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2011年全国高中数学联赛模拟卷(12)(一试+二试


2011 年全国高中数学联赛模拟卷(12)第一试
姓名:_____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1. 函数 y ? 的值域是___________ sin x ? cos x ? 1 2. 设 a, b, c 为 RT△ACB 的三边长, 点(m, n)在直线 ax+by+c=0 上. 则 m2+n2 的最小值是_________ 3. 若 n ? N ,且 n ? 24 ?
2

sin x cos x ? 1

n ? 9 为正整数,则 n ? ________ .
2
k

4. 掷 6 次骰子, 令第 i 次得到的数为 a i , 若存在正整数 k 使得 ? a i ? 6 的概率 p ?
i ?1

n m

,其中 m , n 是互

质的正整数. 则 log 6 m ? log 7 n =
x
2 2

.

5. 已知点 P 在曲线 y=e 上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则 P Q 的最小值是_______ 6. 已知多项式 f (x)满足: f ( x ? x ? 3) ? 2 f ( x ? 3 x ? 5) ? 6 x ? 10 x ? 17( x ? R ) , 则 f (2011) ? _________
2

7. 四面体 OABC 中, 已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300, 则二面角 A-OC-B 的平面角 ? 的余弦值是 __________

? ? ? ? 8. 设 向 量 ? ? ( x ? 3, x ), ? ? ( 2 s i n c o s , a s i n ? a c o s ) 满 足 对 任 意 x ? R 和 θ ∈ [0, π ], | ? ? ? |? 2 恒成立. 则实数 a 的取值范围是________________. 2
二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.设数列 { a n } 满足 a 0 ? N ? , a n ?1 ?
超过 x 的最大整数).
an
2

an ? 1

.求证:当 0 ? n ?

a0 2

? 1 时, [ a n ] ? a 0 ? n . (其中 [ x ] 表示不

10. 过点 ( 2 ,3 ) 作动直线 l 交椭圆 两条切线的交点为 M , ⑴ 求点 M 的轨迹方程;

x

2

4

? y ? 1 于两个不同的点 P , Q ,过 P , Q 作椭圆的切线,
2

2011 模拟卷(12)

第 1 页 共 4页

⑵ 设 O 为坐标原点,当四边形 POQM 的面积为 4 时,求直线 l 的方程.

11. 若 a 、 b 、 c ? R ? ,且满足

kabc a?b?c

? ( a ? b ) ? ( a ? b ? 4 c ) ,求 k 的最大值。
2 2

2011 年全国高中数学联赛模拟卷(12)答案
1.解:令 sinx+cosx=t, 则 t= 2 sin( x ?
y? sin x cos x ? 1 sin x ? cos x ? 1
2

?
4

) ? [ ? 2 , ? 1) ? ( ? 1, 2 ] ,2sinxcosx=t2-1,

?

1 t ?3 1 2 1 2 ? ? (t ? 1 ? ) ? (t ? 1 ? ) ? 1 关于 t+1 在 [1 ? 2 t ?1 2 t ?1 2 t ?1

2 ,0 ) 和

2011 模拟卷(12)

第 2 页 共 4页

, ?? ) . 2 2 2 2 2. 解:因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2 ≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2, 所以 m2+n2≥1, 等号成立仅当 mb=na 且 am+bn+c=0, a b 解得(m, n)=( ? , ? ), 所以 m2+n2 最小值是 1. c c 33 2 2 2 2 3. 解:由 n ? 24 ? n ? 9 ? 知 n ? 24 ? n ? 9 可能为 1,3, 11, 33, 从而解得 n ? 5 . 2 2 n ? 24 ? n ? 9 1 1 2 4.解:当 k ? 1 时,概率为 ;当 k ? 2 时, 6 ? 1 ? 5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ,概率为 5 ? ( ) ; 6 6 1 3 1 3 当 k ? 3 时, 6 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,概率为 (3 ? 6 ? 1) ? ( ) ? 10 ? ( ) ; 6 6 1 4 1 4 当 k ? 4 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ,概率为 (4 ? 6) ? ( ) ? 10 ? ( ) ; 6 6 1 5 1 6 当 k ? 5 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,概率为 5 ? ( ) ;当 k ? 6 时,概率为 ( ) ;故 6 6
( 0 ,1 ?

2 ] 上均递增,所以, y ?

1?

2

或y ?

1?

2

, 即值域 ( ?? ,

1?

2

]?[

1?

2

p?

1

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 5 7 5 6 ? 5 ? ( ) ? 10 ? ( ) ? 10 ? ( ) ? 5 ? ( ) ? ( ) ? ? (1 ? ) ? 6 ,即 n ? 7 , m ? 6 ,从而 log 6 m ? log 7 n ? 1 . 6 6 6 6 6 6 6 6 6
|e ? x|
x

5

5. 解: 因曲线 y=ex 与 y=lnx 关于直线 y=x 对称. 所求 P Q 的最小值为曲线 y=ex 上的点到直线 y=x 最小距 离的两倍,设 P(x, ex)为 y=ex 上任意点, 则 P 到直线 y=x 的距离 d ( x ) ? 因 d ( x) ?
/

?

e ?x
x

,

2

2

e ?1
x

2

? 0 ? x ? 0 , d ( x ) ? 0 ? x ? 0 ,所以, d ( x ) min ? d ( 0 ) ?
/
2 2 2

2 2

,即 P Q

min=

2.

6.解: 解:用 1 ? x 代替原式中的 x 得: f ( x ? 3 x ? 5) ? 2 f ( x ? x ? 3) ? 6 x ? 2 x ? 13 解二元一次方程组得 f ( x ? x ? 3) ? 2 x ? 2 x ? 3 ,所以: f ( x ) ? 2 x ? 3 ,则 f (2011) ? 4019 .
2 2

(分析得 f ( x ) 为一次多项式,可直接求 f ( x ) 解析式) 7. 解:不妨设 AC⊥OC⊥BC,∠ACB= ? ,∠AOC=∠BOC= ? ,∠AOB= ? . 因 OA ? OB ? ( OC ? CA ) ? ( OC ? CB ) = | OC |
2

A

? CA ? CB
C O B

即 | OA || OB | cos ? ?| OA | cos ? ? | OB | cos ? ? | CA || CB | cos ? , 两端除以 | OA || OB | 并注意到
| CA | | OA | ? sin ? , | CB | | OB | ? ? , 即得 cos

? ? cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ,
? 1 4 cos ? , 所以, cos ? ? 2 2 ? 3 .
2

将 ? =450, ? =300 代入得

2 2

?

3 4

8.解:令 sin ? ? cos ? ? t , 则 t ? [1, 2 ] , 2 sin ? cos ? ? t ? 1, ? ? ? ? ( t ? x ? 2 , x ? at ) ,
2

因 ( t ? x ? 2 ) ? ( x ? at ) ?
2 2 2

1 2

( t ? x ? 2 ? x ? at ) ?
2 2
2 2

1 2

( t ? at ? 2 ) ,
2 2

所以, | ? ? ? |?
?

2 ? ( t ? x ? 2 ) ? ( x ? at ) ? 2 对任意 x ? R 恒成立
2

1 2

( t ? at ? 2 ) ? 2 ? t ? at ? 0 或 t 2 ? at ? 4 ? 0 ? a ? t 或 a ? t ?
2 2 2

4 t

对任意

t ? [1, 2 ] 恒成立 ? a ? 1 或 a

?5.

2011 模拟卷(12)

第 3 页 共 4页

9. 证明:对于任何正整数 n ,由递推知 a n ? 0 .由 a n ? a n ?1 ? a n ? 又对任意 n ? N , a n ? a 0 ? ? ( a i ? a i ?1 ) ? a 0 ? ?
*
i ?1 n

an

2

an ? 1

?

an an ? 1
n

? 0 知数列 { a n } 递减.
1 1 ? a i ?1 )

n

a i ?1 1 ? a i ?1

i ?1

? a 0 ? ? (1 ?
i ?1

? a0 ? n ?

? 1? a
i ?1

n

1

?a 0 ? n .即有 a n ? a 0 ? n ,从而 a n ?1 ? a 0 ? ( n ? 1) .于是,
i ?1

当 n ?1 时 ,

? 1? a
i ?1

n

1

?
i ?1

1 1 ? a0
? 1.

?1 ; 当 2 ? n ?

a0 2

? 1 时 , 由 {a n } 递 减 得

? 1? a
i ?1

n

1

?
i ?1

n 1 ? a n ?1

?

n a0 ? n ? 2
n

故 a 0 ? n ? an ? a0 ? n ? ?
i ?1

1 1 ? a i ?1

? a 0 ? n ? 1 .所以, [ a n ] ? a 0 ? n .

10. 解(1)依题意设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2 ) ? 3 ,与椭圆联立得
(1 ? 4 k ) x ? 8 k (3 ? 2 k ) x ? 4 ( 4 k ? 12 k ? 8 ) ? 0 , ? ? 64 (3 ? 2 k ) ,由 ? ? 0 得 k ?
2 2 2

2 3

设 P ( x1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则过 P , Q 椭圆的切线分别为

x1 x 4

? y 1 y ? 1 ……①和

x2 x 4

? y 2 y ? 1 ……②

① ? x 2 ? ② ? x1 ,并且由 y 1 ? k ( x1 ? 2 ) ? 3 及 y 2 ? k ( x 2 ? 2 ) ? 3 得 y ? 同理 x ?
? 4k 3 ? 2k (k ? 3 2

1 3 ? 2k

(k ?

3 2

),

) ,故点 M 的轨迹方程为 x ? 6 y ? 2 ? 0 (在椭圆外)
2

(2) PQ ?
d2 ?

64 ( 3 k ? 2 )(1 ? k ) 1 ? 4k
2

,O 到 PQ 的距离为 d 1 ?
4k ? 1
2

3 ? 2k 1? k
2

,M 到 PQ 的距离为

4 3k ? 2 3 ? 2k 1? k
2

, d1 ? d 2 ?
1 2

3k ? 2 1 ? k


2

四边形 POQM 的面积 S ? 当 S ? 4 时解得 k ? 1 或 k ?
2

( d 1 ? d 2 ) ? PQ ?

4 3k ? 2 3 ? 2k

11 4

,直线 l 为 x ? y ? 1 ? 0 或 11 x ? 4 y ? 10 ? 0
2 2 2

11. 解:由均值不等式得 ( a ? b ) ? ( a ? b ? 4 c ) ? ( a ? b ) ? [( a ? 2 c ) ? ( b ? 2 c )]
? ( 2 ab ) ? ( 2 2 ac ? 2 2 bc ) ? 4 ab ? 4 ? 2 ac ? 4 ? 2 bc ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 c ?
2 2

ab

? 4 ab ? 8 ac ? 8bc ? 16 c ab ,



(a ? b) ? (a ? b ? 4c )
2

2

abc c 8 8 16 1 1 1 ?( ? ? ? )( a ? b ? c ) ? 8 ( ? ? ? 4 b a 2c b a ab

? (a ? b ? c) ?

4 ab ? 8 ac ? 8 bc ? 16 c ab abc 1

? (a ? b ? c)

?

1 ab

)(

a 2

?

a 2

?

b 2

?

b 2

? c)

ab

? 8 (5 ? 5

1 2a b c
2 2

) ? (5 ? 5

a b c 2
4

2

2

) ? 100 ,等号成立当且仅当 a ? b ? 2 c ? 0 ,

故 k 的最大值为 100 .

2011 模拟卷(12)

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