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两道全国卷压轴题的别解与思考


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3 8?  

中学数 学研 究 

2 0 1 7年 第 4期 

由O F? A 曰=  

? 船 , 得e p =2 c , 又 p =c一   , 化 

而 生畏 。 让 学 生 学会 从 不 同的视 角去 解读 , 往往 能使 

他们 有 不一样 的收获. 解 决 问题 的角 度 并 不 是 一朝 


简得2 a c=6   , 即e  一2 e一1=0, 因为 e>1 , 故 e=  
1+   .  

夕就 可 以发 现 的 , 需要 长 期 的积 累 、 总结 、 反 思 才 

能完 成. 总之 , 问题 的解 决 固然 重 要 , 但 是 解 决 之 后  的反 思应 当更加 重视. 从 不 同 的角度 去 重新 审视 一  道 题 目能够 拓 宽 自 己的视 野 , 从而避免成为“ 井中  
之蛙 ” .  

点评 : 建立极 坐标 系 , 进 一 步减 少 了解题 过程 和 

运算量, 使 问题 更加容 易解决.  
3   反 思 

解析 几何 的 问题 通 常 运 算量 较 大 , 学 生 容 易望 

两 道 全 国 卷 压 轴 题 的 别 解 与 思 考 
福 建省 泉 州市第七 中学  ( 3 6 2 0 0 0 )   黄永 生
华罗庚 先 生 曾有 非 常精 辟 的表 述 : “ 数 形本 是  两依倚 , 焉 能分作 两边 飞 ; 数 缺 形 时少 直 觉 , 形少 数 
时难 入微 ” . 数形结 合 思想让 “ 数 ”的抽 象 与“ 形 ”的  直 观结 合 , 使 问题 的解决 既直 观又 入微. 本 文从 数形 

杨  丹 

时 , 直 线 A C 的 斜 率 最 小 ? 此 时   c  1   - 即 口 ≤ 吾 , '   ?  
1 

综合( 1 ) ( 2 ) , 0的取 值 范 围为 ( 一o 。, 三] .   例2  ( 2 0 1 5年 高考全 国 I ? 理2 1 ) 已知 函数 
) = 3+口  +   1g (  ) =一I n 纸  


结 合 的角度 探 索两道 全 国卷 的压 轴 题 的 解 法 , 希 望 
对 读者 有所 启迪.  

例1  ( 2 0 1 2 年高考全国卷 ? 理2 0 ) 设函 数  )   =   +e o s x ,  ∈[ 0 , 7 r ] .  
(I)讨 论_ 厂 (  )的单调 性 ;  

(I)当 口为何值 时 ,  轴 为 曲线 Y=, (  )的切 
线:  

(Ⅱ)若 , (  )≤ 1+s i n x , 求 口的取值 范 围.  
解析 : (I)略. (Ⅱ)若  )≤ 1+s i n x , 即似 +  
c 0 s  ≤ 1+s i n x, 从而 0  ≤ s i n  一c o s  +1 .  

(Ⅱ)用 m i n{ m, n } 表 示 m, n中的最小值 , 设函   数h ( x ) =r ai n { , (  ) , g (  ) } (   >0 ) , 讨论  h (  )的  
零 点 的个 数.  

( 1 )当   =0时 , n   X   0≤ 0, 此 时 口∈ R;  
: 一

解析: (I)略. (Ⅱ)当   ∈( 1 , +∞)时 , g (  )  

( 2 )当   ∈( 0 ,   ]时 , n≤  


1 眦 <0 , 从而 h ( x )=mi n {   ) , g (  ) }<0 , 故 

J   1 ,  
,  

令g (  ):   则g (  ) :  
O 7  

(   ) 在( 1 , + o 。 ) 无 零 点 . 当  = 1 时 , 若口 ≥ 一 云,   则  1 ) = 0 + 音≥ 0 ,   ( 1 ) = a r i n {  1 ) , g ( 1 ) } _  
< 

,  

/  

x 

, 4 ( 0   1 )  

!   :   : 至   二  其 几 何 意 


g ( 1 ) = 0 , 故  = 1 : 是   (   ) 的 零点 ; 若0 < 一 音, 则  
1 ) = 0 + 寺< o ,   ( 1 ) = m i n t f ( 1 ) , g ( 1 ) } < 0 ,  
故  = 1不是 h ( x )的零 点. 当   ∈( 0 , 1 ) , g ( x )=  


图1  

义 为 点   ( x , A - s i n (   一 手 ) ) 与  
点a ( 0 ,一1 )连 线 的斜 率. 作 出函数 y=4 fs ' i n ( x一  

l   >0 , 只需考 虑  ) 在( 0, 1 )的零 点个 数. 即  


手 ) ,   ∈ ( 0 , 可 ] 的 图 像 : 由 图 1 可 知 , 当 B 与 C 重 合  


+ 口  + 

=0 , 即 一口 =   2+   1


构造 函数 m(  )=  
,  

2+  1
,  

∈( 0, 1 ) ’ 则m   )=2  一  1 =  

本文为福建 省 教 育科 学 “ 十 三 五” 规划 2 0 1 6年 度 课题 《 基 于 全 国课 标 I卷 函数 与 导 数 的 考察 研 究 》( 课题 编 号 :  

F J J K X B 1 6— 3 1 4 ) 的研究成果 .  

2 0 1 7年 第 4期 
’   1  

中学数 学研 究 

? 3 9?  

当   ∈( 0 ,   1 ) 时 , m   (   ) <0 , 当   ∈( 了 1 , 1 ) 时 ,   零点, 当0< 一 ÷时,  =1 不 是   (   ) 的 零点 .  
m  (  ) > 0 , 故 m( x )的 极 小   ̄ 2  m(2 1)=   3
- -

1, ,  


~  



作 出 m(  )  

叫x —z 十  

综 上 , 当 口 > 一 寻 或 口 < 一 ÷时 ,   (   ) 有 一 个 零  
C 

的 图像 , 如图2 :  

D 

一  

点; 当口 =一   或 口 =一   时,  (  )有 两个零 点 ; 当  


由 图 可 知 : 当 一 。 < 丢 ,  
当 一。 =   3 即。   一   3 时 



图2  

亍< a < 一 亍时 ,   (   ) 有 三 个 零 点 .  
以上 两题 的解答 与高 考命题 者提 供 的参 考答 案 

即 。 > 一 丢时  ) 在 ( o , 1 ) 无 零 点 ;  
) 在( O


比较 , 显得更 加优 美且 简 洁. 用 数形 结合 思想 不但 回  
1 )有 唯 

避 了分 类讨论 和 构造 函数 带 来 的麻 烦 , 而 且 思 维 更  加 流畅 , 更容 易接 近 问题 的本质. 若 要用 常规 思维 方 

零点;  

当 寻 < 一 口 <   5 , 即 一   5 < 口 < 一   3 时  ) 在  
( 0, 1 )有 两个零 点 ;  
当 一口≥  5 即口≤一   5时  


法解决这类问题 , 有一定 的难度 , 而渗透数形结合的   思想 方 法 , 则会 使 学 生更加 容 易接 受 , 更容 易 找到 解  题 的突破 口 .  
参 考文 献 
[ 1 ] 黄永 生 , 杨 丹. 一 道试 题 的解法 思考 与改 编 [ J ] . 中学数 
学研究 ( 江西 ) . 2 0 1 6 ( 1 0 ) : 2 8 —2 9 .  

) 在( 01 )有 一 


个零 点.  

由 以 上 分 析 知 : ‘ 当 口 ≥ 一 } 时 ,   = 。 1   2   h (   ) 的  

2 0   1   6年 高考 天 津 理 科压 轴 题 简解 的深 度 揭 秘 
安徽 省安庆 市岳 西县 汤池 中学  ( 2 4 6 6 2 0 )   刘先杨
2 0 1 6年 高考 天津 卷理 科 第 2 0题 为 :  

杨 续亮  

设 函数, (  )= (   一1 )  一a x—b ,   ∈R, 其 中 
a。 6 ∈ R.  

( 1 ) 当 口   3 时 ’ 1 一   孚≤ 0 < 2 ≤ 1 + 孚,  
由(I )知   )在 区间 [ 0 , 2 ]上 单调递 减 , 所以   ) 在 区间[ 0 , 2 ]上 的取 值 范围为 [  2 )   0 ) ] ,   因此 M =m a x { I   2 ) J , J  0 ) I }=m a x { I   1— 2 a  


(I)求  )的单调 区 间;   ( Ⅱ)若  戈 )存在 极值 点  。 , 且  。 ):, ( X o ) ,   其中  1 ≠  0 , 求证 :   1+2 x o=3 ;  
( Ⅲ )设 a > 0 , 函数 g ( x ) =l  
1  
-r  

)I , 求证 :  

b   l , l 一1一b   I }= m a x {   l a一1+( a+6 )I , I   a  
  一

g ( x ) 在区间[ 0 , 2 ] 上的 最大值不小于÷.  
本 文对 试 题 的 第 三 问作 一探 究 , 第 (I) (Ⅱ)  
问答 案 略.  




c 口 + 6   -   = {   二   二   : :   ; : : : :   暑 : 所  
( 2 )篁   3 ≤ n<3时


以 M = a一 1+I  a+ b   I ≥2 .  
1一



参考 答案 的解 法 

( Ⅲ)证明: 设g ( x )在 区间[ 0 , 2 ]上 的最 大值  为 M, m a x {  , Y } 表示 , Y两数 的最 大值. 下面分 三   种 情况 讨论 :  
< 1+

竽 ≤ 0 < 1 一 鱼 3  
I ) 和 ( Ⅱ ) 知   0  

争< 2 ≤ 1 +  

本文系安庆市教育科学 规划课题“ 学生数学 学习质 疑能力 的培养 策略研 究 ” ( MK ' r 2 0 1 5—8 2 , 主持人 : 杨 续亮 ) 的研究 
成 果.  


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