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长串Microsoft Word 文档 (3)


朱田中学九年级数学 二次函数分知识点专题复习
一、二次函数的定义
(考点:二次函数的二次项系数不为 0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ① y ? x 2 ? 4x ? 1; ② y +2 x2 -2(x+1)2 ? 0 ; ③; y ? 2 x ? 4 x ④ y ? ?3x ; ⑤ y ? ?2 x ? 1 ; ⑥ y ? mx2 ? 2x ? 5 ; ⑦ y ? 2 x-1 ; 2、 在一定条件下, 若物体运动的路程 s (米) 与时间 t 秒) ( 的关系式为 s ? 5t 2 ? 2t , 则 t =4 秒时,该物体所经过的路程为 _________ 。 2 2 3、若函数 y ? m ? 2m ? 7 x ? 4x ? 5 是关于 x 的二次函数,则 m 的取值范围 为 。 4、若函数 y ? ? m ? 2? x m ?2 ? 5x ? 1 是关于 x 的二次函数,且开口向上,则 m 的值
3

?

?




2

5、已知函数 y ? ?m ? 1?x m

?1

? 5x ? 3 是二次函数,求 m 的值。

二、函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象和性质 (一) 、二次函数的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减
抛物线 开口方向
2

对称轴

顶点坐标

增减

y ? ?4x

y ? 2x 2 +2 y ? ?(x-1) 2
y? 1 ?x ? 3?2 ? 2 2

y ? -2 x 2 +4 x-5
并画出上述函数的草图

9

1.抛物线 y ? 2 x 2 ? 4 x ? m 2 ? m 经过坐标原点,则 m 的值为 。 2 2.抛物线 y ? x ? bx ? c 的顶点坐标为(1,3) ,则 b= ,c= . 2 3.抛物线 y ? x ? 3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 4.若抛物线 y ? ax ? 6x 经过点(2, 0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( A. 13 B. 10

)

C. 15 D. 14 1 5.已知抛物线 y ? x 2 ? ?m ? 1?x ? 的顶点的横坐标是 2,则 m 的值是 . 4 6.抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的对称轴是 。 2 7.若二次函数 y ? 3x ? mx ? 3 的对称轴是直线 x =1,则 m = 。 n 8.当 n =______, m =______时,函数 y ? ?m ? n?x ? ?m ? n?x 的图象是抛物线, 且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 9.已知二次函数 y ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 3,当 a = 时,该函数 y 的最小值为 0. 2 10.已知二次函数 y ? mx ? ?m ? 1?x ? m ? 1 有最小值为 0,则 m = __。 2 11.已知二次函数 y ? x ? 4 x ? m ? 3 的最小值为 3,则 m= 。 2 12.抛物线 y ? x ? 4 x ? 9 的对称轴是 。 13.抛物线 y ? 2x 2 ? 12x ? 25的开口方向是 _______ (填“向上”或“向下”) , 顶点坐标是 。 14. 试写出一个开口方向向上, 对称轴为直线 x =-2, 且与 y 轴的交点坐标为 (0, 3)的抛物线的解析式 。 15.通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: 1 1 (1) y ? x 2 ? 2 x ? 1 ; (2) y ? ?3x 2 ? 8x ? 2 ; (3) y ? ? x 2 ? x ? 4 2 4

16.二次函数 y=3x2-6x+5,当 x>1 时,y 随 x 的增大而 ;当 x<1 时, y 随 x 的增大而 ; 当 x=1 时,函数有最 值是 。 17.已知函数 y=4x2-mx+5,当 x> -2 时,y 随 x 的增大而增大;当 x< -2 时,y 随 x 的增大而减少; 则当 x=1 时,y 的值为 。 2 18.已知二次函数 y=x -(m+1)x+1,当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大,则 m 的取 值范围是 . 1 5 19.已知二次函数 y=- x2+3x+ 的图象上有三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且 2 2

10

3<x1<x2<x3,则 y1,y2,y3 的大小关系为

.

(二) 、二次函数的平移
记法:只要两个函数的 a 相同,就可以通过平移重合。若二次函数是一般式则将 一般式化为顶点式 y=a(x-h)2+k, 平移规律:左加右减,对 x;上加下减,直接加减,对 y 。 3 1.抛物线 y= - x2 向左平移 3 个单位,再向下平移 4 个单 2 位,所得到的抛物线的关系式为 。 2 2.抛物线 y= 2x , ,可以得到 y=2(x+4}2-3。 3.将抛物线 y=x2+1 向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,所得到的抛物线 的关系式为 。 2 4.如果将抛物线 y=2x -1 的图象向右平移 3 个单位,所得到的抛物线的关系式 为 。 5.将抛物线 y=ax2+bx+c 向上平移 1 个单位,再向右平移 1 个单位,得到 y=2x2 -4x-1 则 a= ,b= ,c= . 2 6.将抛物线 y=ax 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,移动后的抛物线经 过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为 _. 2 7.把抛物线 y ? x ? bx ? c 的图象向右平移 3 个单位,在向下平移 2 个单位,所 得图象的解析式是 y ? x 2 ? 3x ? 5 ,试求 b, c 的值。

8.分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线 y ? 2x 2 得到抛物线 y ? 2?x ? 4? 和
2

y ? 2?x ? 4? ? 5 ?
2

9.把抛物线 y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1沿坐标轴先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单 位,问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理 由。

三、函数解析式的求法
(一) 、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式 y=ax2+bx+c,然后解 三元方程组求解; 1.已知二次函数的图象经过 A(0,3) 、B(1,3) 、C(-1,1)三点,求该二

11

次函数的解析式。

2.已知抛物线过 A(1,0)和 B(4,0)两点,交 y 轴于 C 点且 BC=5,求该二 次函数的解析式。

(二) 、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一 点时,通常设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k 求解。 3.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6) ,且经过点(2,-8) ,求该二 次函数的解析式。

4.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-3) ,且经过点 P(2,0)点,求二 次函数的解析式。

(三) 、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式 y=a(x-x1)(x -x2)。 5.二次函数的图象经过 A(-1,0) ,B(3,0) ,函数有最小值-8,求该二次函 数的解析式。

6.已知 x=1 时,函数有最大值 5,且图形经过点(0,-3) ,则该二次函数的解

12

析式 。 2 7.抛物线 y=2x +bx+c 与 x 轴交于(2,0) (-3,0) 、 ,则该二次函数的解析 式 。 8.若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为(1,3) ,且与 y=2x2 的开口大小相同,方 向相反,则该二次函数的解析式 。 2 9. 抛物线 y=2x +bx+c 与 x 轴交于 (-1,0) 3,0)则 b= 、 ( , , c= . 10.若抛物线与 x 轴交于(2,0)、 (3,0) ,与 y 轴交于(0,-4),则该二次函数 的解析式 。 11.根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式 (1) 当 x=3 时,y 最小值=-1,且图象过(0,7)

3 (2) 图象过点(0,-2) (1,2)且对称轴为直线 x= 2

(3) 图象经过(0,1) (1,0) (3,0)

(4) 当 x=1 时,y=0; x=0 时,y= -2,x=2 时,y=3

(5) 抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10)

11.当二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1= -3,x2=1 时,且与 y 轴交 点为(0,-2) ,求这个二次函数的解析式

13

12.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于(2,0)、 (4,0) ,顶点到 x 轴 的距离为 3,求函数的解析式。

1 11 13.知二次函数图象顶点坐标(-3, )且图象过点(2, ) ,求二次函数解 2 2 析式及图象与 y 轴的交点坐标。

14.已知二次函数图象与 x 轴交点(2,0), (-1,0)与 y 轴交点是(0,-1)求解析式及 顶点坐标。

15.若二次函数 y=ax2+bx+c 经过(1,0)且图象关于直线 x= 象还必定经过哪一点?

1 对称,那么图 2

16.y= -x2+2(k-1)x+2k-k2,它的图象经过原点,求①解析式 O、A 及顶点 C 组成的△OAC 面积。

②与 x 轴交点

14

17. 抛物线 y= (k2-2)x2+m-4kx 的对称轴是直线 x=2, 且它的最低点在直线 y= - 1 x+2 上,求函数解析式。 2

四、函数的交点
1.抛物线 y=x2+7x+3 与直线 y=2x+9 的交点坐标为 2.直线 y=7x+1 与抛物线 y=x2+3x+5 的图象有 。 个交点。

五、函数的的对称
3.抛物线 y=2x2-4x 关于 y 轴对称的抛物线的关系式为 4.抛物线 y=ax2+bx+c 关于 x 轴对称的抛物线为 y=2x2-4x+3,则 a= c= 。 b=

六、函数的图象特征与 a、b、c 的关系
1.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如右图所示,则 a、b、c 的符号为( A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 )

第1题
2

第2题

第3题

2.已知抛物线 y=ax +bx+c 的图象如右图所示,则下列结论正确的是( ) A.a+b+c> 0 B.b> -2a C.a-b+c> 0 D.c< 0 2 3.抛物线 y=ax +bx+c 中,b=4a,它的图象如右图,有以下结论: ①c>0; ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤ abc< 0 ; 其 中 正 确 的 为 ( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.①③⑤ 2 4.当 b<0 是一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax +bx+c 在同一坐标系内的图象可能

15

是(



5.若直线 y ? ax ? b 不经过二、四象限,则抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ( ) A.开口向上,对称轴是 y 轴 B.开口向下,对称轴是 y 轴 C.开口向下,对称轴平行于 y 轴 D.开口向上,对称轴平行于 y 轴 2 5.已知二次函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象可能 是图所示的( )
y O A
1

y

y
1

y
1

x

O B

x

O C

x

O D

1

x

6.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,那么 abc, b2-4ac, 2a+b,a+b+c 四个代数式中,值为正数的有 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 7.在同一坐标系中,函数 y= ax2+c 与 y= c (a<c)图象可能是图所示的( x )

A 8.反比例函数 y= 致为图中的(

B

C

D

k 的图象在一、三象限,则二次函数 y=kx2-k2x-1c 的图象大 x )

16

A 9.反比例函数 y=

B

C

D

k 中, x> 0 时, 随 x 的增大而增大, 当 y 则二次函数 y=kx2+2kx x 的图象大致为图中的( )

A B C D 2 10.已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则 下列结论中:正确的个数是( ) ①a,b 同号; ②当 x=1 和 x=3 时,函数值相同;③4a +b=0; ④当 y=-2 时,x 的值只能取 0; A.1 B.2 C.3 D.4 2 11.已知二次函数 y=ax +bx+c 经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限) 则直线 y=ax+bc 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.已知二次函数 y=ax2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.
y

(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标 P__________. (3)该函数有最______值,当 x=______时,y 最值=________. (4)当 x_____时,y 随 x 的增大而减小. 当 x_____时,y 随 x 的增大而增大. (5)抛物线与 x 轴交点坐标 A_______,B________; 与 y 轴交点 C 的坐标为_______;
S ?ABC =_________, S ?ABP =________.
1 4

O A

B

x

17

(6)当 y>0 时,x 的取值范围是_________;当 y<0 时,x 的取值范围是_________. (7)方程 ax2-5x+c=0 中△ 的符号为________.方程 ax2-5x+c=0 的两根分别为 _____,____. (8)当 x=6 时,y______0;当 x=-2 时,y______0.

七、二次函数与 x 轴、y 轴的交点(二次函数与一元二次方程的关系)
1. 如果二次函数 y=x2+4x+c 图象与 x 轴没有交点,其中 c 为整数,则 c= (写一个即可) 2. 二次函数 y=x2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线 y=-3x2+2x-1 的图象与 x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 2 4. 如图所示, 二次函数 y=x -4x+3 的图象交 x 轴于 A、 两点, 交 y 轴 B 于点 C, 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 2 5. 已知抛物线 y=5x +(m-1)x+m 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧,它们 49 的距离平方等于为 ,则 m 的值为( ) 25 A.-2 B.12 C.24 D.48 6. 若二次函数 y=(m+5)x2+2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方, m 的取值范 则 围是 7. 已知抛物线 y=x2-2x-8, (1)求证:该抛物线与 x 轴一定有两个交点; (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,且它的顶点为 P,求△ABP 的面 积。

8.抛物线y =x 2 +(2m-1)x+m 2与x轴有两个交点,则m的取值范围是(

)

八、二次函数应用
(一) 最大利润问题 1、华联商场以每件 30 元购进一种商品,试销中发现每天的销售量 y(件)与每 件的销售价 x(元)满足一次函数 y=162-3x. (1)写出商场每天的销售利润 w(元)与每件的销售价 x(元)的函数关系式; (2)如果商场要想获得最大利润,每件商品的销售价定为多少为最合适?最 大销售利润为多少

18

2.某商店购进一批单价为 16 元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利 润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件 20 元的价格销售时,每月 能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件。假定每月销售件数 y(件)是价格 X 的一次函数.(1)试求 y 与 x 的之间的关系式. (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才 能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)

3、某商店购进一批单价为 18 元的商品,如果以单价 20 元出售,那么一个星期 可售出 100 件。根据销售经验,提高销售单价会导致销售量减少,即当销售单价 每提高 1 元,销售量相应减少 10 件,如何提高销售单价,才能在一个星期内获 得最大利润?最大利润是多少?

4.某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元,可卖出 400 台,以每 100 元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出 50 台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?

19

(二) 、抛物线形题 5.右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线 两端点与水面的距离都是 1m, 拱桥的跨度为 10m, 桥洞与水面的最大距离是 5m, 桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角 坐标系中(如下图) (1)求抛物线的解析式. . 景观灯之间的水平距离. (2)求两盏
y

O

x

6、 如图, 有一个抛物线的拱形立交桥, ?这个桥拱的最大高度为 16m, 跨度为 40m, 现把它放在如图所示的直角坐标系里,若要在离跨度中心点 m 点 5m 处垂直竖 一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长?

(三)

面积问题

7、如图,用长为 18 m 的篱笆(虚线部分) ,两面靠墙 围成矩形的苗圃. (1) 设矩形的一边为 x (m) ,面积为 y (m2),求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值

20

范围; (2) 当 x 为何值时,所围苗圃的面积最大,最大面积是多少?

8、在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度 移动,如果 P、Q 两点同时出发,分别到达 B、C 两点后就停止移动. (1)运动第 t 秒时,△PBQ 的面积 y(cm?)是多少? (2)此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm?),写出 S 与 t 的函数关系式,并 指出自变量的取值范围. (3)t 为何值时 s 最小,最小值时多少?

9、如图 26-3-2-3,在矩形 OABC 中,OA=8,OC=4,OA、OC 分别在 x,y 轴上,点 O 在 OA 上,且 CD=AD, (1)求直线 CD 的解析式; (2)求经过 B、 C、D 三点的抛物线的解析式; (3)在上述抛物线上位于 x 轴下方的图象上,是否存在一点 P,使 ΔPBC 的面积等 于矩形的面积?若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

10 、 已 知 : m , n 是 方 程 x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 的 两 个 实 数 根 , 且 m ? n , 抛 物 线

21

0 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象经过点 A( m,),B( 0, n ).

(1) 求这个抛物线的解析式; (2) 设(1)中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物 线的顶点为 D, 试求出点 C, 的坐标和 △BCD 的 D 面积;

D

y

B

A

C

O

x

(四) 、动点问题 11、如图,矩形 ABCD 的两边长 AB=18cm,AD=4cm,点 P、Q 分别从 A、B 同时出发,

P 在边 AB 上沿 AB 方向以每秒 2cm 的速度匀速运动,Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每
秒 1cm 的速度匀速运动.设运动时间为 x 秒,△PBQ 的面积为 y(cm2).(1)求

y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (2)求
△PBQ 的面积的最大值.

22

5.如图,等腰 Rt△ABC 的直角边 AB=2,点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,以 相等的速度作直线运动, 已知点 P 沿射线 AB 运动, Q 沿边 BC 的延长线运动, 点 PQ 与直线相交于点 D。 (1)设 AP 的长为 x,△PCQ 的面积为 S,求出 S 关于 x 的函数关系式; (2)当 AP 的长为何值时,S△PCQ= S△ABC

13. 如图,直角梯形 OABC 中,OC∥AB,C(0,3) B(4,1) , ,以 BC 为直径的圆 交 x 轴于 E,D 两点(D 点在 E 点右方). (1)求点 E,D 的坐标; (2)求过 B,C,D 三点的抛物线的函数关系式; (3)过 B,C,D 三点的抛物线上是否存在点 Q,使△BDQ 是以 BD 为直角边的直 角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点 Q 的坐标.

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