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1.6


三角函数模型的简单应用
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
本节课是人教版(A)数学必修 4 的第一章第六节的一个课时。按照课程的安排,它是 高一上学期中继必修 1 之后安排的学习章节的内容,也是本章三角函数的一节应用课.

(二)教学目标
?
? sin ? ? ? 进一步熟悉函数 y A ? x ? 的图像和性质,并会运用它解决有关具有周期运 动规律的实际问题;

知识目标:

?

能力目标:
由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程,使学 生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯;

?

思想目标:
使学生进一步提升对函数概念的完整认识,培养用函数观点综合运用知识解决问题的 能力,培养学生理论与实践相结合,用科学、辩证的眼光观察事物,进而抓住事物的本 质;

?

情感目标:
体验探索和创造过程,从中获得成功的快乐,体会学习数学知识的重要性,激发对数 学的兴趣和树立自信心,渗透数学与现实统一和谐之美。

(三)教学重点与难点
重点:培养学生解决实际问题的能力,体验探究和实践的过程 。 难点:分析、整理、利用信息,将现实问题抽象转化成三角函数模型,并综合运用相
关知识解决实际问题。

二、教学说明
为调动学生学习的积极性,产生求知欲望,教学中从以下四个方面加以安排.

策略:问题驱动(探究学习、自主发展) 形式:讲述、提问、讨论、操作、演示、练习(激发思维、加深体验) 手段:多媒体辅助教学(变虚为实、形象直观) 方法:有引导的对话(师生互动、教学相长)

三、教学过程
在教学过程中, 如何贯彻素质教育的要求?圆满地完成教学任务?我的想法是: 围绕

数学建模过程,贯彻互动教学模式,不断地以问题驱动,激发学生的探究欲望,让学生以 研究者和探索者的身份,参与整个应用、创新的过程. 设计上力图体现从易到难、从具体 到抽象等基本原则. 在引导学生探究的过程中,尽量为他们提供思维策略上的指导。

(一) 设置情境,呈现问题
情境:圣米切尔山的涨潮、落潮----圣米切尔山是继巴黎铁塔同凡尔赛宫之后,法
国第三大景点。 它的最大特点是"在水中央", 潮涨时整座山几乎四面环"海", 潮退时则一片荒漠。

问题:海水受日月的引力,在一定的时候 发生涨落的现象叫潮。一般地,早潮叫潮。晚潮叫汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道 ,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 :
时刻 水深/米
时刻 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0

水深/米
时刻

水深/米

就数学教育来说,素质教育的一个重要方面是应用意识和创新意识的培养,因此“从 实际问题中抽象出数学模型,进而用模型解决问题”是深化素质教育的重要体现。

(二)探索实践,寻找模型
前苏联教学论专家马赫穆托夫认为“ 问题教学”有两种:教师有意地创设问题情境 ,组织学生的探索活动,让学生提出学习问题和解决这些问题(这种做法的问题性水平较 高) ;由教师自己提出这些问题并解决它们,在此同时向学 生说明在该探索情境下的思维逻辑(这种做法的问题性水 平较低) 。 ?

初步认识

要求学生探讨问题系列一: (1) 上述的变化过程中,哪些量在发生变化?哪个是自 变量?哪个是因变量? (2) 大约什么时间港口的水最深?深度约是多少?大约 什么时间港口的水最浅?深度约是多少? (3) 在什么时间范围内,港口的水深增长?在什么时间范围内,港口的水深减少?

(4) 试着用图形描述这个港口从 0 时到 24 时水深 8 的变化情况。 7 6 (可以徒手画, 也可以引导学生将表中的数据 5 4 输入计算器或计算机,画出它们的散点图,进 3 2 行观察) 1 0 “问题系列一”中的问题较浅显、易回答,其目的 0 5 10 15 在于不仅使学生学会用数学的眼光认识自然与社会中 存在的问题,而且增强学生学好数学的信心,提高学生学习数学的兴趣。 ?

20

25

30

深入探索

要求学生进一步探讨问题系列二: (5) 选用一个适当的函数(最好是三角函数,但不一定必须是三角函数)来近似描述这 个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时间的水深近似值。 (6) 货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例规定至少要有 1.5m 的安全 间隙(船底与洋底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (7) 若某船的吃水深度为 4m,安全间隙为 1.5m,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每 小时 0.3m 的速度减少, 那么该船在什么时间必须停止卸货, 将船驶向较深的水域? 就(5) :让学生进一步在散点图的基础上应用 Excel 的功能绘制不同类型的图表,如平 滑线散点图,折线散点图,三维柱形图,圆锥图,饼图。使学生学会从不同角度感受这些数 据的特点,并整理、提升出较好的函数模型。
8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30
8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 系列1

平滑线散点图

三维柱形图

S1 0 3 6 9 12 15 18 21 24

圆锥图 饼图 利 用 三 角 函 数 的 知 识 , 这 个 港 口 的 水 深 与 时 间 的 关 系 可 以 用
y5 .sin ?24 ? 2 ? 5 t? ? , 0 近似描述。 t , 6

?

14

12

10

8

f ?x? = 5+2.5 ?sin

?? ? ?
? 6 ?x g?x? = 5.5

6

4

2

5

10

15

20

25

-2

就 (6) 其数学表达式是 y ? 5.5 , : 可用代数方法解此题, 不过最好由图像找近似解 (如 右图) 。

?. 0 t 2 5 3 就(7) :在同一坐标系中作出函数 y 5 ?. ( ?) (船呆在港口需要的最低水深
? 2 ? 5 t? ? , 0 在直线下方时即不符合要 t , )的图像,找两曲线交点,曲线 y5 .sin ?24 6

?

求水深,此时 t 值即为船停止卸货离港时间。 引导学生注意:可参考(5)中已求出的整点时水深值,可以使用计算器。 让学生思考:两个图像的交点对应的 t 值是停止卸货离港的最好时刻吗? “问题系列二”中的问题在“系列一”的基础上逐步加深,从问题的表征向内延深入, 再向外延扩展,揭示数学的应用价值。在多处同时应用代数法和图像法来解题,让学生亲身 体验这两种方法的不同特点, 从而提高何时用何种方法更好的判断能力。 在多处使用信息技 术帮助探究,提高效率,形象直观,加强感受。 在一系列问题的解答过程中,使学生经历数学建模全过程的学习,提高数据的收集、 分析和加以应用的能力, 学会“数学问题的解”应该回到实践中去接受检验, 不断地修正和 完善,从而得出具有较高精度和一定指导价值的结论。

(三)回归现实,提出问题
考虑问题的实际意义。如,由模型解出的凌晨进港时间后,如果考虑到安全因素,在 稍后的半小时后进港是较为合适的。 再如, 在货舱的安全水深正好与港口水深相等时停止卸 货,将船驶向较深的水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨。 在解决好上述问题之后,一则让学生就此模型再提出一些其它问题,并加以解决;二则 让学生找出现实生活中可能可以用函数模型解决的问题,并试着加以解决。 质疑能力是一个人最宝贵的能力之一,也是创新能力的重要表现。

(四)总结提练、提高能力
现实问题
是否符合实际 修改

现实模型的解
还原 说明

改 造

三角函数模型的解
数学 方法

解析式

现实模型

抽象 概括

三角函数模型 图 形

(五)布置作业、延时探究

请学生分小组对以下的问题或自选问题进行合作探究,并将各组的结果(无论成与败 )制成 PPT 在下节课上进行交流。 问题 1 电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的。有的每天播出,有的隔天播出 ,有的一周播出一次。请查阅当地的电视节目预告,统计不同栏目的播出周期。 问题 2 请你调查你们地区每天的用电情况,制定一项“消峰平谷”的电价方案。 问题 3 一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的?收集其他有关 的数据并提供理论证据支持你的结论。 这一过程是探究活动在时间上的延续,是对课堂学习的必要补充。

四、设计反思
课堂教学是新课程实施的基本途径, 是教师进行课程参与、 实现专业化发展的重要渠道。 当新课程即将在我省铺开之即,我们作为一线教师更应与时俱进,更新教学理念,在我们的 课堂教学中敢于尝试,及时反思,不断改进。

(一)突出生活趣味
新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动,这既 体现了“大众数学”教育思想的要求,同时也是实现数学教育基木目标的要求.因此,课堂 数学从创设问题情境, 到练习题以及思考题所选用的素材都应尽可能选择生活中学生熟知的 实例,拉近了数学与我们生活的距离,让学生亲自感受到数学来源于生活,生活即数学。

(二)突显学生意识
以教师为主导.充分发挥学生的主体作用.在教学活动中, 让学生亲自操作多媒体进行探 究, 亲自体验多种方法在解决问题时产生的优劣比较, 让学生从知识的被动接受转变为主动 的参与者和积极的探索者。 教师尊重学生个性, 以积极的心态和宽容的胸怀去接受个体间的 差异。 一切教学活动都应针对不同学生提供多种选择, 为不同水平的学生设置不同层次的问 题,打破“一把尺子量天下的做法”。

( 三)营造开放、平等气氛
“开放”就是实行民主教学。给学生思考的余地和交流的机会。让他们真正参与进来。 “平等”就是师生间平等, 学生间平等。 让每一位学生都能以积极的心态和舒畅的心情参与 学习活动.使其个性得以张扬。 可尝试“互换教学角色”的课堂模式。 安排一定课时.让学生 在课堂展示和讲解其课外习作, 教师在场提问或点评。 这一种形式的课堂组织形式打破以往 的模式,在一定程度上将大大调动学生的参与积极性,提供其张扬个性的舞台。

温州中学 李芳 2006-08


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