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必修4学案任意角的三角函数


第一章

第三节

任意角的三角函数

一、复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?

Rt ?ABC 中,设 A 对边为 a , B 对边为 b ,C 对边为 c ,锐角 A 的正弦、余弦、
正切依次为 sin A ? _____, cos A ? ________, tan A ? ________. 二、任意角三角函数的定义: 1.用终边上点的坐标定义三角函数. 角 ? 可放在坐标系中,在角 ? 的终边上 任取一点 P

( a, b) ,点 P 与原点的距离 r ?

a 2 ? b2
tan ? ? ____

sin ? ? _____

cos ? ? ______

这三个比值对应相等,不会随 P 在角的终边的位置改变而改变 2.用单位圆与终边的交点坐标定义三角函数. 思考:怎样适当的选取 P 点使比值简化? 不难 想到,当 r ? 1 时形式上比较简单,即

sin ? ? _____

cos ? ? ______

tan ? ? ____

而当 r ? 1 时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,交角的终边过 P 点.此时,点 P 与原点的距离 r ? 1 . 其中,以______为圆心,以______为半径的圆为单位圆.

【典型例题】
例 1、已知角α 的终边过点 P(-1,2),求 sinα , c o sα ,tanα

变式练习:

已知角 ? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin ? +cos ? 的值;

例2、角α 的终边上有一点P(m,5) ,且 cos ? ?

m , (m ? 0) ,则求sinα +cosα 13

例 3、求

3? 与单位圆的交点坐标为 4 3? 3? 3? 则 sin ? , cos ? , tan ? 4 4 4

3? 角的正弦、余弦和正切值. 4

解:角

, .

变式练习 求?

2? 角的正弦、余弦和正切。 3

三、三角函数的符号 三角函数 第一象限 + 第二象限 第三象限 第四象限

sin ?

cos?
tan ?
总结:正弦的正负由____的符号决定,余弦的正负由___的符号决定, 正切的正负由____的符号决定 例 1.已知 sin ? ? cos ? ? 0 ,求 ? 是第几象限角.

例 2. 已知点 P( tan ? , cos ? )在第三象限,则角 ? 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

三、诱导公式一 问题:观察下列各组角有什么联系,并计算它们的三角函数值。 (1)30°,390° (2)-60°,780°

规律:终边相同的角,三角函数值相等,用公式表示如下:

例:判断下列三角函数值的正负 (1)cos(?2300 ) ;

sin (2)

13 ?; 3

(3)tan? ?

?? ? 47? ? ? 41 ? ? cos? ? ?. 6 ? ? ? 3 ?

例:计算下列三角函数值 (1) sin 780 ;
0

(2) cos

13 ?; 6

(3) tan( ? ? ) .

9 4

四、三角函数线 1、有向线段: ____________________________的线段叫做有向线段. 2、正弦线、余弦线、正切线的作法

3、根据三角函数线得到的结论 ①sin a 的取值范围:___________________________________ ②cos a 的取值范围:___________________________________ ③tan a 的取值范围:____________是不是所有角都有正切值?

? 练:当 a∈(0, ) 时,比较 a、sin a、tan a 的大小 2


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