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三角函数的图像与性质练习卷


三角函数的图像与性质的练习卷
一.选择题(共 23 小题) 1. (2015?湖北模拟)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 又是以 π 为周期的偶函数?( ) 2 A.y=x (x∈R) B.y=|sinx|(x∈R)
sin2x

上的增函数

C.y=cos2x(x∈R)

D.y=e

/>
(x∈R)

2. (2015?安徽)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期 为 π,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )

A.f(2)<f(﹣2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(﹣2) C.f(﹣2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(﹣2) 3. (2015?河北)函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间 为( )

A. (kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z B. (2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z C. (k﹣ ,k+ ) ,k∈z D. ( ,2k+ ) ,k∈z

4. (2015?新课标 II)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着 边 BC, CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x. 将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) , 则 y=f(x)的图象大致为( )

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A.

B.

C.

D.

5. (2015?长沙模拟)设函数 f(x)= 于直线 x=0 对称,则( )

sin(2x+φ)+cos(2x+φ) (|φ|<

) ,且其图象关

A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0, B.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0,

)上为增函数 )上为增函数 )上为减函数 )上为减函数

C.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0, D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0,

6. (2015?中山二模)函数

是(



A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 7. (2015?路南区校级二模) 下列函数中周期为 π 且图象关于直线 x= A.y=2sin( + ) B.y=2sin(2x﹣ ) C.y=2sin(2x+ 对称的函数是 ( ) )

) D.y=2sin( ﹣

8. (2015?文昌校级模拟)已知函数 f(x)=cosxsin2x,下列结论中不正确的是( A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称 B. C. D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 9. (2015?武汉模拟)函数 f(x)=|sin cos |的最小正周期是( A. B. C.π D.2π )



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10. (2015?余姚市三模)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (x∈R)的图象的一部分如图所示,若 对任意 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) ,则|x1﹣x2|的最小值为( )

A.2π

B.π

C.

D.

11. (2015?市中区校级四模) 已知函数 f (x) =2sin ( 的值为( A.l ) C. D.0

) , 则f (1) +f (2) +…+f (2015)

B.1

12. (2015?福建模拟)若 a=sin(π﹣ A. B.π C.2π D.4π

) ,则函数 y=tanax 的最小周期为(



13. (2015?绍兴一模)已知函数 f(x)=sin(?x+φ) (?>0,﹣ 期是 π,且当 x= A.﹣1 B.0 时,f(x)取得最大值,则 f( C.1 D.2 +x)+f(

<φ< ﹣x)=(

)的最小正周 )

14. (2015?江西校级一模)已知函数 确的是( ) B.f(x)在 上递增

,则下列结论正

A.f(x)是奇函数

C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,1]

15. (2015?上饶二模) 在函数①y=sin|2x|, ②y=1﹣

, ③



④ A.①②

中,最小正周期为 π 的所有函数为( B.②③④ C.②③ D.③④



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16. (2015?杨浦区二模)如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆 时针方向转一周,点 P 所旋转过的弧 大致为( ) 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象

A.

B.

C.

D. 17. (2015?长沙校级一模)已知直线 y=kx(k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有三个公共点 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3)其中 x1<x2<x3,则有( ) A.sinx3=1 B.sinx3=x3cosx3 C.sinx3=x3tanx3 D.sinx3=kcosx3 18. (2015?临沂模拟)函数 y=ln 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D. 19. (2015?郴州二模)已知直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有四个公共点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , C(x3,y3) ,D(x4,y4)其中 x1<x2<x3<x4,则有( )
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A.sinx4=1 B.sinx4=(x4+1)cosx4 C.sinx4=kcosx4 D.sinx4=(x4+1)tanx4 20. (2015?上海模拟)函数 f(x)=sinx 在区间(0,10π)上可找到 n 个不同数 x1,x2,…, xn,使得 A.8 B.9 = C.10 =…= D.11 ) ,则 n 的最大值等于( )

21. (2015?河池一模)已知函数 f(x)=sin(2x+φ) ,其中 φ∈(0,2π) ,若 f(x)≤|f( |对 x∈R 恒成立,且 f( A.[kπ+ ,kπ+ )<f(π) ,则 f(x)的单调递增区间是( ,kπ+ ](k∈Z) )

](k∈Z) B.[kπ﹣

C.[kπ,kπ+

](k∈Z) D.[kπ﹣

,kπ](k∈Z)

22. (2015?南充三模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)在 x=1 和 x=﹣1 处分别取 得最大值和最小值,且对于?x1,x2∈[﹣1,1](x1≠x2)都有 函数 f(x+1)一定是( ) A.周期为 2 的偶函数 B.周期为 2 的奇函数 C.周期为 4 的奇函数 D.周期为 4 的偶函数 23. (2015?郑州一模)如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 与坐标轴的三个交点 P,Q,R 满足 P(1,0) , 中点,则 A 的值为( ) ) 为线段 QR 的 >0,则

A.

B.

C.

D.

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二.填空题(共 7 小题) 24. (2015?上海)已知函数 f(x)=sinx.若存在 x1,x2,…,xm 满足 0≤x1<x2<…<xm≤6π, * 且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12(m≥0,m∈N ) ,则 m 的最小值为 . 25. (2015?湖南)已知 ω>0,在函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点中,距离最短的 两个交点的距离为 2 ,则 ω= . 26. (2015?徐汇区模拟)函数 y=2sin(3x﹣ 是 . )的图象中两条相邻对称轴之间的距离

27. (2015?济南二模)如图所示,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0)图象的最高点, M、N 是图象与 x 轴的交点,若 =0,则 ω= .

28. (2015?芜湖三模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω,φ 是常数,ω>0) .若 f(x)在区 间[ ,1]上具有单调性,且 f(0)=f( )=﹣f(1) ,则下列有关 f(x)的每题正确的有

(请填上所有正确命题的序号) . ①f(x)的最小周期为 2; ②x= 是 f(x)的对称轴; ③f(x)在[1, ]上具有单调性; ④y=f(x+ )为奇函数.

29. (2015?闸北区一模)设函数 f(x)=2sin(πx) ,若存在 x0∈R,使得对任意的 x∈R,都 2 有 f(x)≤f(x0)成立.则关于 m 的不等式 m +m﹣f(x0)>0 的解为 . 30. (2015 春?绍兴校级期中)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函 数,其图象关于点 M( π,0)对称,且在区间[0,π]上是单调函数,则 ω= φ= .
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三角函数的图像与性质的练习卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 23 小题) 1. (2015?湖北模拟)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 上的增函数

又是以 π 为周期的偶函数?( ) 2 sin2x A.y=x (x∈R) B.y=|sinx|(x∈R) C.y=cos2x(x∈R) D.y=e (x∈R) 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】压轴题. 【分析】根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可. 2 【解答】解:y=x (x∈R)不是周期函数,故排除 A.
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y=|sinx|(x∈R)周期为 π,且根据正弦图象知在区间 y=cos2x(x∈R)是区间 y=e
sin2x

上是增函数,故 B 成立.

上的减函数,故排除 C; 上是先增后减函数,故排除 D.

(x∈R)在区间

故选:B.

【点评】本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象. 2. (2015?安徽)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期 为 π,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )

A.f(2)<f(﹣2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(﹣2) C.f(﹣2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(﹣2) 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】创新题型;三角函数的图像与性质.
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【分析】依题意可求 ω=2,又当 x= 解析式 f(x)=Asin(2x+

时,函数 f(x)取得最小值,可解得 φ,从而可求

) ,利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小.

【解答】解:依题意得,函数 f(x)的周期为 π, ∵ω>0,
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∴ω=

=2. 时,函数 f(x)取得最小值, ,k∈Z,可解得:φ=2kπ+ )=Asin(2x+ )=Asin( ) . ,k∈Z,

又∵当 x= ∴2×

+φ=2kπ+

∴f(x)=Asin(2x+2kπ+ ∴f(﹣2)=Asin(﹣4+ f(2)=Asin(4+ f(0)=Asin 又∵ >

﹣4+2π)>0.

)<0, >0, > ,而 f(x)=Asinx 在区间( , )是单调递减的,

=Asin ﹣4+2π>

∴f(2)<f(﹣2)<f(0) 故选:A. 【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的图象与性质,用诱导公式 将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键,属于中档题. 3. (2015?河北)函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间 为( )

A. (kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z B. (2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z C. (k﹣ ,k+ ) ,k∈z D. (
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,2k+ ) ,k∈z

【考点】余弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ,可得 f(x)的解析式,再根据余弦函数的单 调性,求得 f(x)的减区间. 【解答】解:由函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象,可得函数的周期为 =2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+?) . 再根据函数的图象以及五点法作图,可得 +?= ,k∈z,即 ?= ,f(x)=cos(πx+ ) . =2( ﹣ )

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由 2kπ≤πx+

≤2kπ+π, 求得 2k﹣ ≤x≤2k+ , 故f (x) 的单调递减区间为 (

, 2k+ ) ,

k∈z, 故选:D. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出 ω,由五 点法作图求出 φ 的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题. 4. (2015?新课标 II)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着 边 BC, CD 与 DA 运动, 记∠BOP=x. 将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) , 则 y=f(x)的图象大致为( )

A.

B.
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C.

D.

【考点】正切函数的图象. 【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可. 【解答】解:当 0≤x≤ 此时 f(x)= 时,BP=tanx,AP= +tanx,0≤x≤ ≤x≤ = ,

,此时单调递增, 时, =﹣ ,

当 P 在 CD 边上运动时,

且 x≠

如图所示,tan∠POB=tan(π﹣∠POQ)=tanx=﹣tan∠POQ=﹣ ∴OQ=﹣ , ,PC=BO+OQ=1﹣ , , , ≤x≤π,PA+PB= 对称,
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∴PD=AO﹣OQ=1+ ∴PA+PB= 当 x= 时,PA+PB=2

当 P 在 AD 边上运动时,

﹣tanx,

由对称性可知函数 f(x)关于 x=

且 f(

)>f(

) ,且轨迹为非线型,

排除 A,C,D, 故选:B.

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件先求出 0≤x≤ 本题的关键.

时的解析式是解决

5. (2015?长沙模拟)设函数 f(x)= 于直线 x=0 对称,则( )

sin(2x+φ)+cos(2x+φ) (|φ|<

) ,且其图象关

A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0, B.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0,

)上为增函数 )上为增函数 )上为减函数 )上为减函数

C.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0, D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0,

【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数中的恒等变换应用;余弦函数的对称性;函 数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】 通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式, 求出函数的 最小正周期,再由函数图象关于直线 x=0 对称,将 x=0 代入函数解析式中的角度中,并令 结果等于 kπ(k∈Z) ,再由 φ 的范围,求出 φ 的度数,代入确定出函数解析式,利用余弦函
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数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ, kπ+ kπ+ ](k∈Z) ,即可得到函数在(0,

] (k∈Z) , 可得出 (0, ) ?[kπ,

)上为减函数,进而得到正确的选项.

【解答】解:∵f(x)= =2[

sin(2x+φ)+cos(2x+φ)

sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)] ) ,

=2sin(2x+φ+ ∴ω=2, ∴T= =π,

又函数图象关于直线 x=0 对称,
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∴φ+

=kπ+

(k∈Z) ,

即 φ=kπ 又|φ|< ∴φ= , ,

(k∈Z) ,

∴f(x)=2cos2x, 令 2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z) , 解得:kπ≤x≤kπ+ (k∈Z) , ](k∈Z) ,

∴函数的递减区间为[kπ,kπ+ 又(0, )?[kπ,kπ+

](k∈Z) ,

∴函数在(0,

)上为减函数, )上为减函数.

则 y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,

故选:C. 【点评】本题考查了两角和与差的三角函数,三角函数的周期性及其求法,余弦函数的对称 性,余弦函数的单调性,以及两角和与差的余弦函数公式,其中将函数解析式化为一个角的 余弦函数是本题的突破点.

6. (2015?中山二模)函数

是(



A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性. 【专题】计算题. 【分析】利用诱导公式化简函数 选项. 【解答】解:因为: =2cos2x,

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,然后直接求出周期,和奇偶性,确定

所以函数是偶函数,周期为:π 故选 B. 【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,正弦函数的奇偶性,考查计算能力,是基础 题.

7. (2015?路南区校级二模) 下列函数中周期为 π 且图象关于直线 x=
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对称的函数是 (



A.y=2sin( +

) B.y=2sin(2x﹣

) C.y=2sin(2x+
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) D.y=2sin( ﹣



【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】先求出函数的周期,再根据当 x= 足条件,从而得出结论. 【解答】解:A.函数 y=2sin( + )的周期为

时,函数是否取得最值,从而判断函数是否满

=4π,不为 π,故 A 不选;

B.函数 y=2sin(2x﹣ 关于直线 x=

)的周期为

=π,且当 x=

时,函数 y 取得最大值 2,故图象

对称,满足条件,故 B 选; )的周期为 =π,且当 x= 时,函数 y=1,没有取得最值,故函

C.函数 y=2sin(2x+ 数的图象不关于直线 x= D.函数 y=2sin( ﹣

对称,故 C 不选; )的周期为 =4π,不为 π,故 D 不选,

故选:B. 【点评】 本题主要考查三角函数的周期性以及求法, 三角函数的图象的对称性, 属于中档题. 8. (2015?文昌校级模拟)已知函数 f(x)=cosxsin2x,下列结论中不正确的是( A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称 B. C. D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式,对 A、B 两项加以验 证,可得它们都正确.根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简,得 f(x)=2sinx 2 (1﹣sin x) ,再换元:令 t=sinx,得到关于 t 的三次函数,利用导数研究此函数的单调性可
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得 f(x)的最大值为

,故 C 不正确;根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证,可得

D 项正确.由此可得本题的答案. 【解答】解:对于 A,因为 f(π+x)=cos(π+x)sin(2π+2x)=﹣cosxsin2x, f(π﹣x)=cos(π﹣x)sin(2π﹣2x)=cosxsin2x,所以 f(π+x)+f(π﹣x)=0, 可得 y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,故 A 正确;
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对于 B,因为 f( f( ﹣x)=cos(

+x)=cos(

+x)sin(π+2x)=﹣sinx(﹣sin2x)=sinxsin2x, +x)=f( ﹣x) ,

﹣x)sin(π﹣2x)=sinxsin2x,所以 f( 对称,故 B 正确;
2 2

可得 y=f(x)的图象关于直线 x=

对于 C,化简得 f(x)=cosxsin2x=2cos xsinx=2sinx(1﹣sin x) , 2 令 t=sinx,f(x)=g(t)=2t(1﹣t ) ,﹣1≤t≤1, 2 2 ∵g(t)=2t(1﹣t )的导数 g'(t)=2﹣6t =2(1+ t) (1﹣ t) ∴当 t∈(﹣1,﹣ 当 t∈(﹣ , )时或 t∈( ,1)时 g'(t)<0,函数 g(t)为减函数;

)时 g'(t)>0,函数 g(t)为增函数. 时的函数值, .

因此函数 g(t)的最大值为 t=﹣1 时或 t= 结合 g(﹣1)=0<g( )=

,可得 g(t)的最大值为 而不是 ,故 C 不正确;

由此可得 f(x)的最大值为

对于 D,因为 f(﹣x)=cos(﹣x)sin(﹣2x)=﹣cosxsin2x=﹣f(x) ,所以 f(x)是奇函 数. 因为 f(2π+x)=cos(2π+x)sin(4π+2x)=cosxsin2x=f(x) , 所以 2π 为函数的一个周期,得 f(x)为周期函数.可得 f(x)既是奇函数,又是周期函数, 得 D 正确. 综上所述,只有 C 项不正确. 故选:C 【点评】本题给出三角函数式,研究函数的奇偶性、单调性和周期性.着重考查了三角恒等 变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识,属于中档题.

9. (2015?武汉模拟)函数 f(x)=|sin cos |的最小正周期是( A. B. C.π D.2π
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【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】由条件利用二倍角的正弦公式可得函数的解析式为 f(x)= |sinx|,再根据 y=|Asin (ωx+φ)|的周期等于 ? ,可得结论. =π,

【解答】解:函数 f(x)=|sin cos |= |sinx|的最小正周期是 ? 故选:C.
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【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法,二倍角的正弦公式,利用了 y=Asin (ωx+φ)的周期等于 T= ,y=|Asin(ωx+φ)|的周期等于 ? ,属于基础题.

10. (2015?余姚市三模)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (x∈R)的图象的一部分如图所示,若 对任意 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) ,则|x1﹣x2|的最小值为( )

A.2π

B.π

C.

D.
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【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】由题意可得 f(x1)为函数的最小值,f(x2)为函数的最大值,故|x1﹣x2|的最小值 为半个周期,再根据正弦函数的周期性可得结论. 【解答】解:由函数图象可得:A=1,T=4( + )=π,

若对任意 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) , 可得 f(x1)为函数的最小值,f(x2)为函数的最大值, 故|x1﹣x2|的最小值为半个周期,即 ,

故选:C. 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和值域,属于基础题.

11. (2015?市中区校级四模) 已知函数 f (x) =2sin ( 的值为( )

) , 则f (1) +f (2) +…+f (2015)

A.l B.1 C. D.0 【考点】三角函数的周期性及其求法;函数的值. 【专题】函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】利用三角函数求出函数的周期,求出已改周期内的函数值,然后求解所求表达式的 函数值即可.
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【解答】解:函数 f(x)=2sin(

) ,所以函数的周期为:

=4.

f (1) +f (2) +f (3) +f (4) =2sin ( =2×( )=0,

) +2sin (

) +2sin (

) +2sin (



f(1)+f(2)+…+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3)+503(f(1)+f(2)+f(3)+f(4) )
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=2×(

)=﹣



故选:C. 【点评】本题考查三角函数的周期的求法,函数的周期性的应用,三角函数的化简求值,考 查计算能力.

12. (2015?福建模拟)若 a=sin(π﹣ A. B.π C.2π D.4π

) ,则函数 y=tanax 的最小周期为(



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的求值.

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【分析】利用诱导公式求得 a 的值,再根据 y=Atan(ωx+φ )的周期等于 T= 数 y=tanax 的最小周期. 【解答】解:∵a=sin(π﹣ )=sin = ,则函数 y=tanax=tan 的最小周期为

,求得函

=2π,

故选:C. 【点评】本题主要考查诱导公式,三角函数的周期性及其求法,利用了 y=Atan(ωx+φ ) 的周期等于 T= ,属于基础题.

13. (2015?绍兴一模)已知函数 f(x)=sin(?x+φ) (?>0,﹣ 期是 π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则 f( +x)+f(

<φ< ﹣x)=(

)的最小正周 )

A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】首先根据函数的周期确定 ω 的值,进一步利用最大值确定 φ 的值,最后确定解析 式,再根据函数的解析式确定函数的值.
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【解答】解:f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 所以: 解得:ω=2. 当 x= 时,f(x)取得最大值, +φ)=1 ,

<φ<

)的最小正周期是 π,

所以:f(x)=sin(2? 进一步求得:φ= ,

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所以:f(x)=sin(2x+ 则:f( +x)+f(



﹣x)=sin(2x+π)+sin(π﹣2x)=0.

故选:B 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的求法,利用函数的关系式求函数的值.

14. (2015?江西校级一模)已知函数 确的是( ) B.f(x)在 上递增

,则下列结论正

A.f(x)是奇函数

C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[﹣1,1] 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】去绝对值号,将函数变为分段函数,分段求值域,在化为分段函数时应求出每一段 的定义域,由三角函数的性质求之. 【解答】解:由题意可得:
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=

=



故 A,B 不正确,C 正确. 当 x∈[2kπ+ 当 x∈[2kπ﹣ ,2kπ+ ,2kπ+ ]时,f(x)∈[﹣ ]时,f(x)∈[﹣ ,1],故 D 不正确. ,1 ] ,1]

故可求得其值域为[﹣

故选:C. 【点评】 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法, 求函数的值域, 表达式中含有绝对值, 故应先去绝对值号,变为分段函数,再分段求值域,属于中档题.

15. (2015?上饶二模) 在函数①y=sin|2x|, ②y=1﹣

, ③





中,最小正周期为 π 的所有函数为(



A.①② B.②③④ C.②③ D.③④ 【考点】三角函数的周期性及其求法.
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【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】逐一求出各个函数的最小正周期,从而得出结论. 【解答】解:∵函数①y=sin|2x|不是周期函数,没有最小正周期,不满足条件; ②y=1﹣ =cos(2x﹣ )的最小正周期为 =π,满足条件;



= tanx 的最小正周期为 π,满足条件;



的最小正周期为

=π,满足条件,

故②③④都满足条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查二倍角公式,三角函数的周期性及其求法,属于中档题. 16. (2015?杨浦区二模)如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆 时针方向转一周,点 P 所旋转过的弧 大致为( ) 的长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象

A.

B.

C.

D. 【考点】正弦函数的图象. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】根据题意和图形取 AP 的中点为 D,设∠DOA=θ,在直角三角形求出 d 的表达式, 根据弧长公式求出 l 的表达式,再用 l 表示 d,根据解析式选出答案. 【解答】解:如图:取 AP 的中点为 D,设∠DOA=θ,则 d=2|OA|sinθ=2sinθ,l=2θ|OA|=2θ,
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∴d=2sin ,根据正弦函数的图象知,C 中的图象符合解析式.
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故选:C.

【点评】本题考查了正弦函数的图象,需要根据题意和弧长公式,表示出弦长 d 和弧长 l 的 解析式,考查了分析问题和解决问题以及读图能力. 17. (2015?长沙校级一模)已知直线 y=kx(k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有三个公共点 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3)其中 x1<x2<x3,则有( ) A.sinx3=1 B.sinx3=x3cosx3 C.sinx3=x3tanx3 D.sinx3=kcosx3 【考点】正弦函数的图象;同角三角函数间的基本关系. 【专题】数形结合. 【分析】由题意画出函数的图象,利用导函数的函数值就是直线的斜率,求出关系式,即可 得到选项. 【解答】解:因为直线 y=kx(k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有三个公共点,如图 所以函数 y=|sinx|在 x∈(π,2π)时函数为 y=﹣sinx,它的导数为:y′=﹣cosx, 即切点 C(x3,y3)的导函数值就是直线的斜率 k,
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所以 k=

,因为 x∈(π,2π)





即,sinx3=x3cosx3 故选 B.

【点评】本题是中档题,考查导数的应用,函数的作图能力,分析问题解决问题的能力,考 查数形结合的思想.

18. (2015?临沂模拟)函数 y=ln

的图象大致是(



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A.

B.

C.

D. 【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称,根据 f(﹣x)=f(x) ,可得函数
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的图象关于 y 轴对称,故排除 B、D,再根据当 x∈(0,1)时,ln 排除 C,从而得到答案. 【解答】解:∵函数 y=ln

<0,从而

,∴x+sinx≠0,x≠0,故函数的定义域为{x|x≠0}. )=ln( )=f(x) ,

再根据 y=f(x)的解析式可得 f(﹣x)=ln(

故函数 f(x)为偶函数,故函数的图象关于 y 轴对称,故排除 B、D. 当 x∈(0,1)时,∵0<sinx<x<1,∴0< ∴函数 y=ln <1,

<0,故排除 C,只有 A 满足条件,

故选:A. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征,函数的奇偶性的判断,属于中档题. 19. (2015?郴州二模)已知直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有四个公共点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , C(x3,y3) ,D(x4,y4)其中 x1<x2<x3<x4,则有( ) A.sinx4=1 B.sinx4=(x4+1)cosx4 C.sinx4=kcosx4 D.sinx4=(x4+1)tanx4 【考点】正弦函数的图象. 【专题】综合题;导数的概念及应用. 【分析】依题意,在同一坐标系中作出直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象,利 用导数的几何意义可求得切线的斜率,从而将切点坐标代入直线方程(即切线方程)即可求 得答案. 【解答】解:∵直线 y=k(x+1) (k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有四个公共点,如图:
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当 x∈(π,2π)时,函数 y=|sinx|=﹣sinx,y′=﹣cosx, 依题意,切点坐标为(x4,y4) , 又切点处的导数值就是直线 y=k(x+1) (k>0)的斜率 k,即 k=﹣cosx4, ∴y4=k(x4+1)=﹣cosx4(x4+1)=|sinx4|=﹣sinx4, ∴sinx4=(x4+1)cosx4, 故选:B. 【点评】本题考查正弦函数的图象,着重考查导数的几何意义的应用,考查等价转化思想与 数形结合思想的综合应用,考查作图能力与分析、运算能力,属于难题. 20. (2015?上海模拟)函数 f(x)=sinx 在区间(0,10π)上可找到 n 个不同数 x1,x2,…, xn,使得 = =…= ,则 n 的最大值等于( )

A.8 B.9 C.10 D.11 【考点】正弦函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.
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【分析】作出函数 f(x)的图象,设 即可得到结论. 【解答】解:设 = =…=

=

=…=

=k,则由数形结合

=k,

则条件等价为 f(x)=kx,的根的个数, 作出函数 f(x)和 y=kx 的图象, 由图象可知 y=kx 与函数 f(x)最多有 10 个交点, 即 n 的最大值为 10, 故选:C.

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【点评】本题主要考查函数交点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 21. (2015?河池一模)已知函数 f(x)=sin(2x+φ) ,其中 φ∈(0,2π) ,若 f(x)≤|f( |对 x∈R 恒成立,且 f( A.[kπ+ ,kπ+ )<f(π) ,则 f(x)的单调递增区间是( ,kπ+ ](k∈Z) )



](k∈Z) B.[kπ﹣

C.[kπ,kπ+

](k∈Z) D.[kπ﹣
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,kπ](k∈Z)

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由 f(x)≤|f( 可解得 φ= ,由 2k )|?sin(φ+ ≤2x+ ≤2k )=±1,又由 f( )<f(π)?2sinφ>0,从而

可解得 f(x)的单调递增区间. )=±1?sin(φ+ )=±1,…①

【解答】解:由 f(x)≤|f( 又由 f(

)|?f(

)<f(π)?sin(π+φ)<sin(2π+φ)?2sinφ>0,…② ,

∵φ∈(0,2π) ,由①②可得 φ= ∴f(x)=sin(2x+ ∴由 2k ≤2x+ ) , ≤2k

可解得:x[kπ﹣

,kπ+

](k∈Z)

故选:B. 【点评】本题主要考察了正弦函数的图象和性质,属于基础题. 22. (2015?南充三模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)在 x=1 和 x=﹣1 处分别取 得最大值和最小值,且对于?x1,x2∈[﹣1,1](x1≠x2)都有 函数 f(x+1)一定是( ) A.周期为 2 的偶函数 B.周期为 2 的奇函数
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>0,则

C.周期为 4 的奇函数 D.周期为 4 的偶函数 【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由题意可得函数 f(x)的周期为 4,由此求得 ω 的值,再根据 f(1)=A,求得 φ 的 值,可得 f(x)的解析式,从而得出结论. 【解答】解:由题意可得,[﹣1,1]是 f(x)的一个增区间,函数 f(x)的周期为 2×2=4,
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=4,ω=

,∴f(x)=Asin(

x+φ) . +φ)=cosφ=1,

再根据 f(1)=Asin(ω+φ)=A,可得 sin( 故 φ=2kπ,k∈z,f(x)=Asin

x,故 f(x)是周期为 4 的奇函数,

故选:C. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征,正弦函数的周期性、奇偶性以及最值,属于基 础题.

23. (2015?郑州一模)如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 与坐标轴的三个交点 P,Q,R 满足 P(1,0) , 中点,则 A 的值为( )

) 为线段 QR 的

A.

B.

C.

D.
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【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由题意可得 Q,R 的坐标,利用距离公式求出周期,ω 的值,通过五点法求出函数 的解析式,即可求出 A. 【解答】解:∵函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 三个交点 P,Q,R 满足 P(1,0) , ∴可得 Q(4,0) ,R(0,﹣4) ,|PQ|=3,T=6= ,解得 ω= )与坐标轴的 为线段 QR 的中点, ,

第 23 页(共 28 页)

∴函数经过 Q,R,有

∵|?| ∴?=﹣ ∴解得 A= .

故选:C. 【点评】本题考查三角函数的解析式的求法,考查计算能力,属于基本知识的考查. 二.填空题(共 7 小题) 24. (2015?上海)已知函数 f(x)=sinx.若存在 x1,x2,…,xm 满足 0≤x1<x2<…<xm≤6π, * 且|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm)|=12(m≥0,m∈N ) ,则 m 的最小值为 8 . 【考点】正弦函数的图象. 【专题】函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.
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【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m) ,都有|f(xi)﹣f (xj)|≤f(x)max﹣f(x)min=2,要使 m 取得最小值,尽可能多让 xi(i=1,2,3,…,m) 取得最高点,然后作图可得满足条件的最小 m 值. 【解答】解:∵y=sinx 对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m) ,都有|f(xi)﹣f(xj)|≤f(x) max﹣f(x)min=2, 要使 m 取得最小值,尽可能多让 xi(i=1,2,3,…,m)取得最高点, 考虑 0≤x1<x2<…<xm≤6π,|f(x1)﹣f(x2)|+|f(x2)﹣f(x3)|+…+|f(xm﹣1)﹣f(xm) |=12, 按下图取值即可满足条件,

∴m 的最小值为 8. 故答案为:8. 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化 思想方法,正确理解对任意 xi,xj(i,j=1,2,3,…,m) ,都有|f(xi)﹣f(xj)|≤f(x) ﹣ f ( x ) =2 是解答该题的关键,是难题. max min
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25. (2015?湖南)已知 ω>0,在函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点中,距离最短的 两个交点的距离为 2 ,则 ω= .
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【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【专题】开放型;三角函数的图像与性质. 【分析】根据正弦线,余弦线得出交点(

(k1



) , (

(k2



) ,

k1,k2 都为整数, 两个交点在同一个周期内,距离最近,即可得出方程求解即可. 【解答】解:∵函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点, ∴根据三角函数线可得出交点( 都为整数, ∵距离最短的两个交点的距离为 2 ∴这两个交点在同一个周期内, ∴12= ( ) +(
2

(k1



) , (

(k2



) ,k1,k2

, ) ,ω=
2

故答案为: 【点评】 本题考查了三角函数的图象和性质, 三角函数线的运用, 属于中档题, 计算较麻烦.

26. (2015?徐汇区模拟)函数 y=2sin(3x﹣ .

)的图象中两条相邻对称轴之间的距离是

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【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】首先利用正弦函数的解析式求出函数的周期,进一步确定相邻对称轴之间的距离.
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【解答】解:函数 y=2sin(3x﹣ 所以:



则:函图象中两条相邻对称轴之间的距离是 故答案为: 【点评】本题考查的知识要点:正弦型三角函数周期的应用,属于基础题型. 27. (2015?济南二模)如图所示,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0)图象的最高点, M、N 是图象与 x 轴的交点,若 =0,则 ω= .

【考点】正弦函数的图象. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】由题意,结合图象,推出 OP=2,MN=4,求出函数的周期,利用周期公式求出 ω. 【解答】解: ,点 P 是函数 y=2sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0)图象的最高点,M、N 是图象与 x
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轴的交点,若 因为 T= 故答案为:

=0,所以 OP=2,MO=OM=2,所以 T=8,

,所以 ω=

【点评】本题是基础题,考查正弦函数的图象,函数的周期,向量的数量积与向量的垂直关 系,考查逻辑推理能力,计算能力,好题. 28. (2015?芜湖三模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω,φ 是常数,ω>0) .若 f(x)在区 间[ ,1]上具有单调性,且 f(0)=f( )=﹣f(1) ,则下列有关 f(x)的每题正确的有 ①②④ (请填上所有正确命题的序号) . ①f(x)的最小周期为 2; ②x= 是 f(x)的对称轴;
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③f(x)在[1, ]上具有单调性; ④y=f(x+ )为奇函数. 【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质.
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【分析】由题意可得可得函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,且一个相邻的对称中心为 ( ,0) ,由此判断各个选项是否正确,从而得出结论.

【解答】解:由 f(0)=f( )=﹣f(1) ,可得函数 f(x)的图象关于直线 x= 且一个对称中心为( ,0) . 故有 = ?

= 对称,

= ﹣ = ,故函数的周期为 2,f(x+ )为奇函数,故①②④正确. ?π+φ=kπ,k∈z,可取 φ= , ,f(x)=sin(πx+ ) .

由以上可得 ω=π,再结合 在[1, ]上,πx+ ∈[

],故 f(x)在[1, ]上没有单调性,故③不对.

故答案为:①②④. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征,属于基础题. 29. (2015?闸北区一模)设函数 f(x)=2sin(πx) ,若存在 x0∈R,使得对任意的 x∈R,都 2 有 f(x)≤f(x0)成立.则关于 m 的不等式 m +m﹣f(x0)>0 的解为 {m|m<﹣2,m> 1} . 【考点】正弦函数的奇偶性. 【专题】三角函数的图像与性质.
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【分析】由题意可得 f(x0)=2,关于 m 的不等式 m +m﹣f(x0)>0,即 m +m﹣2>0, 由此求得 m 的范围. 【解答】解:由题意可得 f(x0)为 f(x)的最大值,故 f(x0)=2. 2 2 关于 m 的不等式 m +m﹣f(x0)>0,即 m +m﹣2>0, 求得 m<﹣2,m>1, 故答案为:{m|m<﹣2,m>1}. 【点评】本题主要考查正弦函数的最大值,一元二次不等式的解法,属于基础题. 30. (2015 春?绍兴校级期中)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函 数, 其图象关于点 M ( π, 0) 对称, 且在区间[0, π]上是单调函数, 则 ω= 【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数的奇偶性和对称性进行求解即可.
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2

2

, φ=



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【解答】解:∵f(x)是 R 上的偶函数,0≤φ≤π, ∴φ= , )=cosωx,

则 f(x)=sin(ωx+

∵f(x)图象关于点 M( π,0)对称, ∴f( π)=cos( πω)=0, 即 πω= +kπ,k∈Z,

即 ω= + k,k∈Z, ∵f(x)在区间[0,π]上是单调函数, ∴ ,即 ,

∴0<ω≤1, 即当 k=0 时,ω= , 故答案为: , .

【点评】 本题主要考查三角函数解析式的求解, 根据三角函数的单调性和奇偶性和对称性是 解决本题的关键.

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