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广东省佛山市三水中学2012年5月高三临考集训试卷(理数)


三水中学 2012 届高三临考集训试卷 理科数学试题
一、选择题 (共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分..) 1.设全集 U= R , 集合 , 关系如右图所示,则实数 a 的取值范围是 (A) (B) (C) 2.在复平面内,复数 (A)第一象限 3.函数 y ? cos ( x ?
2

,若 A 与 B 的 (D)


i 对应的点位于 1? i (B)第二象限 (C)第三象限 ) 的单调增区间是
(B) [

(D)第四象限

?
2

(A) [k? ,

?

2 (C) [2k? ,2k? ? ? ] k ? Z 1 4 x (A) ?24
4. (2 x ? ) 的展开式中的常数项为 (B) ?6

? k? ] k ? Z

? k? , k? ? ? ] k ? Z 2 (D) [2k? ? ? ,2k? ? 2? ] k ? Z

?

(C) 6

(D) 24

?x ? y ? 0 ? 5.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3 ?
(A)9 (B)8 (C)7



(D)6

6.如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差) y 与乘客量 x 之间 关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图(2) (3)所示.

y

y

y

O

B A
(1)

x

O

B A
(2)

x

O

B A
(3)

x

给出下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. (A)① ③ (B)①④ (C)② ③

其中所有说法正确的序号是 (D)②④



7. .如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统, K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系 统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0 .9 、 0.8 、 0.8 ,则系统正常工作的概率为 A1 K A. 0.960 C. 0.720 B. 0.864 D. 0.576 A2

8.定义: F( x, y ) ? y

x

?x ? 0, y ? 0? ,已知数列 {an } 满足: a n

?

F ?n ,2 ? (n ?N? ) ,若对任意正整数 n ,都有 F ?2 , n ?

an ? ak (k ?N? ) 成立,则 ak 的值为
(A)

1 2

(B) 2

(C)

8 9

(D)

9 8

二、填空题 (本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 9—13 题为必做题,14—15 为选做题) (一)必做题 9—13 9. 如图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图, 且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是 10.不等式|X-1|+|X-3| ? 2X 的解集是 11.已知非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 则 a ? b 与 a ? b 的夹角为
2



2 3 | a|, 3



12.过点 P ( 2 , 1 ) 的双曲线与椭圆 13.已知函数 f ( x) ? (二)选做题 14—15

x ? y 2 ? 1 共焦点,则其渐近线方程是 4



x ? sin x ? 1 x ?1

( x ?R) 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m 的值为

.

14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标下,曲线 C1 : ? 曲线 C2 : ?

? x ? 2cos ? (? 为参数) ,若曲线 C1、C2 有 ? y ? 1 ? 2cos ?

? x ? 2t ? 2a (t为参数) , ? y ? ?t

公共点,则实数 a 的取值范围为 . 15. (几何证明选讲)如图,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 2, BC ? 6, ?CAB ? 120? , 则 ?AOB 对应的劣弧长为 .

16. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? ? sin ?x cos?x ? 3 cos (1)求 f ?x ? 的最大值以及取最大值时 x 的集合 (2)已知 f ?? ? ?

2

?x ?

3 的周期为 2 ? 2

1 ? 5? ? 2? ) ,且 ? ? (0, ) ,求 cos( 3 2 6

17.(本小题满分 12 分)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影 响,所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间/分钟 L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期 望.

18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 ?ABC 和?D B C 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , 且 A B = B C = B D ,
0 ?C B A ?D B C? 1 2 0 ,求: ?

A

⑴.直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; ⑵.直线 AD 与直线 BC 所成角的大小; ⑶.二面角 A-BD-C 的余弦值.

H D

R

B

C

19. (本小题满分 14 分)已知⊙O: x 2 ? y 2 ? 1 , M 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点, P 为⊙O 外一点,由 P 作⊙ O 的切线与圆相切于 N 点,且 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程 (2)设 A 为抛物线 y ? 8x 准线上任意一点,由 A 向曲线 C 作两条切线 AB、AC,其中 B、C 为切
2

PN PM

? 2

点。求证:直线 BC 必过定点 _______考号:_________

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

1 2 ax ? (a ? 1) x(a ? R且a ? 0). 2

(2)记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C.设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是曲线 C 上的不同两点. 如果在曲线 C 上存在点 M(x0,y0) ,使得:① x0 ?

___________班别:___________姓名:_______

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 2

AB,则称函数 F(x)存在“中值相依切线” , 试问:函数 f(x)是否存在“中值相依切线” ,请说明理由 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 an?1 ?| an ?1| (n ? N * ) , (1)若 a1 ?

5 ,求 an ; 4

(2)是否存在 a1 , n0 (a1 ? R, n0 ? N * ) ,使当 n ? n0 (n ? N * ) 时, an 恒为常数。若存在求 a1 , n0 ,否则说 明理由;

______

三水中学 2012 届高三临考集训 数

学(理科)答题卷

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

二、本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 是选做题 9. 12.___________, 13. 。10. ;14. 。11. .15. 。 .

三、解答题:共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

17. (本小题满分 12 分)

18. (本小题满分 14 分)

A

H

19(本小题满分 14 分) (20,21 题写在背面)

三水中学 2012 高三热身考试理科数学答案

一、CAAD 二、9、12

ACBC 10、 [1,??) 15、 11、 600
2 ? 2

12、 x ? 2 y ? 0

13、2

14、[-2,4]

16.解(1) f ?x ? ? ? sin 2?x ?

1 2

3 2? ? ? cos2?x ? sin ? 2?x ? ? …………2 分 2 3 ? ?

?T ?

2? 1 2? ? ? ? 2? ? ? ? ……………….3 分 ? f ?x ? ? s i n x ? ? ? ……………….4 分 2? 2 3 ? ? 2? ? ? 2k? ? , k ? Z 3 2

? f ?x ? 的最大值是 1…………….5 分? 当 f ?x ? =1 时, x ? ? f ?x ? 的最大值是 1,此时 x 的集合为 ?x x ? 2k? ?
?
(2) ? f ?? ? ? sin ? ? ?

?

?

? ,k ? Z? 6 ?

? ?

? 2? ? 1 2? ? 2? ? ?? , ? ? ………………8 分 ? ? ,又 ? ? (0, ) ? ? ? 2 3 ? 3 3 ? 3 ?

? cos?? ?
? ?

? ?

2? ? 2 2 ……….9 分 ??? 3 ? 3

? s i n 2? ? ?

? ?

4? ? 4 2 ………….10 分 ??? 3 ? 9

? cos? 2? ?

?? ? 5? ? 4? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? cos? ? ? 2? ? ? ? cos? 2? ? ?? ?2 6 ? 3 2? 3 ?? ? ? ? ?

4? ? 4 2 ? ………………..12 分 ? sin? 2? ? ??? 3 ? 9 ?
17.解 (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟 内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0. 3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;?????..3 分 P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2????..5 分 (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9, 又由题意知,A,B 独立,X 的可能取值为 0,1,2???.6 分 ∴P(X=0)=P( A B )=P( A )P( B )=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P( A B+A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B )=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42, P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54?????.9 分.

∴X 的分布列为

???10 分 ∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5(人).????.12 分 18.⑴如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H, 则 AH⊥平面 DBC,∴∠ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 由题设知△AHB≌△AHD,则 DH⊥BH,AH=DH,∴∠ADH=45°?????.5 分 ⑵∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影, ∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为 90° ??9 分

⑶过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH 为二面角 A—BD—C 的平 面角的补角 设 BC=a,则由题设知,AH=DH= 故二面角 A—BD—C 的余弦值的大小为 ?

AH 3 a 3 a, BH ? ,在△HDB 中,HR= a,∴tanARH= =2 2 2 4 HR

5 ????14 分 5

19 解: (1)抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 M(2,0)………….1 分 设 p ( x, y )

?

PN PM

? 2 ?

x2 ? y2 ?1

?x ? 2?

2

?y

? 2 ………4 分

化简得方程 x ? y ? 8x ? 9 ? 0
2 2

2

? P 点轨迹为⊙C: x 2 ? y 2 ? 8x ? 9 ? 0 …………6 分
2 (2)抛物线 y ? 8x 准线方程为 x ? ?2 …………..7 分

设 A ?? 2, m? (m ? R)

⊙C: x ? y ? 8x ? 9 ? 0 化为 ( x ? 4) ? y ? 7 ……….. ①
2 2 2 2

? C(4,0),半径 r 2 ? 7 …………..8 分

由已知得 AB
2

2

? AC ? r 2 ? m 2 ? 29
2

以 A 为圆心, AB 为半径的圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? m) ?m ?29
2 2

即 x ? y ? 4 x ? 2my ? 25 ? 0 ………..②……………10 分
2 2

由于 BC 为两圆公共弦所在直线

由②-①得 BC 直线方程 6 x ? my ? 17 ? 0 ……………..12 分

? m ? R ? ?y ? 0 ?

?6 x ? 17 ? 0

得 ?x ?

17 ? 6 ? ?y ? 0 ?

? 直线 BC 过定点 (

17 ,0) …………14 分 6
………1 分

20 解: ) 函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) . (Ⅰ

1 由已知得, f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x

1 a( x ? 1)( x ? ) a . x

………2 分

ⅰ 当 a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 ;? 函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 ⅱ 当 a ? 0 时, ① ? 当

1 1 ? 1 时,即 a ? ?1 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; a a

1 ? 函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增 a 1 ② ? ? 1 时,即 a ? ?1 时, 显然,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; 当 a 1 1 ③ ? ? 1 时,即 ?1 ? a ? 0 时, 令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ? 当 a a 1 。。。。。。6 分 。。。。。 ? 函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增 a
综上所述:⑴ a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 当 ⑵ a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增 当 ⑶ a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; 当 ⑷ ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 (? 当 (Ⅱ )假设函数 f ( x ) 存在“中值相依切线”. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 ? ln x1 ?

1 a

1 , ??) 上单调递增 a

………….7 分

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 . 2 2
…9 分

1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) ln x ? ln x 1 2 1 y ?y 2 ? ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) k AB ? 2 1 ? x2 ? x1 2 x2 ? x1 x2 ? x1

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率

k ? f ?( x0 ) ? f ?(

x1 ? x2 x ?x 2 )? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2
x

ln x2 ? ln x1 x 2( x2 ? x1 ) 2( x2 ? 1) 2 ? 化简可得: , 即 ln 2 = . 1 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1 ? x2
x1 ?1

….11 分



2(t ? 1) 4 x2 ? 2? , ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? t ?1 t ?1 x1 4 ? 2. t ?1
令 g (t ) ? ln t ?

ln t ?

4 1 4 (t ? 1)2 , g '(t ) ? ? . ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2

因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ??) 上递增, 显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x ) 不存在“中值相依切线”. …..14 分 21 解: (1) a1 ?

5 1 3 1 , a2 ? , a3 ? , a4 ? ,? 2 分 4 4 4 4
,其中 k ? N * ` ………….6 分

? a1 ?

?1 5 , n ? 2 时, ? 4 , n ? 2k ? an ? ? 4 3

? , n ? 2k ? 1 ?4 ?

?a ?1, an ? 1 ,所以当 (2)因为存在 an?1 ?| an ? 1|? ? n an ? 1时, an?1 ? an ??an ? 1, an ? 1
①若 0 ? a1 ? 1,则 a2 ? 1 ? a1 , a3 ? 1 ? a2 ? a1 ,此时只需: a2 ? 1 ? a1 ? a1 ,? a1 ? 故存在 a1 ?

1 2

1 1 , an ? , (n ? N * ) ……………..8 分 2 2

②若 a1 ? 1

不符合题意………………9 分

③若 a1 ? b ? 1 ,不妨设 b ?[m, m ? 1), m ? N * ,易知 am?1 ? b ? m ?[0,1) ,

? am?2 ? 1 ? am?1 ? 1 ? (b ? m) ? am?1 ? b ? m
1 1 1 ? b ? m ? ,? a1 ? m ? , n ? m ? 1 时, an ? , (m ? N * ) …………….11 分 2 2 2
④若 a1 ? c ? 0 ,不妨设 c ? (?l , ?l ? 1), l ? N ,易知
*

a2 ? ?c ? 1? (l, l ? 1],?a3 ? a2 ?1 ? ?c,?, al ?2 ? ?c ? (l ?1) ? (0,1]
1 1 1 ? c ? ?l ? ,? a1 ? ?l ? (l ? N * ), n ? l ? 2, 则 an ? ………..13 分 故存在三组 a1 和 n0 : 2 2 2 1 1 1 a1 ? 时, n0 ? 1; a1 ? m ? 时, n0 ? m ? 1 ; a1 ? ? m ? 时, n0 ? m ? 2 其中 m ? N * …………14 分 2 2 2


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