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等比数列前n项和说课课件5


人民教育出版社《高中数学》第一册(上)第三章

教学思路与认识
? 教材分析

?教法选取
?学法指导 ?程序设计 ? 教学反思

一. 教材分析
1.教材背景分析
通项 不 交 函数 等 汇 式 数列 基本概念 递推 求和

数列极限 数学归纳法 微积分、

级数

基本数学思 想、方法载体

等差数列 等比数列 等比数列的前n项和

一般数列问题及实际应用题 重要知识点交汇考查

一. 教材分析
2.教学目标
知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式及归纳、猜想、 证明法,理解错位相消法,并能灵活运用公式 能力目标:通过公式的推导过程,培养学生类比、归纳、猜 想 、分析、综合等方面的能力,善于运用特殊与 一般、分类与整合、方程的数学思想思考和解题, 提升学生的逻辑思维能力 情感目标:通过公式的探索发现过程,学生亲历结论的“再 创造”过程,体验成功与快乐,感悟数学美 通过分类讨论的教学和猜想之后还需证明培养 学生思维的严谨性 通过发散思维的教学,培养学生思维的批判性、 灵活性

一. 教材分析
3.重点和难点

重点:等比数列前n项和公式、推导及应用 难点:等比数列前n项和公式推导思路的获得
突破关键

二. 教学方法
启发引导探究发现法:

展 示 数 学 游 戏 启发引导 提 出 问 题 发现公式 类比猜想 激 励


深 化 示范 实 现 目 标 演练

证明猜想 分析寻找

发现错位相消法 反 思

学生

(独立思考、合作交流)

二. 教学方法
与教材相比较:
一 . 开篇变“棋盘上麦粒历史典故”成“数学游戏问题”
原因:①更加有趣又贴近生活 ②蕴涵两个等比数列,公比分别为q=1与q ≠1 开门见山,体现分类讨论思想,直击学生易错点

二. 教学方法
二 . 一改直接采用错位相消这一传统做法,先归纳、猜想 再证明进而发现错位相消法
原 因 : ①注重了知识的再创造过程,有效克服了技巧性强, 学生被动接受的困难 ②使用数学一通法(归纳、猜想、证明),重视了数 学思想方法的渗透

二. 教学方法
三 . 引出错位相消法之后,进一步深化思维目标,和式两 边同乘以q-1,q2是否也可以起到化简的目的?择优选 取 原 因 : ①有利于理解错位相消法的本质 ②有利于发展学生思维批判性、灵活性

二. 教学方法
采用多媒体技术,体现直观性,激发 学习兴趣、激活学生思维,在解决重、难 点等方面起到辅助作用

三. 学法指导
―治学之道”
求知之法 改变学生被动 的学习状态

新课标理念倡导“以人为本”,强调“以学生发展为核 心” ,指导学生学会“探究式发现法”的学习方法,从 类比猜想中探索研究从而找到问题的思路和方法

三. 学法指导
学生的学习环节: 类比猜想 分析证明
学生的思维波动过程: 激发 活跃 高潮 反思发现 再掀高潮 演练提高 缓和

使学生不断形成勤于思考,实践“探究式发 现法”这一学习数学的重要方法

四. 程序分析
第一环节:创设情境 引出问题
第一层:分析问题

教 学 过 程

第二环节:启发引导

探索发现

第二层:展示发现过程 第三层:展示证明过程 第一方面:反思证明过程

第三环节:发散思维

深化目标

第二方面:集思广益 第三方面:公式的灵活应用

第四环节:课堂演练

巩固提高

第五环节:总结反馈 布置作业

四.程序设计
第一环节 创设情境、提出问题(1)



顾:

1. 什么是等比数列? 2. 公比对等比数列有何影响? 3. 项与项之间的关系如何?
目 的:建立联系 扫清障碍 突破难点 为发现错位相消法埋下伏笔

四. 程序设计
第一环节 创设情境、提出问题(2)
数学游戏问题:
甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙 100元钱,而乙则第一天给甲返还一分,第二天给甲返 还二分,即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢 谁亏?

四. 程序设计
第一环节 创设情境、提出问题(3)
分析:数学建模 {an}:100 ,100 ,100……100 {bn}: 1 , 2 , 22 …… 229
q=1 q=2

S30 = 100+100+……+100 与 T30 = 1+2+ 22 +…… +229 比较大小 ,求和问题如何化简?

{an} : q=1,等比数列求和问题化归成等差数列求和问题 {bn} : q=2,学生陷入沉思中

应用问题数学化,具体问题一般化

四. 程序设计
第一环节 创设情景、提出问题(4)
明确问题
等比数列{an} 当 q=1时 ,Sn= a1+a2+a3+……+an-1+an= na1 当 q≠1时,Sn= a1+a2+a3+……+an-1+an =?如何化简

二者能否合并?

四. 程序设计
第二环节:启发引导 探索发现(1)
第一层:分析问题
启发:等比数列{an}的前n项和Sn也可以构成一 个新的数列{Sn}。自然的化简Sn的问题就成了求新 数列{Sn}的通项问题。 引导:归纳、猜想、证明是学生学习数列获得 的一种重要方法,是解决数列问题的通法。能否 利用此法解决问题呢? 顿时打破沉思状态

四. 程序设计
第二环节:启发引导 探索发现(2)
第二层次 展示探索公式发现的过程:
1. 引导学生从等比数列通项公式的推导方法出发,即通过 观察a1、a2、a3、a4的特点归纳an 的一般形式,联想求和公式 的思考方法。 投影演示等比数列通项公式的推导过程 a1 = a1 a2= a1q a3 = a2q =a1q2 an=an-1q =a1qn-1

a4= a3q =a1q3 ……

四. 程序设计
第二环节:启发引导 探索发现(3)
2. 设等比数列的前n项和为Sn,请学生写出S1、S2、S3、S4的表达 式

即S1= a1
S2= a1 + a2 = a1+ a1q = a1( 1+q) S3= a1 +a2 +a3 = a1+ a1q + a1q 2= a1( 1+q+ q2) S4= a1+ a2 +a3 +a4 = a1+ a1q + a1q 2+ a1q 3= a1( 1+q+ q2+ q3 )

四. 程序设计
第二环节:启发引导 探索发现(4)
3. 我们发现q ≠1时,随着n的增大Sn的形式愈加复杂, 能否用简洁的形式来表示Sn呢? 引导学生观察S3,发现S3中有一项1+q+q2, 我们在哪个公式见过这一项呢?

人教版高一数学第一章复习参考 题A组12题充要条件问题,第二章单调性习 题5复习参考题A组9题研究函数y=ax3的单 调性问题,我们都补充了a3-b3公式

四. 程序设计
第二环节:启发引导 探索发现(5)
引导学生在S3= a1( 1+q+ q2)的分子分母同乘以 1-q (q ≠1)会得到什么结论?

S3 ?

a 1 (1+q+ q 2 )(1-q) 1-q

a1 (1-q 3 ) = 1-q

S1 、S2 、S4是否有同样的变形?

四. 程序设计
第二环节:启发引导 探索发现(6)
4. 让学生尝试变形:

a1 (1-q) S1 ? 1-q
S2 ? a 1 (1+q)(1-q) 1-q a1 (1-q 2 ) = 1-q

a1 (1-q n ) Sn ? .(q ? 1) 1-q

S4 ?

a 1 (1+q+ q 2 +q 3 )(1-q) 1-q

a1 (1-q 4 ) = 1-q

四. 程序设计
第二环节:启发引导
第三层次 展示公式的证明过程:

探索发现(7)

a1 (1-q n ) .(q ? 1) 分析:欲证 Sn ? 1-q
只需证Sn—qSn=a1(1—qn)

成立
(q ≠1) ①

由 Sn=a1+ a1q+ a1q2+ a1q3+……+a1qn-2+ a1qn-1 qSn=

a1q+ a1q2+ a1q3+……+a1qn-2+ a1qn-1 + a1qn ②

① —②得: Sn (1—q)= a1—a1qn

四. 程序设计
第二环节:启发引导 探索发现(8)
故:
? na1 ? n a ( 1 ? q ) S ? 等比数列{an}前n项和 n ? 1 ? ? 1? q q ?1 q ?1

二者不能兼容

体现分类讨论的必要性
数学游戏问题答案:

230–1 (分)=10737418. 23 (元) 远大于3000元

四. 程序设计
第三环节:发散思维 深化目标(1)
第一方面 :探求公式其它推导方法
由前面证明过程的分析Sn—qSn这一思路正是用等比 数列的重要性质,出现众多公共项,我们把这种方法叫 错位相消法. 那么 S n ?
1 S n与 S n ? q 2 S n 是否可以起到同 q

样的化简效果?体现思维的批判性,择优选取,揭示化 简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要作用。

四. 程序设计
第三环节:发散思维 深化目标(2)
Sn= qSn= a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1 a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn
(1) (2) (3)

1 S n =a1q-1+ a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2 q
q2Sn= a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1

(4)

(1)–(2)

(1) –(3)

(1) –(4)

效果如何 有何启发

四. 程序设计
第三环节:发散思维 深化目标(3)
第二方面:公式的灵活应用:
1、注意q=1与q≠1两种情形
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 2、q≠1时, Sn ? ? 1? q 1? q

3、五个量n、a1、q、an、Sn中,解决“知三求二”问题。

四. 程序设计
第四环节:课堂演练 巩固提高(1)
例一:“棋盘上的麦粒”(以2为底的幂)历史典故 大家都见过国际象棋吧!它的棋盘是正四方形,黑白 相间共64格,传说在很久以前,古印度舍罕王在宫廷单调 的生活苦恼中,发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣 和奥妙之后,决定要重赏发明人——他的宰相西萨班?达依 尔,让他随意选择奖品,宰相要求的赏赐是:在棋盘的第 一格内赏他一粒麦子,第二格内赏他两粒麦子,第三格四 粒麦子……以此类推每一格上的麦子数都是前一格的两 倍,国王一听,几粒麦子,加起来也不过一小袋,他就答 应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗?

四. 程序设计
第四环节:课堂演练 巩固提高(2)

解: ∵ a1=1, q =2, n=64 n a (1-q ) ∴由: S ? 1
n

1-q

得出

S64

1(1-264 ) ? ? 264 ? 1 1-2

=18 446 744 073 709 551 615 (粒) 人们估计,如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相 当于地球到太阳距离的2万倍。若按万粒400克计 算,可达7000亿吨。而我国现年产量在1亿吨左右.

四. 程序设计
第四环节:课堂演练 巩固提高(3)
练习: 等比数列{ an}中 ① a1= 8,an=0.5 , q=0.5 ,求Sn; ② a1= 2,S3= 26 , 求a3 , q; ③ a1=2 , S3=6 , 求q. 练习题设计:由易到难,循序渐进, ①②考察公式灵活应用 ③针对易错点考察分类讨论思想的应用

四. 程序设计
第五环节:课堂小结 布置作业
一 .师生小结:由学生从知识、思想方法、解决问题的办法
等方面进行小结,老师适时补充,以推动学 生建立完整的知识框架结构.

二 .布置作业:
A.研读课文、整理笔记、课后习题3.5(1)(2)、用函数观点看待Sn B.思考题(投影给出)

四. 程序设计
思考题(供学有余力的同学完成)
思考一:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。问 截n 次后截去的总长是多少? ——《庄子?天下篇》

(除用公式外,引导学生用间接法)

思考二:探索求和公式的其它推导方法,提示如: 方程法、借助等比定理法

an a2 ? a3 ? ... ? an a2 a3 ? ? ... ... ? ? ?q a1 a2 a n ?1 a1 ? a2 ? ... ? an ?1
请同学用提示公式作答

板书设计
§3.3等比数列的前n项和
例1

: ********* ********* ********* ********* ********* 解: ********* ********* ********* *********

公式的发现过程

公式的推导证明过程

练习

********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* *********

********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** **********

********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* *********

五. 教学反思
一. 本节课的设计试图以教学大纲为依据,在教法设计上遵 循以教师为主导,学生为主体,思维训练为主线,能力发展 为主攻的原则,采用启发引导探究发现法,注重知识的再创 造过程,重视数学思想方法的渗透,培养学生的思维能力和 创新意识. 二. 本节课涉及多种思想方法,是数学教学走向本质的一大 尝试,也是在实际教学中需要不断思考的一个课题.


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