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正余弦函数的定义与诱导公式


美博教育一对一讲义
教师: 课 题 学生: 日期: 星期: 时段: 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念 2、会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式 1.正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号;会利用单位圆求三角函数 值; 2.掌握诱导公式,包括推导、记忆、应用(求值、化简等) ; 理解记忆法 学习内容与过程

教师分析与批改

学习目标与分析

学习重点

学习方法

1、单位圆 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆。 单位长:可以是 1cm、1m、1km、1 光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α ,使角α 的顶点与原点重合,始 边与 x 轴正半轴重合,终边与单位圆交于点 P(u,v),则交点 P 的纵坐标 v 叫作角 α 的正弦函数,记作 v=sinα ; 点 P 的横坐标 u 叫作角α 的余弦函数,记作 u=cos y α α . 通常,用 x 表示自变量,用 x 表示角的大小,用 y 表示函数值,因此P(a,b) 定义任意角的三角函数 y=sinx 和 y=cosx,定义域为 R,值域为[-1,1]O 。
x

设点 P(a,b)是角α 终边上除原点之外的任意一点,记 r ? a ? b
2

2

b a 则定义 sin ? ? , cos ? ? . 更具有一般性。 r r 3、三角函数值的符号 根据定义, 三角函数值的符号仅与点 P 的纵、 横坐标的符号有关。 sinα 在一、 二象限为正,三、四象限为负;cosα 在一、四象限为正,二、三象限为负.轴线角 的正余弦函数值也有符号。 4、单位圆与周期性

等与单位圆的交点, 说明: (1) 终边没变; 6 6 6 (2)交点没变; (3)交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变,余弦函 数值没变。即
sin(4? ? ) ? sin(2? ? ) ? sin , cos(4? ? ) ? cos(2? ? ) ? cos . 6 6 6 6 6 6 从而说明终边相同的角的正弦函数值相等,终边相同的角的余弦函数值相等。

在单位圆中找到角

?

, 2? ?

?

, 4? ?

?

?

?

?

?

?

?

即 sin(2k? ? x) ? sin x, k ? Z .cos(2k? ? x) ? cos x, k ? Z . 说明:对于任意一个角 x,每增加 2? 的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值 均不变。所以,正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随 自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。 特别指出, 周期性不是三

角函数特有的,一般函数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。 2? 是
y ? sin x, x ? R 的周期,则 2k? , k ? Z , k ? 0 都是它的周期,并且它的所有周期中有

一个最小的正数 2? ,称 2? 为它的最小正周期。同理 2? 也是 y ? cos x, x ? R 的最小 正周期。有的周期函数没有最小正周期,如 f ( x) ? 2, x ? R. 任意一个正数都是它的 周期,但没有一个最小的正数。 周期函数的严格定义:一般地,对于函数 f ( x) ,如果存在非零常数 T ,对定义 域内的任意一个 x 值,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为周期函数, T 为它的一个 周期。 5.诱导公式 1、角 ? 与 ?? 的正、余弦函数关系
sin(?? ) ? ? sin ? ,cos(?? ) ? cos ? .
y P (x,y) o y P (x,y) o P1 (x,-y) y P1 (-y, x) M1 o M P (x,y) x x P1 (-x,-y) P2 (-x,y) x

2、角 ? 与 ? ? ? 的正、余弦函数关系
sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? . sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? .

3、角 ? 与 ? ? ? 的正、余弦函数关系
sin(? ? ? ) ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? .

也可以由 1、2 两组公式推出
sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) ? ?(? sin ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? .

4、角 ? 与

?
2

? ? 的正、余弦函数关系

sin(? ? ) ? cos ? , cos(? ? ) ? ? sin ? . 2 2

?

?

y M1

P1 (y, x) P (x,y)

5、角 ? 与

?

sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? . 2 2 6、任意角 ? 的正、余弦函数的诱导公式 (1) 2k? ? ?
sin(2k? ? ? ) ? sin ? ,cos(2k? ? ? ) ? cos ?.(k ? Z )

?

2

? ? 的正、余弦函数关系

?

o y=x

M

x

(2) ??
sin(?? ) ? ? sin ? ,cos(?? ) ? cos ? .

(3) 2? ? ?
sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ,cos(2? ? ? ) ? cos ?

(4) ? ? ?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? . sin(? ? ? ) ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? .

(5)

?
2

??

sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? ? sin ? . 2 2 sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? . 2 2 3? (6) ?? 2 3? 3? sin( ? ? ) ? ? cos ? ,cos( ? ? ) ? sin ? . 2 2 3? 3? sin( ? ? ) ? ? cos ? ,cos( ? ? ) ? ? sin ? . 2 2 “函数名不变,符号看象限” 。即 2k? ? ? 、 2? ? ? 、 ?? 、 ? ? ? 记忆规律: 它们的正、余弦函数值等于 ? 的同名三角函数值,加上把 ? 看成为锐角时,对应的 三角函数值的符号。如把 ? 看成锐角时, 2? ? ? 终边在第四象限,其余弦值为正,

?

?

?

?

函数名称不变,所以 cos(2? ? ? ) ? cos ?

?

2 数值等于 ? 的“余”名三角函数值,加上把 ? 看成为锐角时,对应的三角函数值的符号。 “余”

?? ,

3? “函数名改变,符号看象限” 。即它们的正、余弦函 ? ? 记忆规律: 2

名: “正则余,余则正” 。如把 ? 看成锐角时,

?

负,函数名称改变,所以 cos( ? ? ) ? ? sin ? 。 2 7、诱导公式的作用 ? (1)可把任意角的三角函数值转化为 0 ~ 的三角函数值求出。一般地:负角 2 ? 化正角 ( ?? ) , 再化成为 0 ~ 2?( 2k? ? ? ) , 再化成为 0 ~ 求出。 第二象限用 ? ? ? , 2 第三象限用 ? ? ? ,第四象限用 2? ? ? .

?

2

? ? 终边在第二象限,其余弦值为

角 函数 正弦 余弦 正切

2k? ? ?
sin ?

? ??
? sin ?

??
? sin ?

? ??
sin ?

?
2

??

?
2

??

cos?
sin ?

cos?
? sin ?

cos?
tan ?

? cos?
tan ?

cos?
? tan?

? cos?
? tan?

/

/

六组诱导公式统一为“

k? , ? ? (k ? Z ) ” 2

记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限. .

5.同角三角函数基本关系: ; sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 (平方和关系)
tan ? ? sin ? (商数关系). cos ?

1、下列各式不正确的是



) B.cos(-α +β )=-cos(α -β ) D.cos(-α -β )=cos(α +β )

A.sin(α +180°)=-sinα C. sin(-α -360°)=-sinα

2、若 sin(π +α )+sin(-α )=-m,则 sin(3π +α )+2sin(2π -α )等 于( ) B.- 3 m 2 C. 2 m 3 D. 3 m 2

2 A.- m 3

? 19 ? 3、 sin? ? ? ? 的值等于( ? 6 ?


1 2
3 2
3 2

A.

1 2

B.

?

C.

D. (

?

4、如果 | cos x |? cos(? x ? ? ). 则 x 的取值范围是 A. [? B. (



?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]

(k ? Z )

?

3 ? 2k? , ? ? 2k? ) 2 2

(k ? Z )
(k ? Z )
(k ? Z )

? 3 C. [ ? 2k? , ? ? 2k? ] 2 2
D. (?? ? 2k? , ? ? 2k? )

5.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b tan x ? 1 ,满足 f (5) ? 7. 则 f (?5) 的值为( A.5 6、sin B.-5 C.6 D.-6



4? 5? 25? ·cos ·tan 的值是( ) 3 4 6 3 3 3 A.- B. C.- 4 4 4

D.

3 4

7.设 tan1234 ? ? a, 那么 sin(?206 ?) ? cos(?206 ?) 的值为( A.
1? a 1? a2

) D.
1? a 1? a2





B.-

1? a 1? a2

C.

a ?1 1? a2

8.若 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ,则 ? 的取值集合为( 2 A. {? | ? ? 2k? ? C. {? | ? ? k?

?

)





?

4

k ? Z}

B. {? | ? ? 2k? ? D. {? | ? ? k? ?

?
4

k ? Z} k ? Z}

k ? Z}

?

2

9.求值:sin160°cos160°(tan340°+cot340°)=



10.若 sin(125°-α )=

12 ,则 sin(α +55°)= 13



11.cos

π 2π 3π 4π 5π 6π +cos +cos +cos +cos +cos = 7 7 7 7 7 7



12.已知 sin(? ? ? ) ? 1, 则 sin(2? ? ? ) ? sin(2? ? 3? ) ?

.

13、已知 tan(? ? ? ) ? 3 ,



2 cos(? ? a) ? 3 sin(? ? a) 的值. 4 cos(?a) ? sin(2? ? a)

14、若 cos α = ,α 是第四象限角,求
3

2

sin(? ? 2? ) ? sin( ?? ? 3? ) cos(? ? 3? ) cos(? ? ? ) ? cos( ?? ? ? ) cos(? ? 4? )

的值.

1 ? cos ? x , ( x ? ) ? ( x ? 0) ?sin ? x, ? 2 15、设 f ( x) ? ? 和 g ( x) ? ? ( x ? 0) 1 ? f ( x ? 1) ? 1, ? g ( x ? 1) ? 1, (x ? ) ? ? 2

1 1 5 3 求 g ( ) ? f ( ) ? g ( ) ? f ( ) 的值. 4 3 6 4

16.设 f ( x) 满足 f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4 sin x ? cos x

(| x |?

?
2

),

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)求 f ( x) 的最大值.

《诱导公式》参考答案 一、选择题 ABAC 二、填空题 9.1. 三、解答题 13、7. 14、
5 . 2

BABC 10、
12 . 13

11、0.

12、0

1 2 15、 g ( ) ? , 4 2

5 3 1 2 g( ) ? ? 1, f ( ) ? sin(? ? ) ? 1, 6 2 3 3

3 ? f ( ) ? sin(? ) ? 1, 4 4

故原式=3.

16、解析: (1)由已知等式
f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4sin x ? cos x

① ②

得 f (sin x) ? 3 f (? sin x) ? ?4 sin x cos x 由3 ? ①-②,得 8 f (sin x) ? 16 sin x ? cos x , 故 f ( x) ? 2 x 1 ? x 2 .

(2)对 0 ? x ? 1 ,将函数 f ( x) ? 2 x 1 ? x 2 的解析式变形,得
1 1 f ( x) ? 2 x 2 (1 ? x 2 ) ? 2 ? x 4 ? x 2 = 2 ?( x 2 ? ) 2 ? , 2 4

当x?

2 时, f max ? 1. 2


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