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2.4 函数的图象(师版)


2.4 函数的图象
【考纲解读】 1. 掌握函数图象的两种基本方法:描点法与图象变换法; 2.掌握图象变换的规律,能利用图象研究函数的性质. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.函数的图象是历年来高考必考内容之一,经常以选择填空题的形式出现,还常与三角函数 等知识相联系,以考查函数知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解 决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的图象识图与用图,命题形式会更加灵 活. 【要点梳理】 1.熟练基本函数的图象:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、一些简 单的幂函数、三角函数等. 2.图象变换: (1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减

y ? f ( x) 的图象向左平移 a (a ? 0) 个单位得到函数 y ? f ( x ? a ) 的图象;
y ? f ( x) 的图象向右平移 b(b ? 0) 个单位得到函数 y ? f ( x ? b) 的图象; y ? f ( x) 的图象向上(下)平移 h(h ? 0) 个单位得到函数 y ? f ( x) ? h 的图象.
(2)对称变换:

y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称; y ? ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图象关于原点对称;
(3)翻折变换: ① y ?| f ( x) | 的图象:先画出 y ? f ( x) 的图象,然后保留 x 轴上方部分,并把 x 轴下方部 分翻折到 x 轴的上方即可. ② y ? f (| x |) 的图象:先画出 y ? f ( x) 的图象,然后保留 y 轴右侧部分,并把 y 轴右侧部
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分翻折到 y 轴的左侧即可. 3.图象的画法:(1)列表、描点、连线; (2)图象变换法. 【例题精析】 考点一 图象变换

例 1. (2012 年高考湖北卷文科 6)已知定义在区间(0,2)上的函数 y=f(x)的图像如图 所示,则 y=-f(2-x)的图像为( )

【变式训练】 1. (2011 年高考四川卷文科 4)函数 y ? ( ) x ? 1 的图像关于直线 y=x 对称的图像大致是(

1 2

)

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考点二

识图
cos 6 x 的图象大致为( 2 x ? 2? x

例 2. (2012 年高考山东卷文科 10)函数 y ?



【变式训练】 2.(2011 年高考山东卷文科 10)函数 y ?

x ? 2sin x 的图象大致是( 2



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【答案】C

1 1 1 ? 2 cos x ,所以令 y ' ? ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是增函 2 2 4 1 1 数;令 y ' ? ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象, 可得选 C 2 4
【解析】 因为 y ' ? 正确. 考点三 用图
1

例 3.(2012 年高考北京卷文科 5)函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为 (
x

1 2

)

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

【名师点睛】 本题主要考查利用函数的图象来判断函数的零点个数, 函数的图象还可以用来 解决方程根的个数、两曲线的交点个数等问题,是高考的一个重点. 【变式训练】 3.(2011 年高考山东卷文科 16)已知函数 f(x) log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3 = <b<4 时,函数 f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= .

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y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的图象上点的横坐标 x ? (5, 6) ,故所求的 n ? 5 .
【易错专区】 问题:不会合理的应用图象解决问题 例. (2009 年高考山东卷理科第 14 题) 若函数 f(x)= a x ? x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 .

1. (山东省威海市 2012 年 3 月高三第一次模拟)函数 y ? f ? x ?? x ? R ? 的图象如右图所示, 下列说法正确的是( )

①函数 y ? f ? x ? 满足 f ?? x ? ? ? f ? x ?; ②函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ?? x ?; ③函数 y ? f ? x ? 满足 f ?? x ? ? f ? x ?; ④函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ?. A.①③ B.②④ C.①② D.③④

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2. ( 广 东 省 六 校 2012 年 2 月 高 三 第 三 次 联 考 理 ) 函 数 y ? log 2 ( ) A. 关于原点对称 C. 关于 y 轴对称 【答案】A 【解析】设 f ( x) ? log 2 B. 关于主线 y ? ? x 对称 D. 关于直线 y ? x 对称

1? x 的图像 1? x

1? x 1? x 1? x ,则 f (? x) ? log 2 = ? f ( x) ,所以函数 y ? log 2 是 1? x 1? x 1? x x?3 的图像,只需把函数 10

奇函数,其图象关于原点对称,故选 A. 3.(2009 年高考北京卷文理科第 3 题)为了得到函数 y ? lg

y ? lg x 的图像上所有的点





A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

4. (2010 年高考四川卷文科 2)函数 y=log2x 的图象大致是【来源:全,品?中&高*考+网】 ( ) 【来源:全,品?中&高*考+网】

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5.(2009 年高考山东卷)函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x

).

6.(天津市耀华中学 2012 届高三第二次月考文科)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数 y ? f ( x) ? log 3 | x | 的零点个数是 ( (A)0 个 (B)2 个 (C) 4 个 (D)6 个 )

1.

【来源:全, 品?中&高* 考+网】

(2010 年高考山东卷文科 11)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是(
x 2

)

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2.(2012 年高考四川卷文科 4)函数 y ? a ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
x



3.(2012 年高考山东卷文科 12)设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ? x 2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 x

y ? g ( x) 的图象有且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是



) (B) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (D) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

(A) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (C) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

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4. (2012 年高考湖南卷文科 9)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f ?( x) 是 f(x)的导函数, x ? ? 0, ? ? 时, 当 0<f(x)<1; x∈ π )且 x≠ 当 (0, 则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 ( A .2 B .4 C.5 【答案】B 【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠ D. 8 )

?
2

时 ,x ? (

?
2

) f ?( x) ? 0 ,

?
2

时 , (x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,知

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5. (2011 年高考陕西卷文科 4)函数 y ? x 的图像是

1 3

(

)

6. (2011 年高考海南卷文科 12)已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ? [?1,1] 时 f ( x) ? x ,
2

那么函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ?| lg x | 的图象的交点共有( A.10 个 【答案】A 【解析】画出图象,不难得出选项 A 正确. B.9 个 C.8 个

) D.1 个

7.(2010 年高考安徽卷文科 6)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是
2

(

)

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8. (2011 年高考天津卷文科 8)对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ”: a ? b = ?
2

? a, a ? b ? 1 ,设函 ?b, a ? b ? 1

数 f ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? 1) , x ? R .若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 实数 c 的取值范围是( A. (?1,1] ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (1, 2] 【答案】B 【解析】画出图象,容易得选项 B 正确. 9.(2012 年高考天津卷文科 14)已知函数 y ? 点,则实数 k 的取值范围是 . ) B. (?2, ?1] ? (1, 2] D. [?2, ?1]

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交

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