 40 10 60 35 所得的年利润为 PM、PN 分别满足:PM= s× ,PN= s× ;银行的年利润 P 满足: 100 100 100 100 PM+PN-P 10 15 10 PM+PN-P 15 s≤P≤ s; 这样, 银行给客户的回报率为 ×100%, 即 ≤ ≤ . 100 100 s 100 s 100 → → → 9 . B [ 解析 ] OC2 = (xOA+ yOB)2 ,化简可得 x2 + y2 = 1,所以 x + y = ?x+y?2 = 2 x2+y2+2xy≤ 2?x2+y2?= 2,当且仅当 x=y= 时等号成立. 2 432 10.24 18 [解析] 设鱼池的两边长分别为 x, , x 432 ? 2592 2592 ∴S=(x+6)? ? x +8?=432+48+ x +8x≥480+288=768,仅当 8x= x 即 x=18, 432 =24 时等号成立. x x y 11.4 [解析] 由题易得,点 A 的坐标为(2,4),因为点 A 在直线 + =1(m>0,n>0) m 2n 2 4 2 4 上, 所以 1= + ≥2 · , ∴mn≥16, 所以 log2m+log2n=log2(mn)≥4, 故 log2m+log2n m 2n m 2n 的最小值为 4. 2 12.x<-1 或 x> [解析] 令 m(a)=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2,m(a)是关于 a 3 的一次函数, ∵命题“? a∈[1,3],使 ax2+(a-2)x-2>0”为真命题, ∴m(1)>0 或 m(3)>0, 即 x2-x-2>0①或 3x2+x-2>0②,

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2 由①得 x<-1 或 x>2;由②得 x<-1 或 x> . 3 2 所以,所求实数 x 的取值范围是 x<-1 或 x> . 3 13.32 [解析] 根据题意可知,设 AB=a,AC=b,AD=c,则可知 AB,AC,AD 为球 1 的内接长方体的一个角.故 a2 + b2 + c2 = 64 ,而 S △ ABC + S △ ACD + S △ ADB = (ab + ac + 2 a2+b2+a2+c2+b2+c2 a2+b2+c2 8 3 bc)≤ = =32,当且仅当 a=b=c= 时等号成立. 4 2 3 14.[解答] (1)p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy, 故 p=900x+400y+200xy. (2)S=x· y,且 p≤32000; 由题意可得:p=200S+900x+400y≥200S+2 900×400S, ? 200S+1200 S≤p≤32000? ( S)2+6 S-160≤0, ? 0< S≤10? S≤100; ?900x=400y, ? 20 当且仅当? ? x= 时取最大值; 3 ? xy = 100 ? 20 答:简易房面积 S 的最大值为 100 平方米,此时前面墙设计为 米. 3 1 15.[解答] (1)对已知函数进行降次分项变形,得 f(x)=1- , x+1 1 则 f′(x)= >0, ?x+1?2 ∴f(x)在区间(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增. 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-1,+∞). (2)证明:首先证明任意 x>y>0,有 f(x+y)<f(x)+f(y).事实上, xy+xy+x+y xy+x+y x y f(x)+f(y)= + = > =f(xy+x+y). x+1 y+1 xy+x+y+1 xy+x+y+1 而 xy+x+y>x+y, 由(1)知 f(xy+x+y)>f(x+y), ∴f(x)+f(y)>f(x+y), 1 1 4 c= > = 2>0. ?a-b?b ?a-b+b?2 a ? 2 ? a a 4 ∴a+c≥ + + 2≥3, 2 2 a 3 ∴f(a)+f(c)>f(a+c)≥f(3)= . 4 【难点突破】 16.[解答] (1)f′(x)=x2+ax+b, 因为 f(x)有极值,∴Δ=a2-4b>0(*). 又在 x=-1 处的切线与直线 x-y+1=0 平行, ∴f′(-1)=1-a+b=1, ∴b=a 代入(*)式得,a2-4a>0,∴a>4 或 a<0. (2)假若存在实数 a,使 f′(x)=x 的两个根 x1、x2 满足 0<x1<x2<1, 即 x2+(a-1)x+a=0 的两个根 x1、x2 满足 0<x1<x2<1,

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? a ?0<1- <1, 2 令 g(x)=x +(a-1)x+a,则有:? g?0?=a>0, ? ?g?1?=2a>0,
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Δ=?a-1?2-4a>0, 解得 0<a<3-2 2.

∴由(1)知不存在实数 a,使得 f′(x)=x 的两个根满足 0<x1<x2<1.

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