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2007年养正中学高一物理竞赛答案


2007 年养正中学学科竞赛试卷 2007.4
高一年物理 考试时间:150 分钟 试卷总分 200 分

一、填空题: 个小题,共 30 分) (3 1.(10 分)质量为 m 的小木块,停放在水平地面上,它与地面的静摩擦系数为μ ,一人想用最小
F ?

? mg
1? ?
2

/>的作用力 F 使木块移动,则此最小的作用力 F=

,其方向与水平夹角α =arccot1/u

2.(10 分)三个质量相同的物体 A、B、C,用两个轻弹簧和一根轻线相连,挂在 天花板上,处于平衡状态,如图所示,现将 A,B 的轻线剪断在刚剪断后的瞬 间,三个物块的加速度分别是(加速度的方向以竖直向下为正) ....... : A 的加速度是 B 的加速度是 C 的加速度是 -2g 2g 0 ; ; ;
A ’’

A B

C
B ’’

3.(10 分)两个相同的条形磁铁,放在平板 AB 上,磁铁 的 N、S 极如图所示,开始时平板及磁铁皆处于水平位 置,且静止不动。 (1)现将 AB 突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相 互接触) ,并使之停在 A’B’处,结果发现两个条形磁铁 碰在一起。

S

N

S

N

A’

B’

(2) 如果将 AB 从原来位置突然竖直向上平移 (磁铁与平板间始终相互接触) 并使之停在 A’’B’’ , 处,结果发现两个条形磁铁也碰在一起。 试定性地解释上述现象。 (提示:两个磁铁水平方向上相互靠近的 N、S 相互吸引) 开始时每一磁铁受到另一磁铁的磁吸引力与板对它的静摩擦力平衡,所以静止不动。 (1)从板突然向下平移到停下是先向下加速后向下减速运动,板向下加速时,磁铁对板的弹 力减小,最大静摩擦力也减小,当最大静摩擦力小于磁吸引力时,磁铁就沿板相向运动并吸在一起。 (2)从板突然向上平移到停下是先向上加速后向上减速运动,板向上减速时,磁铁对板的弹 力减小,最大静摩擦力也减小,当最大静摩擦力小于磁吸引力时,磁铁就沿板相向运动并吸在一起。

高一年物理第 1 页 共 8 页

二.1. (20 分)一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点) ,煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ .初始时, 传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度 a0 开始运动,当其速度达到 v0 后,便以此速度做匀速运动。 经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后,煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。

根据“传送带上有黑色痕迹”可知,煤块与传送带之间发生了相对滑动,煤块的加速度 a 小于 传送带的加速度 a0。根据牛顿定律,可得 a=μg

设经历时间 t,传送带由静止开始加速到速度等于 v0,煤块则由静止加速到 v,有 v0=a0t v=at

由于 a<a0,故 v<v0,煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间 t',煤块的速度由 v 增加到 v0,有 v=v+at' 此后,煤块与传送带运动速度相同,相对于传送带不再滑动,不再 产生新的痕迹。 设在煤块的速度从 0 增加到 v0 的整个过程中,传送带和煤块移动的 距离分别为 s0 和 s,有
1

f

G1
F

?

F?

s0= 2 a0t +v0t

2

v02 s= 2a

图 11-24-甲 由以上各式得:l= v02(a0-μ 2μ a0g
FN
G1

传送带上留下的黑色痕迹的长度: l=s0-s

g)

2. (20 分)如图所示,倾角为θ =30?的粗糙斜面上放一物体,物体重为 G,静止在斜 面上。现用与斜面底边平行的力 F=G/2 推该物体,物体恰好在斜面内做匀速直线运动, 则物体与斜面间的动摩擦因数μ 等于多少?物体匀速运动的方向如何?

解:物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速 直线运动,所以受力平衡。但这四个力不在同一平面内,不容易看出它们 之间的关系。我们把这些力分解在两个平面内,就可以将空间问题变为平 面问题,使问题得到解决。 将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察,如图所示。 如图 11-24-甲所示,推力 F 与重力沿斜面的分力 G1 的合力 F ? 为:
t a n? ? G1 F ?1
F ?? ? F
2

?
G2 G 图 11-24-乙
2 2

? G1 ?
2

G

F ? 的方向沿斜面向下与推力成α 角,则

所以 ? ? 45

?

物体受到的滑动摩擦力与 F ? 平衡,即

f ? F ?? ?
? 6 3

2G / 2

? ?
所以摩擦因子:

f FN

?

2G / 2 G cos 30
?

高一年物理第 2 页 共 8 页

3. (20 分)质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结,绳跨过位于倾角?=30°的光滑斜面顶 端的轻滑轮,滑轮与转轴之间的摩擦不计,斜面固定在水平桌面上,如图所示.第一次,m1 悬空, m2 放在斜面上,用 t 表示 m2 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间.第二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜面底端由
t

m2

静止开始运动至斜面顶端所需的时间为 3 .求 m1 与 m2 之比. 第一次,小物块受力情况如图所示,设T1为绳中张力,a1为两物 块加速度的大小,l为斜面长,则有
m 1 g ? T1 ? m 1 a1
T1 ? m 2 g sin ? ? m 2 a1
l ? 1 2
2

m1

??

(1) (2) (3)

a1 t

第二次,m1与m2交换位置.设绳中张力为T2,两物块加速度的大小为a2,则有
m 2 g ? T2 ? m 2 a 2 T 2 ? m 1 g sin ? ? m 1 a 2
? t ? a2 ? ? 2 ?3?
2

(4) (5)

l ?

1

(6)

由(1)、(2)式注意到? =30?得
a1 ? 2 m1 ? m 2 2 ( m1 ? m 2 ) g

(7)

由(4)、(5)式注意到? =30?得
a2 ? 2 m 2 ? m1 2 ( m1 ? m 2 ) g

(8)

由(3)、(6)式得
a1 ? a2 9

(9)

由(7)、(8)、(9)式可解得
m1 m2 ? 11 19

(10)

高一年物理第 3 页 共 8 页

4. (20 分) 两个物体 A 与 B 叠在一起放在水平面上,如图。A 物体的质量为 m1,它和 B 物体之 间的动摩擦因数为μ 1,B 物体的质量为 m2,它和水平面之间的动摩擦因数为μ 1.(μ 1>μ 2). 设接触面间的最大静摩擦力等于动摩擦因数与压力的乘积。 (1)用水平力 F 拉 A,能使 AB 一起由静止开始运动,求力 F 的范围。
A

(2)用一水平力 F 拉 B,要把物体 B 从 A 下面抽出来,力 F 至少要多大? 解:如图 11-10 甲,将 A、B 看为同一整体,F 若能将其拉动那么
F ? f 2 ? ? 2 (m1 ? m 2 ) g
F ? f1 ? f 1? ? f 2 m2

B

且 A、B 不分离,则 又 所以
F ? m1 ? m 2 m2 f1 ? m1 m2

m1

f1 f2

A B

F
f 1?

f 1 ? f 1? ? ? 1 m 1 g

图 11-10 甲
(m1 ? m 2 ) g? 2 ? m1 ? m 2 m2 ? m1 g?1 ? m1 m2 (m1 ? m 2 ) g ? ? 2

( m 1 ? m 2 ) g ?〈 F ? 2

m 1 g ( m 1 ? m 2 )( ? 1 ? ? 2 ) m2
F ? f 1? ? f 2 m2

所以
aB ?

(2)如图 11-10 乙
aA ? f 1? m1

f2

f 1?

A B F

f1

图 11-10 乙

且 f1 ? f ? ? m1 g? 1 ,

f 2 ? (m1 ? m 2 ) g? 2
m1 g? 1 m1

F ? m1 g? 1 ? (m1 ? m 2 ) g? 2

aB ? aA

?

所以

m2



F ? ( m 1 ? m 2 )( ? 1 ? ? 2 ) g

高一年物理第 4 页 共 8 页

5.(25 分)本题研究斜面体上木块的运动问题。 如图所示,地面上有一个倾角为θ ,质量为 M 的斜面体,其上有一质量为 m 的木块,已知斜 面体与木块之间无摩擦。 (1)若斜面体被固定于水平面,求木块 m 下滑时的加速度 am,及木块受到的支持力 N1. (2)若斜面体与地面之间也无摩擦,求木块 m 下滑时受到的支持力 N2,及斜面体 M 的加速度 aM (2) 取斜面体为参照系, 其中 m 木块的加速度 a ' 的两个分量 a x '
tan ? ? ay' a x ' ,以保证二者不脱离。将该约束条件改写

m



ay'

应满足

?

M

为以地面为参照系的形式与前述方程联立,即可解决此题。 解:如图 14-139(甲)(乙)所以,以地面为参照物,建立直角坐 、 标系,则对木块 m 有
N cos ? ? mg ? ma
y

? N sin ? ? ma

y
x

(1)

N

m
mg
O

(2)
M

对 M 斜面体有

N sin ? ? Ma

(3)
(甲 )
N'
N

x

如图 14-139(丙)所示,以斜面体 M 为参照物,设木块 m 相对于斜
tan ? ? ay' ax'

面体 M 的加速度为 a ' ,则 根据相对运动原理知

a ' ? a x '? a y '

其中
a'? am ? aM

aM
M

am ? aM ? a'即

Mg

其中 a m 和 a M 分别是 m 和 M 相对于地面的加速度,因此有
ax '? ax ? aM ,a y '? a y

(乙 )

m
a?

tan ? ?

ay' ax'

?

ay ax ? aM

?

M
(丙 )

由此可知 即

a x s i n? ? a y c o s? ? a M s i n?

(4)

图 14-139

(1)、(2)、(3)、(4)式联立解之可得
ax ? ? M sin ? cos ? M ? m sin
2

?

g

ay ? ?

( m ? M ) sin M ? m sin
2

2

?

?

g

aM ?

m sin ? cos ? M ? m sin
2

?

g

N ?

mM cos ? M ? m sin
2

?

g

高一年物理第 5 页 共 8 页

6.(20 分)本题研究炮发射炮弹的水平最远射程问题。 (1) 如图 a,已知炮弹发射的初速度为 v0,试求炮弹的最远射程。 (2)如图 b,炮从掩蔽所下向外发射炮弹,掩蔽所与水平成α 角,炮位 O 与掩蔽所顶点 P 相距 l, 已知炮弹发射的初速度也为 v0,试求炮弹的最远射程。

图a

图b

高一年物理第 6 页 共 8 页

7. 分) (25 如图所示, 质量 M=10kg, 上表面光滑的足够长木板在水平拉力 F=50N 作用下, v0=5m/s 以 初速度沿水平地面向右匀速运动。现有足够多的小铁块,它们质量均为 m=1kg,将一铁块无初速地 放在木板最右端,当木板运动了 L=1m 时,又无初速地在木板最右端放上第二个铁块,只要木板运 动了 L 就在木板最右端无初速放一铁块,求: (1)第一铁块放上后,木板运动 L 米时,木板的速度多大? F (2)最终有几个铁块能留在木板上? (3)最后一个铁块与木板右端距离多大?(g=10m/s2) 解: (1)由 F= ? Mg 得: ? =0.5 第一个铁块放上后,木板做匀减速运动,由动能定理得:
? mgL ?
1 2 Mv
2 0

?

1 2

Mv 1

2

代入数据得: v1 ? 2 6 m / s

(2)对木板 F 合= f ? F ? nmg u
? mgL ?
1 2
n ? mgL ?
2 0

第一个铁块放上后

Mv

?

1 2
2

Mv 1

2

第二个铁块放上后
Mv
2 n

2 ? mgL ?

1 2

Mv 1 ?
2

1 2

Mv

2 2

1 2

……第 n 个铁块放上后

Mv

n ?1

?

1 2

由上四式得: (1+2+3+…+n)

? mgL ?

1 2

Mv

2 0

?

1 2

Mv

2 n



木板停下时 v n ? 0 ,得 n=6.6

所以最终有 7 个铁块能留在木板上

(3)当第 7 块铁块放上后,距木板右端距离为 d,由第二问得:
6 ?6 ? 1 ? 2

? mgL ? 7 ? mgd ?

1 2

Mv

2 0

?0

解得:

d ?

4 7

m

8.(25 分)图中的 AOB 是游乐场中的滑道模型,它位于竖 直平面内,由两个半径都是 R 的 1/4 圆周连接而成,它们的 圆心 O1、O2 与两圆弧的连接点 O 在同一竖直线上.O2B 沿水池的水面.一小滑块可由弧 AO 的任意点从静止开始 下滑. 1.若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中,在两个圆弧 上滑过的弧长相等,则小滑块开始下滑时应在圆弧 AO 上 的何处?(用该处到 O1 的连线与竖直线的夹角表示) . 2.凡能在 O 点脱离滑道的小滑块,其落水点到 O2 的距 离如何?

A

O1

??
P1 O P2

??
O2 B

一、1.如图所示,设滑块出发点为 P1 ,离开点为 P 2 ,按题意要求 O 1 P1 、 O 2 P2 与竖直方向的夹 角相等,设其为 ? ,若离开滑道时的速度为 v,则滑块在 P 2 处脱离滑道的条件是
高一年物理第 7 页 共 8 页

mv R

2

? mg c o s ?

2 mgR (1 ? cos ? ) ?

1 2

(1)
cos ? ? 4 5

由机械能守恒
? ? arccos
4 5
2

mv

2

(2)

? 36 5 2 ?
?

(1)、(2)联立解得


mv0

(3)

? mg

2.设滑块刚能在 O 点离开滑道的条件是 v0 为滑块到达 O 点的速度,由此得
v0 ?

R

(4) (5)

Rg

设到达 O 点的速度为 v0 的滑块在滑道 OA 上的出发点到 o1 的连线与竖直的夹角为 ? 0 ,由机械能守 恒,有
mgR (1 ? cos ? 0 ) ? 1 2 mv0
2

(6)

由(5)(6)两式解得 、

?0 ?

π 3

(7)

若滑块到达 O 点时的速度 v ? v 0 ,则对 OB 滑道来说,因 O 点可能提供的最大向心力为 mg,故滑 块将沿半径比 R 大的圆周的水平切线方向离开 O 点.对于 v ? v 0 的滑块,其在 OA 上出发点的位置 对应的 ? 角必大于 ? 0 ,即 ? ? ? 0 ,由于 ? max ? π 2 ,根据机械能守恒,到达 O 点的最大速度
v max ? 2 Rg

(8)

? 由此可知, 能从 O 点离开滑道的滑块速度是 v0 到 v max 之间所有可能的值, 也就是说, 从 π 3 至 π 2

下滑的滑块都将在 O 点离开滑道.以速度 v0 从 O 点沿水平方向滑出滑道的滑块,其落水点至 O 2 的
R ? 1 2 gt
2

距离

x0 ? v0t

(9)

(10)由(5)(9)(10)式得 、 、

x0 ?

2R

(11)

当滑块以 v max 从 O 点沿水平方向滑出滑道时,其落水点到 O 2 的距离 x max ? v max t (12) 由(8)(10)(12)式得 x max ? 2 R 、 、 (13)

因此,凡能从 O 点脱离滑道的滑块,其落水点到 O 2 的距离在 2 R 到 2 R 之间的所有可能值.即
2R ? x ? 2R

(14)

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