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数学必修2模块综合检测题(有详解)


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数学必修 2 模块综合检测题
一、选择题
1.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( A.平面 ? 内所有的直线都与 a 异面 C.平面 ? 内所有的直线都与 a 相交 A. 26 B. 28 C. 30 ) .

B.平面 ? 内不存在与 a 平行的直线 D.直线

a 与平面 ? 有公共点 ) . D. 32 ) .

2.若棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为( 3.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

4.已知两个平面垂直,现有下列命题: ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( A. 3 B. 2 ) . C. 1 D. 0 ) .

5.圆 x 2 ? y 2 ? 25 截直线 4 x ? 3 y ? 20 所得弦的垂直平分线方程是( A. y ?

3 3 4 4 x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? x 4 4 3 3 6.点 P 为 ?ABC 所在平面外一点, PO ⊥平面 ABC ,垂足为 O ,若 PA ? PB ? PC , 则点 O 是 ?ABC 的( ) .
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及 体积为( ) .
5

6

A. 24? cm , 12? cm
2 2

2

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm
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2

D. 以上都不正确
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8.直线 l 与两直线 y ? 1 和 x ? y ? 7 ? 0 分别交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点为

M (1, ?1) ,则直线 l 的斜率为(
A.

) . D. ?

3 2

B.

2 3

C. ?

3 2

2 3
) .

9.正方体的内切球和外接球的半径之比为(

A. 3 :1

B. 3 : 2

C. 2 : 3

D. 3 : 3

10.当 ? 变化时,直线 x cos ? ? y sin ? ? 6 所具有的性质是(

) .

A.斜率不变

B.恒过定点

C.与定圆相切

D.不能确定
?

11.已知点 A(?1,3), B(3,1) ,点 C 在坐标轴上,且 ?ACB ? 90 ,则满足条件的点 C 的个 数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 S ,则圆柱的体积为( A.

) .

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4

D.

S S 4 ?

二、填空题
13.与直线 7 x ? 24y ? 5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是____________. 14.直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为 15.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的 全面积是
?





16. 将边长为 2 , 锐角为 60 的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD , E、F 点 分别为 AC、BD 的中点,则下列命题中正确的是 填上) . ① EF // AB ;② EF 是异面直线 AC 与 BD 的公垂线; ③当四面体 ABCD 的体积最大时, AC ? 6 ; ④ AC 垂直于截面 BDE (将正确的命题序号全

三、解答题
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17.已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ? 时 P 点的坐标.

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值 2

? ? 18.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 ,

AD ? 2 ,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

19.在 ?ABC 中, BC 边上的高所在的直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ? A 的平分线所在直 线的方程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1, 2) ,求点 A 和点 C 的坐标.

20.如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , M 、N 分 别是 AB、PC 的中点, PA ? AO ? a . (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)求证:平面 PMC ⊥平面 PCD .

21.已知圆的方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,求经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程.
2 2 2
? BC ? CD ? 1 ,AB ? 平面 BCD , ADB ? 60? , 、F E ? ? 22. 已知 ?BCD 中, BCD ? 90 ,

分别是 AC、AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) : AC AD

(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF ? 平面 ABC ; (2)当 ? 为何值时,平面 BEF ? 平面 ACD ?

A

E C B F D

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答案与解析 一、选择题
1.D 根据直线与平面的位置关系分直线在平面内和直线在平面外两种情况. 2.B 3.D

1 1 V ? ( S ? SS ' ? S ' )h ? ? (4 ? 4 ?16 ? 16) ? 3 ? 28 . 3 3
设所求直线上任一点 ( x, y ) ,则它关于 x ? 1 对称点为 (2 ? x, y ) , 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 化简得 x ? 2 y ? 3 ? 0 .

4.C ①③错误,比如两面交线,就不满足条件;④错误,所作的直线不在其中任一个平 面内时,②是正确的. 5.B 弦的垂直平分线过圆心 (0, 0) ,且斜率为 ?

3 3 ,即方程为 y ? ? x . 4 4

6.B 由勾定理知, OA ? OB ? OC . 7.A 此几何体是个圆锥, r ? 3, l ? 5, h ? 4, S表面 ? ? ? 32 ? ? ? 3? 5 ? 24? ,

8.D

1 V ? ? ? 32 ? 4 ? 12? . 3 A(?2,1), B(4, ?3) .

9.D 正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a ,

a ? 2r内切球,r内切球 ?

a 3a , 3 ? r外接球,r外接球 ? a 2 r , :r ? : . 1 3 2 2 内切球 外接球

2 2 10.C 原点 (0, 0) 到直线 x cos ? ? y sin ? ? 6 的距离为 6 ,即与定圆 x ? y ? 36 相切.

11.C

点 C 在坐标轴上,可有两种情况,即在 x 轴或 y 轴上,点 C 的坐标可设为 ( x, 0) 或

( y , 0) .由题意, ?ACB ? 90? ,直线 AC 与直线 BC 垂直,其斜率乘积为 ?1 ,可分别 求得 x ? 0 或 2 , y ? 0 或 4 ,所以满足条件的点的坐标为 (0, 0) , (2, 0) , (0, 4) .
12.D 设圆柱的底面半径为 r ,则圆柱的高 h ? 2r , 而 S ? 2? rh ? 4? r ? r ?
2

S S S S S 2 ,V ? ? r h ? ? ? . ?2 ? 4? 4? 4? 4 ?

二、填空题
13. 7 x ? 24 y ? 70 ? 0 ,或 7 x ? 24 y ? 80 ? 0 , 设直线为 7 x ? 24 y ? c ? 0, d ?

c?5 242 ? 72

? 3, c ? 70, 或 ? 80 .
2 ,半径为 2 5

14.

2 30 5

圆心为 (0,1) ,则圆心到直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离为

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得弦长的一半为

30 2 30 ,即弦长为 . 5 5

15.

10 Q 9

S全 ? 2? R2 ? ? R2 ?3 ? R2 ? Q R? ,
2

Q , 3?
2 R ? 3 10 R? ? 3
2

2 2 V ? ? R3 ? ? R2 ? ,h h? ,R S? ? 2 3 3

R?? 2

10 R? . Q 9

16.②③④ ; ①错误,取 AD 的中点 G,连结 GF,则 GF∥AB, 过 F 有且只有一条直线和 AB 平行; ②连结 AF、CF,则 AF⊥BD,CF⊥BD, ∴BD⊥面 ACF,EF ? 面 ACF ∴BD⊥EF, 又 E 为 AC 的中点,AF=CF, ∴EF⊥AC ∴ EF 是异面直线 AC 与 BD 的公垂线; ③设 AC ? x ,则 EF ? 3 ? x2

x2 x2 1 1 1 x2 1 4 ? 3 ? 4 1 V ? S ? ACF ?BD = ? ? ?x? 3 ? ? ? ? , 3 3 2 4 3 2 2
1 x ? 3 ? x 2 ,即 x ? 6 时, V 最大. 2 ④由②知,BD⊥面 ACF,AC ? 面 ACF,∴AC⊥BD,AC⊥EF, ∴ AC 垂直于截面 BDE .
当且仅当

三、解答题
17.解:设 P(2t , t ) ,
2 2 2 2 2 则 PA ? PB ? (2t ? 1) ? (t ? 1) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) ? 10t ? 14t ? 10 , 2 2

当t ?

7 7 7 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即 P ( , ) . 5 10 10

18.解: S表面 ? S圆台底面 ? S圆台侧面 ? S圆锥侧面

? ? ? 52 ? ? ? (2 ? 5) ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2 2

? 25( 2 ? 1)? ,
V ? V圆台 ?V圆锥


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1 1 ? ? (r12 ? r1r2 ? r2 2 )h ? ? r 2 h 3 3 148 ? ?. 3
19.解:解直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 y ? 0 的交点得 (?1, 0) ,即 ∴ k AB ? 的坐标为 (?1, 0) ,

2?0 ? 1 ,又∵ x 轴为 ?BAC 的平分线, 1?1

∴ k AC ? ?k AB ? ?1 ,又∵直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 为 BC 边上的高,由垂直得,

kBC ? ?2 ,设 C 的坐标为 (a, b) ,则

b b?2 ? ?1, ? ?2 , a ?1 a ?1

解得 a ? 5, b ? ?6 ,即 C 的坐标为 (5, ?6) . 20.证明:如答图所示,⑴设 PD 的中点为 E ,连结 AE 、 NE ,

// 由 N 为 PD 的中点知 EN ?
又 ABCD 是矩形,∴ DC

1 DC , 2 1 // // ? AB ,∴ EN ? 2 AB

P E D A M B N C

// 又 M 是 AB 的中点,∴ EN ? AN ,
∴ AMNE 是平行四边形, ∴ MN // AE ,而 AE ? 平面 PAD , NM ? 平面 PAD ∴ MN // 平面 PAD . ⑵∵ PA ? AD ,∴ AE ? PD , 又∵ PA ? 平面ABCD , CD ?平面ABCD , ∴ CD ? PA ,而 CD ? AD ,∴ CD ?平面PAD , ∴ CD ? AE , ∵ PD ? CD ? D ,∴ AE ?平面PCD , ∵ MN // AE ,∴ MN ?平面PCD , 又 MN ? 平面PMC , ∴平面 PMC ? 平面 PCD . 21.解:设 C 为圆心,切线的斜率为 k ,半径 CM 的斜率为 k1 , 因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 k ? ?

1 , k1

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∵ k1 ?

y0 ? b x ?a x ?a ,∴ k ? ? 0 ,经过点 M 的切线方程是 y ? y0 ? ? 0 ( x ? x0 ) , x0 ? a y0 ? b y0 ? b

整理得 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 , ∵ M ( x0 , y0 ) 在圆上, ∴ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 , 所求切线方程 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r .
2

当 MC 与坐标轴平行时,可以验证上面的方程同样适用. 22、证明: (1)∵ AB ? 平面 BCD , ∴ AB ? CD , ∵ CD ? BC 且 AB ? BC ? B , ∴ CD ? 平面 ABC ,

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) , AC AD ∴不论 ? 为何值,恒有 EF // CD , ∴ EF ? 平面 ABC , EF ? 平面 BEF , ∴不论 ? 为何值恒有平面 BEF ⊥平面 ABC . (2)由(1)知, BE ? EF ,又平面 BEF ⊥平面 ACD , ∴ BE ? 平面 ACD ,∴ BE ? AC .
又∵
? ? ∵ BC ? CD ? 1 , ?BCD ? 90 , ?ADB ? 60 ,

∴ BD ?

2, AB ? 2 tan60? ? 6,
2

∴ AC ? AB2 ? BC 2 ? 7, 由 AB ? AE ? AC ,得 AE ? 故当 ? ?

AE 6 6 ? , ,?? AC 7 7

6 时,平面 BEF ? 平面 ACD . 7

备用题
1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 形,那么原平面图形的面积是( A. 2 ? ) C.
?

,腰和上底均为1 的等腰梯

2

B.

1? 2 2

2? 2 2

D. 1? 2

1.A

恢复后的原图形为一直角梯形 S ?

1 (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 . 2
)

2.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个(

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A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.都不对

主视图 2.A

左视图

俯视图

从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台
?

3.圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 , 则圆台的侧面积为____________. 3. 6? 画出圆台,则 r ? 1, r2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r ? r2 )l ? 6? . 1 1

4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4, 5 ,从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________. 4. 74 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

42 ? (3 ? 5) 2 ? 80, 或 52 ? (3 ? 4) 2 ? 74 .
5.如图,棱长为 a 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点, 1 (1)求证: E、F、B、D 四点共面; (2)求四边形 EFBD 的面积.

5. (1)证明:

如答图所示, 连结 B1D1 , 在△ C1B1D1 中,

C1E ? EB1 , C1F ? FD1 ,
∴ EF // B1D1 ,且 EF ?

1 B1 D1 ,又 A1 A ? B1B ,A1A ? D1D , // // 2

∴ B1B ? D1D ,∴四边形 BB1D1D 是平行四边形. // ∴ B1D // BD , EF // BD ,∴ E 、 F 、 D 、 B 四点共面. (2)由 AB ? a ,知 BD ? B1D1 ? 2a , EF ?
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2 a, 2
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DF ? BE ?

BB12 ? B1 E 2 ? a 2 ? ? a ? ? 5 a , ? ?
?2? 2

2

过 F 作 FH ? DB 于 H ,则 DH ?

DB ? EF 2 ? a, 2 4

∴ FH ? DF 2 ? DH 2 ? 5 a 2 ? 2 a 2 ? 18 a 2 ? 3 2 a , 4 16 16 4 四边形的面积为
S EFBD ? 1 1 2 3 2 ? 1 ? 3 2 ? 3 2 a2 ? 9 a2 . ( EF ? BD) ? FH ? ( a ? 2a ) ? a 2 2 4 8 2 2 2 4

6.过点 P(3,0) 作直线 l ,使它被两相交直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段 AB 恰好被 P 点平分,求直线 l 的方程. 6.解:设 A 点坐标 ( x1 , y1 ) , 线段 AB 的中点为 P(3, 0) ,

∴ 由中点公式,可设 B 点坐标为 (6 ? x1 , ? y1 )

A , B 两点分别在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 x ? y ? 3 ? 0 上,


?2 x1 ? y1 ? 2 ? 0 11 16 , 解得 x1 ? , y1 ? , ? 3 3 ?(6 ? x1 ) ? (? y1 ) ? 3 ? 0

由两点式可得直线 l 的方程为 8x ? y ? 24 ? 0 .

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