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集合高三讲义


一.集合的性质与运算 【题型一:集合的含义与性质】 例 1.已知集合 A ? {x ? R | x2 ? 3x ? a ? 0} ,且 2 ? A ,则实数 a 的取值范围是( A. (??, 2] 答案 A 例 2.(2012 新课标理)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ; ,则 B 中所含元素的个数为( A. 3 答案 D 例 3.已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0}至多有一个元素,则 a 的取值范围 至少有一个元素,则 a 的取值范围 答案 (1) ?a a ? 。 ;若 B. 6 ) C. ? D. ?? B. [2, ??) C. (??, ?2] D. [ ?2, ?? ) )

? ?

? ? ? 9 9 或a ? 0? (2) ?a a ? 或a ? 0? 4 4 ? ? ?
).

习题 1.如果集合 A={ x | ax 2 + 2 x + 1=0} 中只有一个元素,则 a 的值是( A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定 答案 B

习题 2.定义集合运算: A ? B ? ?z | z ? xy, x ? A, y ? B? .设 A ? ?1, 2? , B ? ?0, 2? , 则集合 A? B 的所有元素之和为( ) A.0 B.2 C.3 答案 D 习题 3.方程组 ? A. ? 5, 4 ? D.6

?x ? y ? 1
2 2 ?x ? y ? 9

的解集是(

) D. ??5,?4 ?? ).

B. ?5,?4 ?

C. ??? 5,4??

答案 D 习题 4.直线 y ? 2 x ? 1 与 y 轴的交点所组成的集合为( 1 A. {0,1} B. {(0,1)} C. {? ,0} 2 答案 B

1 D. {(? ,0)} 2
.

习题 5.对于集合 A ? {2, 4, 6} ,若 a ? A ,则 6 ? a ? A ,那么 a 的值为 答案 4 或 2 习题 6.设 a, b 都是非零实数, y ? 答案

a b ab ? ? 可能取的值组成的集合是 a b ab

.

??1,3?

习题 7.已知 A ? {a ?1, 2a2 ? 5a ? 1, a2 ? 1} ,且 ?2 ? A ,则 a 的值为 答案 ?

.

3 2

习 题 8.(2010 新 乡 一 模 ) 已 知 含 有 三 个 实 数 的 集 合 既 可 表 示 成 {a,

b ,1} , 又 可 表 示 成 a

{a 2 , a ? b,0} ,则 a 2003 ? b 2004 ?

.

答案 ? 1 习题 9.已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z } , 集合 B ? {( x, y) | y ? x2 ? 1, x ? A} . 试用列举法分别 表示集合 A、B.

答案 集合 A ? ?? 2,?1,0,1,2?;集合 B ? ??? 2,5?, ??1,2?, ?0,1?, ?1,2?, ?2,5?? x?a 习题 10.已知集合 A ? {a | 2 ? 1有唯一实数解} ,试用列举法表示集合 A. x ?2 9 答案: A ? {? , ? 2, 2} . 4

【题型二:集合的运算】 例 1.(2014 大纲卷文)设集合 M ? {1, 2, 4,6,8}, N ? {1, 2,3,5,6,7} ,则 M 个数为( A.2 答案 B ) B.3 C.5 D.7

N 中元素的

, B ? ?x | ?2 ? x ? 1?, 例 2. (2014 新课标文) 已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 3? 则M
A. ( ?2,1) B. ( ?1,1) C. (1,3) D. (?2,3)

B? (



答案 B 例 3.(2014 湖北文)已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} ,集合 A ? {1,3,5,6} ,则 CU A =( A. {1,3,5,6} 答案 C
x 例 4.(2014 山东理) 设集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? { y y ? 2 , x ? [0,2]}, 则 A ? B ? (

)

B. {2,3, 7}

C. {2, 4, 7}

D. {2,5, 7}

)

A.[0,2] 答案 C

B.(1,3)

C.[1,3)

D. (1,4)

2 例 5.(2013 北京理) 已知集合 P ? x | x ? 1 , M ? ?a? .若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是

?

?

A. ( ??,?1] 答案 C

B. [1, ?? )

C. [ ?1,1]

D. (??,?1] ? [1,??)

例 6.(2013 天津理)已知集合 A ? ?x ? R || x ? 3 | ? | x ? 4 |? 9? ,

1 ? ? B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? (0,??)? ,则集合 A ? B ? t ? ?
答案 ?? 2,6?

N ? {x | 0 ? x ? 5} , 习题 1. (2014 大纲卷理) 设集合 M ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} , 则M
( ) B. [0, 4) C. [?1, 0) D. (?1, 0]

N?

A. (0, 4] 答案 B

习题 2.(2014 北京理)已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {0,1, 2} ,则 A

B?(

)

A.{0}

B. { 0 , 1}

C. { 0 , 2 }

D. { 0 , 1, 2 }
N?

答案 C 习题 3.(2014 广东理)已知集合 M ? {?1,0,1} , N ? {0,1, 2} ,则 M A. {0,1} 答案 C B. {?1, 0, 2} C. {?1, 0,1, 2} D. {?1, 0,1}

x (重复例 4)习题 4.(2014 山东理)设集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? { y y ? 2 , x ? [0,2]}, 则

A? B ?(
A.[0,2] 答案 C

) B.(1,3) C.[1,3) D. (1,4)

习题 5.(2014 辽宁理) 已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} , 则集合 CU ( A ( ) B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 1}

B) ?

A. {x | x ? 0} 答案 D

习题 6. (2014 四川理) 已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , 集合 B 为整数集, 则 A? B ? (
2

)

A. {?1, 0,1, 2} 答案 A

B. {?2, ?1, 0,1}

C. {0,1}

D. {?1, 0}

习题 7. (2014 浙江理) 设全集 U ? ?x ? N | x ? 2?, 集合 A ? x ? N | x ? 5 , 则 CU A ? (
2

?

?



A. ? 答案 B

B. {2}

C. {5}

D. {2,5}

习题 8.(2013 湖北理)已知 U ? y y ? log2 x, x ? 1 , P ? ? y y ?

?

?

? ?

? 1 , x ? 2? ,则 CU P ? x ?

A. [ ,??) 答案 A

1 2

B. (0, )

1 2

C. ?0,?? ?

D. (??,0] ? [ ,??)

1 2

习题 9. (2013 湖南文) 设全集 U ? M A. {1, 2,3} 答案 B B. {1,3,5}

N ? {1, 2,3, 4,5}, M

( CU N ? {2, 4}, 则 N ?



C. {1, 4,5}

D. {2,3, 4}

习题 10. ( 2013 江西理)若集合 A ? {x | ?1 ? 2 x ? 1 ? 3}, B ? {x | ( ) B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 2}

x?2 ? 0} , 则 A ? B = x

A. {x | ?1 ? x ? 0} 答案 B

D. {x | 0 ? x ? 1}

习题 11.(2013 山东文)设集合 M = x | x2 ? x ? 6 ? 0 , N = ?x |1 ? x ? 3? ,则 M ( ) A.[1,2) 答案 A B.[1,2] C.( 2,3] D.[2,3]

?

?

N=

习题 12. ( 2013 辽宁理) ( 2 )已知 M , N 为集合 I 的非空真子集 , 且 M , N 不相等 , 若

N ? C I M ? ? ,则 M ? N ? (
A.M 答案 A B.N

) C. I D. ?

习题 13.(2012 辽宁理)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} ,集合 B= {2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) 为( A.{5,8} 答案 B 习题 14.(2012 高考真题全国卷理)已知集合 A={ 1,3, m },B={ 1, m } ,A A. 0 或 3 答案 B 习题 15.(2011 广东理)已知集合 A={ ( x , y )| x , y 为实数,且 x ? y ? 1 },B={( x , y )
2 2

) D.{2,4,6}

B.{7,9}

C.{0,1,3}

B=A, 则 m =

B.0 或 3

C.1 或 3

D.1 或 3

| x , y 为实数,且 y ? x }, 则 A ∩ B 的元素个数为( A.0 B. 1 C.2 D.3



答案 C ( 重 复 ) 习 题 16.(2011 江 西 理 ) 若 集 合 A ? { x ?? ? ? x?? ? ? } , B? { x

x?? ?? } ,则 x

A? B ?
A. {x ??? x ? ?} B. {x ? ? x ??} C.

{x ? ? x ? ?}

D. {x ? ? x ??}

习 题 17. 已 知 集 合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ? ( ) B. [?1, 2 ] C.

2 ? x2 } , 则 M ? N ?

A. [ ?1,??) 答案 B

[ 2 ,??)

D.

?
Q??, 则 m 等于 ( )

习题 18.已知集合 P ? {0, m}, Q ? {x | 2x2 ? 5x ? 0, x ? Z} , 若P A. 1 答案 D B. 2 C. 1 或

5 2

D. 1 或 2

习题 19.(2012 全国理)已知集合 A={x ? R||x +2|<3} ,集合 B={x ? R|(x ? m)(x ? 2)<0} ,且

A

B =( ? 1,n) ,则 m=

, n=

.

答案 m ? ?1, n ? 1 习题 20.(2011 江苏)设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
______________ 答案

1 ? m ? 2 ?1 . 2

解析 当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 为半径的圆,集合 B 是在两条平行

线之间, ( 2 , 0 )在直线的上方

2 ? 2m ? 1 2 ? m ? (1 ? 2)m ? ? 0 d ? r ,又因为 2 2

A ? B ? ? , 此时无解;
当 m ? 0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以

m 和 m 为半径的圆环,集合 B 是在两条平 2

行线之间,必有当 2m ? 1 ? 2, m ?

1 2 ? 2m ? 1 2 1 时,只要, ? m ? 1? ?m? . 2 2 2 2

当 2m ? 2, m ? 1 时, 只要, ? 当 2m ? 2, 2m ? 1 ? 2 ?

2 ? 2m ? m ?1? m ? 2 ? 2 2

1 ? m ? 1 时,一定符合 A ? B ? ? , 2 m 1 2 又因为 A ? ? , ? m ,? ? m ? 2 ? 2 . 2 2
【题型三:集合的基本关系】 例 1. U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} , 已 知 集 合 A ? { 2 , 3} B, ? x{ m |x ?

? 6 若 0} , B? 则 A 实,数

m ?(
A.3 答案 D

) B.2 C .2 或 3 D.0 或 2 或 3

2 例 2. 已 知 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? a , 若 A ? B , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

?

?

?

?



) B. [3, ??) C. (3, ??) D. (??,3]

A. ( ?1, ?? ) 答案 B

例 3.已知集合 M ? {4,5, 6},N ? {1, 2,3} , 定义 M ? N ? {x | x ? m ? n,m ? M,n ? N } , 则集合

M ? N 的所有真子集的个数为(
A.32 答案 A B.31

) C.30 D.以上都不正确

例 4.数集 X ? ?(2n ? 1)? , n ? Z ? 与 Y ? ?(4k ? 1)? , k ? Z ?之的关系是( A. X ? Y 答案 C B. Y ? X C. X ? Y D. X ? Y



习题 1.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 2? ,N ? ?x | x ? k ? 0? , 若M ? N , 则 k 的取值范围是 ( A. k ? 2 B. k ? ?1 C. k ? ?1 D. k ? 2 答案 D 习题 2.若 {a2 ,0, ?1} ? {a, b,0} ,则 a 2007 ? b2007 的值为( ). A. 0 B. 1 C. ?1 D. 2 答案 A 习题 3.已知集合 P={x|x2=1},集合 Q={x|ax=1},若 Q ? P,那么 a 的值是( A. 1 答案 D B. -1 C. 1 或-1 D. 0,1 或-1

) .

).

习题 4.已知集合 M={x|x=

k 1 k 1 + ,k∈Z}, N={x|x= + , k∈Z}. 若 x0∈M,则 x0 与 N 的关系 2 4 4 2

是( ). A. x0∈N B. x0 ? N C. x0∈N 或 x0 ? N D.不能确定 答案 A 习题 5.已知集合 A ? ?x x ? 3k , k ? Z ?, B ? ?x x ? 6k , k ? Z ? , 则 A 与 B 之间最适合的关系是 ( ).

A. A ? B 答案 D

B. A ? B

C. A ? B

?

D. A ? ? B

习题 6.(2012 江西理)若集合 A ? ?? 1,1?, 则集合 {z ︱z ? x? y,x ? A, y ? B} B ? ?0,2? , 中的元素的个数为( A.5 答案 C 习题 7.(2013 新课标文)已知集合 M ? ?0,1,2,3,4?, N ? ?1,3,5?, P ? M 集共有( A.2 个 答案 B 习题 8.设集合 A ? ?1, 2,3, 4,5, 6 ? , B ? ?4,5, 6, 7? , 则满足 S ? A 且 S 个数为( A.57 答案 B ) B.56 C.49 D.8 ) B.4 个 C.6 个 D.8 个 B.4 ) C.3 D.2

N ,则 P 的子

B ? ? 的集合 S 的

习题 9.(2011 郑州一模理)定义集合运算: A ? B ? z ? x y ? xy , x ? A, y ? B ,设集合
2 2

A ?? 1,0?, B ? ?2,3?,则集合 A ? B 的所有元素之和为

?

?

答案 18 习题 10.已知集合 A ? ?a, b, c,? ,则集合 A 的真子集的个数是 答案 7

.

b 习题 11.当 {1, a, } ? {0, a2 , a ? b} 时,a=_________,b=_________. a
答案 a ? ?1, b ? 0 习题 12.已知 A={2,3},M={2,5, a 2 ? 3a ? 5 },N={1,3, a 2 ? 6a ? 10 },A ? M,且 A ? N,求 实数 a 的值. 解析:因为 A ? M,所以 a 2 ? 3a ? 5 =3,解之得 a ? 2或a ? 1 因为 A ? N,所以 a 2 ? 6a ? 10 =2,解之得 a ? 2或a ? 4 所以 a ? 2

习题 13.设集合 A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 2(a ? 1) x ? (a ? 5) ? 0
2

?

?

?

2

2

?,若 B ? A ,

求实数 a 的取值范围

1,2?,若使 B ? A 成立则: 解析:由题意知 A ? ?
(1) B ? ? ,即关于 x 的方程 x ? 2?a ? 1?x ? a ? 5 ? 0 无解,
2 2

?

?

所以 ? ? 4?a ? 1? ? 4 a 2 ? 5 ? 0 ,即 a ? ?3 .
2

?

?

(2) B ? ? 1?,即关于 x 的方程 x 2 ? 2?a ? 1?x ? a 2 ? 5 ? 0 有两个相等的实数根且为 1,

?

?

?? ? 4?a ? 1?2 ? 4 a 2 ? 5 ? 0 所以 ? ,无解. 2 ? 1 ? 2?a ? 1? ? a ? 5 ? 0
(3) B ? ?2?,即关于 x 的方程 x 2 ? 2?a ? 1?x ? a 2 ? 5 ? 0 有两个相等的实数根且为 2, 所以 ?

?

?

?

?

?? ? 4?a ? 1?2 ? 4 a 2 ? 5 ? 0 ,无解. 2 ? 4 ? 4?a ? 1? ? a ? 5 ? 0

?

?

(4) B ? A ? ? 即关于 x 的方程 x 2 ? 2?a ? 1?x ? a 2 ? 5 ? 0 有两个不相等的实数根且 1,2?, 为 1,2.所以由根与系数的关系得 ? 综上实数 a 的取值范围为 ?? ?,?3?

?

?

?? 2(a ? 1) ? 3 ,无解. 2 ? a ?5 ? 2

习题 14.已知 A ? {x | a ? x ? a ? 3} , B ? {x | x ? ?1或 x ? 5} . (1)若 A

B ? ? ,求 a 的取值范围; (2) 若 A

B ? B ,求 a 的取值范围.

解析:(1)若 A ? B ? ? ,则需满足 ?

? a ? ?1 ,解之得 a ? ?? 1,2? . ?a ? 3 ? 5

(2)若 A ? B ? B ,则 A ? ? 或 A 是 B 的真子集: 当 A ? ? 时, a ? a ? 3 ,无解; 当 A 是 B 的真子集时, a ? 3 ? ?1或a ? 5 ,解之得 a ? ?4或a ? 5 综上知 a 的取值范围为 a a ? ?4或a ? 5

?

?

习题 15.已知 A ? x ? 2 ? x ? 5 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ?1 , B ? A ,求 m 的取值范围. 解析:因为 B ? A ,所以 B ? A 或 B 是 A 的真子集. 当 B ? A 时, ?

?

?

?

?

?m ? 1 ? ?2 ,无解. 2 m ? 1 ? 5 ?

当 B 是 A 的真子集时,可分为: (1) B ? ? 时, m ? 1 ? 2m ? 1 , m ? 2 ; (2) B ? ? 时, ?

综上 m 的取值范围为 ?? ?,3?

?m ? 1 ? ?2 , ? 3 ? m ? 3; ? 2m ? 1 ? 5

习题 16.已知 A ? {x | x2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} 且 A ? B ,求实数 p、 q 所满足的条件.

解析: B ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} = ? 1,2? , A ? B 则: 当 A ? ? ,即关于 x 的方程 x 2 ? px ? q ? 0 无解, 所以 ? ? p 2 ? 4q ? 0 ,. 当B ?? 1?时,即关于 x 的方程 x 2 ? px ? q ? 0 有两个相等的实数根且为 1, 所以 ?

?? ? p 2 ? 4q ? 0 ? 1? p ? q ? 0

,?

? p ? ?2 ? q ?1

当 B ? ?2?时,即关于 x 的方程 x 2 ? px ? q ? 0 有两个相等的实数根且为 2,

?? ? p 2 ? 4q ? 0 ? p ? ?4 所以 ? ,? . ? 4? 2p ? q ? 0 ? q ? 4
当B ? A?? 1,2?时,即关于 x 的方程 x ? px ? q ? 0 有两个不相等的实数根且为 1,2.所以
2

由根与系数的关系得 ?

? p ? ?3 , ? q?2 ? p ? ?2 ? p ? ?4 ? p ? ?3 或? 或? ? q ?1 ? q?4 ? q?2

综上实数 p、q 所满足的条件为 p 2 ? 4q ? 0 或 ?


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