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成都七中高一数学下学期期中测试


考试时间:120 分钟
1.
A.
4 sin 15 ? cos 15 的值为
? ?

总分:150 分

一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) (
C.


2 D. 1

2

B.
2

3

2.函数 y ?
A .?? 4 , 4 ?

16 ? x 的定义域为





B .? ? 4 , 4 ?

C .? ? ? , ? 4 ? ? ?4 , ??

?

D .? ? ? , ? 4 ? ? ? 4 , ??

?

3.函数 y ? ? 3 sin x ? 4 cos x 的最小值为
A. ?7 B. ?5 C.


?4


D. ?3

4.1202 年,意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系:
F n ? F n ? 1 ? F n ? 2 ,其中 F n 表示第 n 个月的兔子的总对数, F1 ? F 2 ? 1 ,则 F 8 的值为 (



A.

13

B.

21

C.

34

D.

55

5.函数 f ( x ) ? 2 sin x (sin x ? cos x ) 的最小正周期是
A. 4? B. 2? C.
?


D.


?
2

?

6. ? ABC 中, a ? 10 3 , b ? 10 , A ? 60 ,则 B 等于
A. 30
?


D.


30 或 150
? ?

B.
?

45

?

C.

60

?

7. ? ABC 中, ? C ? 90 , a ? 3 , b ? 4 ,若 ? ABC 三边长都增加 1,则新三角形最大角的余弦 值 为
A.


? 1 8


B. 0 C. 1 8 D. 1 40

8.若一个三角形的三内角的度数既成等差数列, 又成等比数列, 则这个三角形的形状为 (
A .直角三角形 B .钝角三角形
1 3



C .等腰三角形

D .等边三角形

9.已知 sin ? ?
A. 23 27

,则 sin 3? 等于
B. a1 ? 1 8 27


C. 1 27


D. 1

10.在数列 ?a n ? 中,

前 则数列 ?a n ? 的通项公式为 ( 3 , n 项和 S n ? n ( 2 n ? 1) a n ,
-1-



A.

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

B.

3n ? 2 2n ? 1

C.

2?

n? 4 2
n

?1

D.

2?

n?3 2
n

11.自然数按照下表的规律排列,则上起第 2013 行,左起第 2014 列的数为 (



A.

2013 ? 2014 ? 3

B.

2013 ? 2014 ? 2 C .

2013 ? 2014 ? 1 D .

2013 ? 2014

12.已知数列 ?a n ? 满足 a n ?

5 a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 5

( n ? 2 , n ? N ) ,且 ?a n ? 前 2014 项的和为 403,则数列
*

?a n ? a n ? 1 ? 的前 2014 项的和为
A. ?4 B. ?2


C.


2 D. 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上.) 13、已知 ? , ? 都是锐角, tan ? ?
1 2 , sin ? ? 10 10 , 则 tan( ? ? ? ) 的值为



14、甲,乙两船同时从 B 点出发,甲以每小时 20 km 的速度向正东航行,乙船以每小时
20 3 km 的速度沿南偏东 60 ? 的方向航行, 1 小时后,甲、乙两船分别到达 A , C 两点,此时

? BAC 的大小为


a1 ? a 3 ? a 5 a2 ? a4 ? a6 ?

15、已知等差数列 ?a n ? 中, a 2 , a 4 , a 9 成等比数列,则



* 16、对数列 ?a n ? ,规定 ?? a n ? 为数列 ?a n ? 的一阶差分数列,其中 ? a n ? a n ?1 ? a n ( n ? N );
k k k ?1 k ?1 一 般 地 , 规 定 ?? a n ? 为 数 列 ?a n ? 的 k 阶 差 分 数 列 , 其 中 ? a n ? ? a n ? 1 ? ? a n

* 2 ( k ? N , k ? 2 ).已知数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? n ? n ( n ? N ),则以下结论正确的序号
*



.

-2-

① ?a n ? 2n ? 2 ;

3 ②数列 ?? a n ? 既是等差数列,又是等比数列; 2 ④ ?? a n ? 的前 2014 项之和为 4028 .

2 ③数列 ?? a n ? 的前 n 项之和为 a n ? n ? n ;

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.) 17、已知 ? 为第二象限的角, cos (1) sin ? ; (2) sin( ? ?
?
6

?
2

? sin

?
2

? ?

7 2

,求下列各式的值:
?
2

);

(3) cos

?
2

? sin

.

19、已知 S n 是等比数列 ?a n ? 的前 n 项和, a 5 , a 11 , a 8 成等差数列. (1)求公比 q 的值; (2)当公比 q ? 1 时,求证: S 5 , S 11 , S 8 成等差数列.

( 20、在 ? ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知向量 m ? cos A ? 2 cos C , 2 c ? a )

与 n ? (cos B , b ) 平行.. (1)求
sin C sin A

的值; (2)若 b cos C ? c cos B ? 1 , ? ABC 周长为 5,求 b 的长.

-3-

21、如图,成都市准备在南湖的一侧修建一条直路 EF ,另一侧修建一条观光大道,大道的前 一部分为曲线段 FBC ,该曲线段是函数 y ? A sin( ? x ?
2? 3 ) ( A ? 0 , ? ? 0 ), x ? ?? 4 , 0 ? 时的

图像,且图像的最高点为 B ( ? 1, 3 ) ,大道的中间部分为长 1 . 5 km 的直线段 CD ,且 CD // EF 。 大道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE . (1)求曲线段 FBC 的解析式,并求 ? DOE 的大小; (2)若 南湖管 理处要 在圆弧大 道所对 应的扇 形 DOE 区域内 修建如 图所示 的水上乐 园
PQMN

,问点 P 落在圆弧 DE 上何处时,水上乐园的面积最大?

* 22、定义:若数列 ?a n ? 对任意 n ? N ,满足

a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 ? a n

? k ( k 为常数) ,称数列 ?a n ? 为

等差比数列. (1)若数列 ?a n ? 前 n 项和 S n 满足 S n ? 3 ( a n ? 2 ) ,求 ?a n ? 的通项公式,并判断该数列是否为 等差比数列; (2)若数列 ?a n ? 为等差数列,试判断 ?a n ? 是否一定为等差比数列,并说明理由; (3)若数列 ?a n ? 为等差比数列,定义中常数 k ? 2 , a 2 ? 3 , a 1 ? 1 ,数列 ? 为 T n , 求证: T n ? 3 .
? 2n ? 1? ? 的前 n 项和 ? an ? 1 ?

-4-

参考答案

所以原式= sin ? cos (3)由 cos ? ? cos
7 2

?
6
2

? cos ? sin

?
6

?

3 4

?

3 2

?

7 4

?

1 2

?

3 3? 8

7

. ……8 分

?
2

? sin

2

?
2

? (cos

?
2

? sin

?
2

)(cos

?
2

? sin

?
2

),

得?

(cos

?
2
1 2

? sin

?
2

)? ?

7 4

,? cos

?
2

? sin

?
2

?

1 2

.

……12 分

(注:结果为 ?

扣 2 分)
1 2 a1 ? 1 ? 3 2 , a3 ? 1 2 a2 ? 1 ? 7 4 , a4 ? 1 2 a3 ? 1 ? 15 8

18、解: (1) a 2 ?
1

.

……3 分

(2)

an ? 2 a n ?1

( a n ?1 ? 2 ) 1 ? 2 ? 2 ? ,又 a 1 ? 2 ? ? 1 , ?2 a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 2 2
1 2

a n ?1 ? 1

1

? 数列 ?a n ? 2 ? 是以 ? 1 为首项,

为公比的等比数列.

……7 分

(注:文字叙述不全扣 1 分) (3)由(2)得 a n ? 2 ? ? 1 ? ( )
2 1
n ?1

1 n ?1 ,则 an ? 2 ? ( ) , 2

……9 分

1 n? ? 1? 1 ? ( ) ? 1 1 2 1 n ?1 ? 1 n ?1 2 ? ? ? ? . Sn ? 2n ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? 2n ? ? 2n ? 2 ? ( ) ? ? 1 2 2 2 2 ? ? 1? 2

……12 分

10 4 7 19、解: (1)由已知得 2 a 11 ? a 5 ? a 8 , 即 2 a 1 q ? a 1 q ? a 1 q ,由 a 1 ? 0 , q ? 0 , 得

-5-

2q ? 1 ? q , 即 2q ? q ? 1 ? 0 ,
6 3 6 3

……3 分
1 2

? ( q ? 1)( 2 q ? 1) ? 0 ? q ? 1或 q ? ?
3 3 3 3
3

, ……6 分

? q ? 1或 q ? ?

4 2

.
2 a 1 (1 ? q )
11

(2)当 q ? 1 时, 2 S 11 ? ( S 5 ? S 8 ) ?

1? q

? a (1 ? q 5 ) a 1 (1 ? q 8 ) ? ?? 1 ? ? 1? q ? 1? q ?

=

a1 1? q
6

(2 ? 2q

11

?2?q ?q )?
5 8

a1 q

5

1? q

(1 ? q ? 2 q ) ,
3 6

……9 分

由(1)知, 2 q ? 1 ? q ? 2 S 11 ? ( S 5 ? S 8 ) ? 0 ? S 11 ? S 5 ? S 8 ? S 11 ,
3

即 S 5 , S 11 , S 8 成等差数列. 20、解: (1)由已知得 b ( cos A ? 2 cos C )? ( 2 c ? a ) cos B , 由正弦定理,可设
a sin A ? b sin B ? c sin C ? k ? 0,

……12 分

则 (cos A ? 2 cos C ) k sin B ? ( 2 k sin C ? k sin A ) cos B , 即 (cos A ? 2 cos C ) sin B ? ( 2 sin C ? sin A ) cos B , ……3 分

化简可得 sin( A ? B ) ? 2 sin( B ? C ) ,又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2 sin A , 因此
sin C sin A ? 2.
a ?b ?c
2 2 2

……6 分
a ?c ?b
2 2 2

(2) b cos C ? c cos B ? b ?
c a sin C sin A

?c

?

2a

2

? a ? 1,

……8 分

2 ab

2 ac

2a

由(1)知

?

? 2, 则 c ? 2 ,

……10 分 ……12 分

由 a ? b ? c ? 5, 得 b ? 2 . 21、解: (1)由图像知 A ? 3 ,
T 4
? 曲线段 FBC 的解析式为 y ? 3 sin(

? 3 , 则 T ? 12 ?

2?

?

, 从而 ? ?

?
6

. ……3 分
?
3

?
6

x?

2? 3

), ( ? 4 ? x ? 0 ) .

当 x ? 0 时, y ? | OC | ?

3 3 2

, 又 CD ?

3 2

, 则 ? COD ?

?
6

, 从而 ? DOE ?

. ……5 分

-6-

(2)由(1)知 OD ? 3 , 连结 OP ,设 ? POE ? ? , 0 ? ? ?
? PON 中, OP ? 3 , PN ? 3 sin ? , ON ? 3 cos ? ,

?
3

,

……6 分
3 sin ? , ……8

? QOM 中, QM ? PN ? 3 sin ? , OM ?

3 sin ? , 从而 MN ? 3 cos ? ?

分 则水上乐园 PQMN 面积
S ? 3 sin ? ( 3 cos ? ? 3 sin ? ) ? 9 sin ? cos ? ? 3 3 sin
2

? ?

9 2

sin 2? ? 3 3 ?

1 ? cos 2? 2

=

9 2

sin 2? ?

3 3 2

cos 2? ?

3 3 2

? 3 3 sin( 2? ?

?
6

)?

3 3 2 3 3 2

,

由0 ? ? ?

?
3

, 知当 2 ? ?

?
6

?

?
2

,即 ? ?

?
6

时, S max ?

.

……11 分

3 ? a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 ? a n ? 2

a n ?1 ? a n ?1

3

2 ? an

an

?

3 2

(n ? N )
*

.

? 数列 ?a n ? 是等差比数列.

……4 分

(2)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,则 a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? a n ? d , 当 d ? 0 时,
a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 ? a n ? d d ? 1, 数列 ?a n ? 是等差比数列;

……6 分

当 d ? 0 时,数列 ?a n ? 是常数列,数列 ?a n ? 不是等差比数列.

……8 分

-7-

(3)由

a n ? 2 ? a n ?1 a n ?1 ? a n

? 2 , a 2 ? a1 ? 2 ,

`知数列 ?a n ?1 ? a n ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.
? a n ?1 ? a n ? 2 ? 2
n ?1

……9 分 ……10 分

? 2

n

,

a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 4 ? a 3 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 2 ? a 1 ) ? a 1
? 2
n ?1

?2

n?2

?? ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 ,
3 2 n

……12 分

-8-


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