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2011年全国高中数学联赛模拟卷(14)(一试+二试


2011 年全国高中数学联赛模拟卷(14)第一试
姓名:_____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1.各项均为实数的等比数列{an},前 n 项之和记为 S n . 若 S 10 ? 10 , S 30 ? 70 ,则 S 60 ?
2 2 x? x
2



) ? a ? 3 sin(2 ) 至少有一个解,则实数 a 的范围是_____________ 2.关于 x 的方程 2 cos (2 3.已知正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上. 若该四棱锥的体积为 V,则球的表面积的最小 值为_____________.

2 x ? x ?1

2

4.已知 A ? { x x ? 4 x ? 3 ? 0, x ? R } , B ? { x 2
2

1? x

? a ? 0, x ? 2( a ? 7) x ? 5 ? 0, x ? R} .若 A ? B ,则
2

实数 a 的取值范围是 . 5.一个盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,在取得正品前已取出的废品数 ? 的数学期望 E ? =_________________. 13 2 2 2 6.若非负实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3 z ? ,则 ( x ? y ? z ) min ? . 4 7.正整数 n 使得 n ? 2005 是完全平方数, 则 ( n ? 2005) 的个位数字是
2

2

n


3 4 2

8.在平面直角坐标系内,将适合 x<y, |x|<3, |y|<3, 且使关于 t 的方程 ( x ? y )t ? (3 x ? y )t ?
3

1 =0 x-y

没有实数根的点 ( x , y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N 所成区域的面积为

_______.

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分)
5 9. 已知定义在 R 上的函数 f (x)满足: (1)= , f 且对于任意实数 x、 y , 总有 f ( x ) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) 2 成立. (1)若数列 { a n } 满足 a n ? 2 f ( n ? 1) ? f ( n )( n ? 1, 2, 3, ? ) ,求数列 { a n } 的通项公式 (2)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 . 设有理数 x1 , x 2 满足 | x1 |?| x 2 | ,判断 f ( x1 ) 和 f ( x 2 ) 的 大小关系,并证明你的结论.

n 10.对 n ? N *, ? 2 ,令 S n ? ?

n

k k ?k
2 4

k ?1 1 ?

, Tn ? ?

n

k ?1
3

k ?2

k ?1
3

,试求 S n ? T n 的表达式.

2011 模拟卷(14)

第 1 页 共 4页

y x2 11.如图, 设 P 为双曲线 -y2=1 上第一象限内的任一点, F1, F2 3 → → 右焦点,直线 PF1, PF2 分别交双曲线于 M, N. 若PF1=λ1F1M (λ1≠ → → PF2=λ2F2N.求 λ1+λ2 的值及直线 MN 的斜率 KMN 的取值范围. P M F1 O F2 x 为左 ?1),

N

2011 年全国高中数学联赛模拟卷(14)答案
1.630 2.设 2
2 x? x
2

? t , 则 2 cos t ? a ?
2

t?2

2 x? x

2

?2

1? ( x ?1)

2

3 2 ? ? ? ? 1 a ?1 1 ? ?) ? [ 1 ,, 由) ? 1 ? ? , 得 ? (0, 2] , 有 2 t ? ? ( , ? 4] , 从 而 c o s (t2 3 3 3 3 2 2 2

3 sin 2 t , 即

3 sin 2 t ? cos 2 t ? 1 ? a , 得 cos(2 t ?

?

)?

a ?1

,而

?1 ? a ? 2 .

2011 模拟卷(14)

第 2 页 共 4页

3.

9?

3

9V 4

2

.
1? x

4.可得 A ? { x 1 ? x ? 3} ,设 f ( x ) ? 2

? a , g ( x ) ? x ? 2( a ? 7) x ? 5 要使 A ? B , 只需 f ( x ) , g ( x ) 在(1,3)
2

上的图像均在 x 轴的下方, 则 f (1) ? 0 , f (3) ? 0 , g (1) ? 0 , g (3) ? 0 , 由此可解得 ? 4 ? a ? ? 1 . 5.解析: ? 取值为 0,1,2,3,且有 P (? ? 0 ) ?
P (? ? 3 ) ? A3 C 9 A
4 12 3 1

C9 C

1

1 12

?

3 4

1 1 , P (? ? 1) ? C 3 C 9 ? 9 , P (? ? 2 ) ? 2

A3 C 9 A
3 12

2

1

?

9 220



A12

44

?

1 220

. ? E? ? 0 ?

3 4

? 1?

9 44

? 2?

9 220

? 3?

1 220

? 0 .3 .

6.解析:? x , y , z 均为非负实数,? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ? 0 ,

? x ? y ? z ? x ? 2 y ? 3 z ? 2 xy ? 2 yz ? 2 zx ? 2 x ? y ?
2 2 2

13 4

, 或x? y? z ?

? ( x ? y ? z ) ? 3( x ? y ? z ) ?
2

13 4

? 0 ,? x ? y ? z ?

?3 ? 2 ?3 ?

22

?3 ? 2

22

(舍)

所以, ( x ? y ? z ) min ?
2 2

?3 ? 2

22

,只需 x ? y ? 0, z ?

22

取等.

2

7.设 n ? 2005 ? m ( m ? 0) ,则 ( m ? n )( m ? n ) ? 2005 ? 1 ? 2005 ? 5 ? 401 , 得

?m ? n ? 1 或 ?m ? n ? 5 ,解得 ? m ? 1003 或 ? m ? 203 , ? ? ? m ? n ? 2005 ? m ? n ? 401 ? ? ? n ? 1002 ? n ? 198

? 203 ,知它的个位数字也是 9. 1 3 3 2 2 ? 0. 8.解析:令 u ? t ,原方程化为 ( x ? y ) u ? (3 x ? y ) u ? ① x? y
由 1003
1002

? 1003

4 ? 250 ? 2

,知它的个位数字是 9,

由 203

198

4 ? 49 ? 2

? ? (3 x ? y ) ? 4( x ? y ) ?
2 3 3

1 x? y

? 5 x ? 2 xy ? 3 y ? (5 x ? 3 y )( x ? y ).
2 2

所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,
? x ? y, ? x ? y, ? 或 ? x ? 3, ? x ? 3, ? ? ? ? y ? 3, ? y ? 3, ? ? (5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 (5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? ?
?3 x ? y ? 0. ?

点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

S ? S ? ABO ? S ? BCO ?

1 2

?

24 5

?3?

1 2

? 6?3 ?

81 5

.

9.解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1 ? ? f

,? f ? 0 ? ? 2 . 2 令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y ) ? f ( y ) ? f ( ? y ) ,即 2 f ( y ) ? f ( y ) ? f ( ? y ) ? f ( y ) ? f ( ? y ) 对任意的实数 y 总成

? 0 ? ? f ?1? ? f ?1? ,又?

f (1) ?

5

立, ? f

? x ? 为偶函数.令 x ?

y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 0 ? ,

?

25

17 5 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? 17 . ? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ? ? ? 6. 2 2 4 4 5 2 f ( n ? 1) ? f ( n ) .

令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f ( n ? 1) f (1) ? f ( n ? 2) ? f ( n ) ,? f ( n ? 2) ?

?5 ? ? a n ?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1 ? ? 2 ? f ? n ? 1 ? ? f ? n ? ? ? f ? n ? 1 ? ? 4 f ? n ? 1 ? ? 2 f ? n ? ?2 ?

? 2[2 f ( n ? 1) ? f ( n )] ? 2 a n
(2)结论: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) .
+

( n …1). ? { a n } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列. ∴ a n ? 6 ? 2 n ?1 .

证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 ,

∴ f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) ? 2 f ( x ) ,即 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky ( k ? N ) ,故 ? k ? N ,总有 f [( k ? 1) y ] ? f ( ky ) ? f ( ky ) ? f [( k ? 1) y ] 成立.
+

2011 模拟卷(14)

第 3 页 共 4页

则 f [( k ? 1) y ] ? f ( ky ) ? f ( ky ) ? f [( k ? 1) y ] ? f [( k ? 1) y ] ? f [( k ? 2) y ] ? ? ? f ( y ) ? f (0) ? 0 . ∴对于 k ? N ,总有 f [( k ? 1) y ] ? f ( ky ) 成立.
+

∴对于 m , n ? N ,若 n ? m ,则有 f ( ny ) ? f ? ? n ? 1 ? y ? ? ? ? f ( my ) 成立. ? ?
+

∵ x1 , x 2 ? Q ,所以可设 | x1 |? 则 | x1 |?

q1 p1

, | x 2 |?
1

q2 p2

,其中 q1 , q 2 是非负整数, p1 , p 2 都是正整数,
+

q1 p 2 p1 p 2

, | x 2 |?

p1 q 2 p1 p 2

,令 y ?

p1 p 2

, t ? q1 p 2 , s ? p1 q 2 ,则 t , s ? N .

∵ | x1 |? | x 2 | ,∴ t ? s ,∴ f ( ty ) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x 2 |) . ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x 2 |) ? f ( x 2 ) .∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) . 10.解: S n ?

? 1? k
k ?1

n

k
2

?k

4

?

? (k
k ?1

n

k
2

? k ? 1)( k ? k ? 1)
2

?

?

n

k ?1

n ?n 1? 1 1 1 1 ? 1? ? ? 2 ? 2 , ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 2 ? k ? k ? 1 k ? k ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 n ? n ? 1 ? 2( n ? n ? 1)
2

Tn ?

?k
k ?2

n

k ?1
3 3

?1

?
2 2

? ( k ? 1)( k
k ?2

n

( k ? 1)( k ? k ? 1)
2 2

? k ? 1)
2

?

? k ?1
k ?2

n

k ?1

??
k ?2

n

k ? k ?1
2 2

( k ? 1) ? ( k ? 1) ? 1

?

1? 2

n ? ( n ? 1) 1 ? 1 ? 1

?

n ? n ?1

?

2( n ? n ? 1) 3 n ( n ? 1)

故 S n Tn ? 所以

n ?n
2

2( n ? n ? 1)
2

?

2( n ? n ? 1)
2

3 n ( n ? 1)

?

1 3

.

11. 解: 设 p(x0, y0), 因 OF 1 ? OP ?
OM ? 1 ? ?1

?1 ( OM ? OF 1 ) ,
2 ? 2 ?1 ? x 0

?1

OF1 ?

1

?1

OP ? ( ?

?1

,?

y0

?1

) , 同理 ON ? (

2 ? 2? 2 ? x0

?2

,?

y0

?2

),

? ( 2 ? 2 ?1 ? x 0 ) 2 ? 3 y 0 2 ? 3?1 2 将 M、N 坐标代入双曲线得: ? ? 2 2 2 ? ? ( 2 ? 2 ? 2 ? x 0 ) ? 3 y 0 ? 3? 2
2 2 ? 即 ? 4 (1 ? ? 1 ) ? 4 x 0 (1 ? ? 1 ) ? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? 4 (1 ? ? 2 ) 2 ? 4 x 0 (1 ? ? 2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ?

(1) (2)
2

消去 x0 得:
2

4 (1 ? ?1 ) (1 ? ? 2 ) ? 4 (1 ? ?1 )(1 ? ? 2 ) ? 3( ?1 ? 1)(1 ? ? 2 ) ? 3( ? 2 ? 1)(1 ? ?1 )
2 2

即 4 (1 ?

?1 )(1 ? ? 2 )( ?1 ? ? 2 ? 2 ) ? 3(1 ? ?1 )(1 ? ? 2 )( ?1 ? ? 2 ? 2 ) ,
? ? 2 ? 2 ) ? 3( ?1 ? ? 2 ? 2 ) ,
代入得: 解得 ?1

因 (1 ?

?1 )(1 ? ? 2 ) ? 0

所以, 4 ( ?1 将 ?1

? ? 2 ? ? 14 .
联立解得:
? x0 y0 21 ? 7 x 0
2

将(1)-(2)得: 4 ( ?1

? ? 2 )( ?1 ? ? 2 ? 2 ) ? 4 x 0 ( ?1 ? ? 2 ? 2 ) ? 3( ?1 ? ? 2 )( ?1 ? ? 2 )

? ? 2 ? ? 14

?1 ? ? 2 ? ? 8 x 0 与 ?1 ? ? 2 ? ? 14
y 0 ( ? 2 ? ?1 ) 2 ( ? 2 ? ?1 ) ? 4 ? 2 ?1 ? x 0 ( ? 2 ? ?1 )

? ?1 ? ? 4 x 0 ? 7 ? ?? 2 ? 4 x 0 ? 7

代 入 K MN ?
x0 y0 ?? 1 21 ? x0 y0 y0
2

, 由

x02 - 3y02=3



K MN ?

x0 y0 21 ? 7 x 0
2

?

7 (3 ? x 0 )
2

??

1

21 y 0

?

x0

??

1 21

3?

3 y0
2

??

3 3 即斜率 K 的取值范围是( ). ? ? ,? MN 21 21

2011 模拟卷(14)

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