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高一下学期数列专题单元测试(人教版必修五附有答案)


高一下学期数列专题单元测试
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2011 是等差数列:1,4,7,10,?的第几项( (A)669 (B)670 (C)671 (D)672 ) )

2.数列{an}满足 an=4an-1+3,a1=0,则此数列的第 5 项是(

(A)15 (B)255 (C)20 (D)8 )

3.等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 为( (A)4 (B)
3 2

(C)

16 9

(D)2 )

4.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20=( (A)-1 (C)3 (B)1 (D)7

5.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6=( (A)40 (C)43 (B)42 (D)45

)

6.记等差数列的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d=( (A)2 (B)3 (C)6 (D)7



7.等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数 列的前 10 项之和是( (A)90 (B)100 ) (C)145 (D)190 )

8.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则 a101 的值为( (A)49 (B)50 (C)51
-1-

(D)52

9.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一” ,如 (1101)2 表示二进制的数,将它转化成十进制的形式是 1×2 +1×2 +0× 2 +1×2 =13,那么将二进制数 11???1 转换成十进制数的形式是( ?
16位

3

2

1

0



(A)2 -2 (C)2 -2
16

17

(B)2 -1 (D)2 -1 )
15

16

10.在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则 a4+a10=( (A)45 (B)50 (C)75 (D)60

11. (2011· 江西高考) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: n+Sm=Sn+m,且 a1=1, S 那么 a10=( (A)1 ) (B)9 (C)10 (D)55
2n

12.等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,?,且 a5·a2n-5=2 (n≥3),则当 n≥1 时, log2a1+log2a3+?+log2a2n-1=( (A)n(2n-1) (C)n
2


2

(B)(n+1) (D)(n-1)

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案 填在题中的横线上) 13.等差数列{an}前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,则它的前 3m 项的 和 为______. 14.(2011·广东高考)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列 的公比 q=______. 15.两个等差数列{an},{bn},
a a1 ? a 2 ??? a n 7n ? 2 ,则 5 ? ______. ? b1 ? b2 ??? bn n ?3 b5
-2-

16.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=_____. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知数列{an}是等差数列,a2=3,a5=6,求数列{an}的通项公式 与前 n 项的和 Mn.

18.(12 分) (2011·铁岭高二检测)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

19. (12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 数列{bn}中, 1=a1,bn=an-an-1 n≥2) b ( , 若 an+Sn=n,cn=an-1. (1)求证:数列{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

20.(12 分)如果有穷数列 a1,a2,a3,?,am(m 为正整数)满足条件 a1=am,a2=am-1,?,am=a1,即 ai=am-i+1(i=1,2,?,m),我们称其为“对称数列”. 例如,数列 1,2,5,2,1 与数列 8,4,2,2,4,8 都是“对称数列”.
-3-

(1) n}是 7 项的 设{b “对称数列”其中 b1,b2,b3,b4 是等差数列, b1=2,b4=11. , 且 依次写出{bn}的每一项; (2)设{cn}是 49 项的“对称数列” ,其中 c25,c26,?,c49 是首项为 1,公比 为 2 的等比数列,求{cn}各项的和 S.

21.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,Sn ?

1 n ? 3 ? 1? ( n ? N* ),等差数列{bn} 2

中,bn>0( n ? N* ),且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an+bn}的前 n 项和 Tn.

22.(12 分)某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电 器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为 2 150 元.第一种付款方 式:购买当天先付 150 元,以后每月这一天都交付 200 元,并加付欠款利息, 每月利息按复利计算,月利率为 1%;第二种付款方式:购买当天先付 150 元,以后每个月付款一次,10 个月付清,每月付款金额相同,每月利息按 复利计算,月利率 1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件 家用电器总共所付金额.

-4-

高一下学期数列专题单元测试答案解析 1.【解析】选 C.∵2011=1+(n-1)×(4-1), ∴n=671. 2.【解析】选 B.由 an=4an-1+3,a1=0, 依次求得 a2=3,a3=15,a4=63,a5=255. 3. 【解析】 A.等比数列{an}中, 3,a6,a9 也成等比数列, 6 =a3a9,∴a3=4. 选 a ∴a 4.【解析】选 B.a1+a3+a5=105,∴a3=35,同理 a4=33, ∴d=-2,a1=39,∴a20=a1+19d=1. 5.【解析】选 B.设公差为 d,由 a1=2,a2+a3=13,得 d=3,则 a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d) =(a1+a2+a3)+9d=15+27=42. 6.【解析】选 B.S4-S2=a3+a4=20-4=16,∴a3+a4-S2=(a3-a1) +(a4-a2)=4d=16-4=12,∴d=3. 7.【解析】选 B.设公差为 d,∴(1+d) =1×(1+4d), ∵d≠0,∴d=2,从而 S10=100. 8.【解析】选 D.∵2an+1-2an=1,∴ a n ?1 ? a n ? , ∴数列{an}是首项 a1=2,公差 d ? 的等差数列, ∴ a101 ? 2 ? ?101 ? 1? ? 52 . 9.【解析】选 B.形式为:1×2 +1×2 +1×2 +?+1×2 +1×2 =2 -1. 10. 解析】 B.由已知 a1+a2+a3+a11+a12+a13=150,∴3(a1+a13)=150,∴a1+a13=50, 【 选 ∴a4+a10=a1+a13=50. 11.【解析】选 A.∵Sn+Sm=Sn+m,∴令 n=9,m=1,即得 S9+S1=S10,即 S1=S10-S9=a10,
-515 14 13 1 0 16 2 2

1 2

1 2

1 2

又∵S1=a1,∴a10=1. 12.【解析】选 C.a5·a2n-5=2 (n≥3), ∴an =2 ,an>0, ∴an=2 ,log2a1+log2a3+?+log2a2n-1 =1+3+?+(2n-1)=n . 13.【解析】由题意可知 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列,2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m ∴S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 14.【解析】由 a4-a3=4 得 a2q -a2q=4,即 2q -2q=4,解得 q=2 或 q=-1(由数 列是递增数列,舍去). 15.【解析】设两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 An,Bn.则
9 ? a1 ? a 9 ? a5 A 7 ? 9 ? 2 65 2 ? ? 9 ? ? . b5 9 ? b1 ? b9 ? B9 9?3 12 2
2 2 2 n 2 2n 2n

16.【解析】∵a1=2,an+1=an+(n+1), ∴an=an-1+n,an-1=an-2+(n-1), an-2=an-3+(n-2),?,a3=a2+3,a2=a1+2,a1=2=1+1
n ? n ? 1? n2 n ?1 ? ? ?1. 将以上各式相加得: a n ? [n ? ? n ? 1? ??? 2 ? 1] ? 1 ? 2 2 2

17.【解析】设{an}的公差为 d, ∵a2=3,a5=6,∴ ? ∴a1=2,d=1, ∴an=2+(n-1)=n+1.
-6-

?a 1 ? d ? 3 , ?a1 ? 4d ? 6

n ? n ? 1? n 2 ? 3n M n ? na1 ? d? . 2 2

18.【解析】 (1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q )由于 a1≠0,故 2q +q=0,又 q≠0,从而 q ? ? . (2)由已知得 a1-a1( ? ) =3,
? 1? 4[1 ? ? ? ? ] ? 2 ? ? 8 1? ? 1) . n [ ( ] 从而 Sn ? 1 3 2 1? ? ) ( 2
n

2

2

1 2

1 2

2

故 a1=4

19.【解析】 (1)∵a1=S1,an+Sn=n ①, ∴a1+S1=1,得 a1 ? . 又 an+1+Sn+1=n+1 ①②两式相减得 2(an+1-1)=an-1, 即
a n ?1 ? 1 1 c 1 ? ,也即 n ?1 ? , a n ?1 2 cn 2
1 2

②,

故数列{cn}是等比数列. (2)∵ c1 ? a1 ? 1 ? ? , ∴ cn ? ?
1 1 , a n ? cn ? 1 ? 1 ? n n 2 2 1 a n ?1 ? 1 ? n ?1 . 2 1 2

,

故当 n≥2 时, b n ? a n ? a n ?1 ? 又 b1 ? a1 ? ,即 b n ?
1 2
1 2n

1 1 1 ? n ? n n ?1 2 2 2

.

.

20.【解析】 (1)设数列{bn}的公差为 d,则 b4=b1+3d=2+3d=11,解得 d=3, ∴数列{bn}为 2,5,8,11,8,5,2. (2)S=c1+c2+?+c49 =2(c25+c26+?+c49)-c25
-7-

=2(1+2+2 +?+2 )-1 =2(2 -1)-1=2 -3. 21.【解析】 (1)a1=1,an=Sn-Sn-1=3 ,n>1, ∴an=3 ( n ? N* ),∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, ∴a1=1,a2=3,a3=9,在等差数列{bn}中, ∵b1+b2+b3=15,∴b2=5. 又因 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,设等差数列{bn}的公差为 d, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0( n ? N* ), ∴舍去 d=-10,取 d=2,∴b1=3. ∴bn=2n+1( n ? N* ). (2)由(1)知 ∴Tn=a1+b1+a2+b2+?+an+bn =(a1+a2+?+an)+(b1+b2+?+bn)
? 1 ? 3n n ? 3 ? 2n ? 1? ? 1? 3 2
n-1 n-1 25 26

2

24

3n 1 ? ? n 2 ? 2n ? . 2 2

22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型,第二种付款方式是等比 数列模型,分别计算出实际共付金额,再比较得出结论. 【解析】第一种方式:购买时先付 150 元,欠 2 000 元,按要求知 10 次付清, 则 第 1 次付款金额为 a1=200+2 000×0.01=220(元);
-8-

第 2 次付款金额为 a2=200+(2 000-200)×0.01=218(元) ?? 第 n 次付款金额为 an=200+ 2 000-(n-1)×200] [ ×0.01=220-(n-1)×2(元). 不难看出每次所付款金额顺次构成以 220 为首项,-2 为公差的等差数列,所 以 10 次付款总金额为 S10 ? 10 ? 220 ? 元. 第二种方式:购买时先付 150 元,欠 2 000 元,则 10 个月后增值为 2 000× (1+0.01) =2 000×(1.01) (元). 设每月付款 x 元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和 分别是(1.01) x,(1.01) x,?,x,其构成等比数列,
1 ? ?1.01? 和为 S10 ? x ? 1 ? 1.01
10

10 ? 9 ? ? ?2 ? ? 2 110 2

(元),实际共付 2 260

10

10

9

8

.

应有 S10 ? 2 000 ? ?1.01?10 , 所以 x≈211.2,每月应付 211.2 元,10 次付款总金额为 2 112 元,实际共付 2 262 元,所以第一种方式更省钱. 【方法技巧】分清类型解数列应用题 解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是 等比数列问题,是求 an 还是求 Sn,特别要弄清项数为多少,试题中常见的 数列类型有: (1)构造等差、等比数列模型,然后再应用数列的通项公式及求和公式求 解; (2)先求出连续的几项,再归纳出 an,然后用数列知识求解.
-9-


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