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2012年高中数学竞赛试题及解答


2012 年高中数学竞赛答案
一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1 B1C 1 D1 E 1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成一个正六边形 A2 B 2 C 2 D 2 E 2 F2 ,
B1 A2 F2 A1

如此继续下去 ,则所有这些六边形的面积

和 是 .
B2

F1

E2

2. 已 知 正 整 数 a1 , a 2 , ? , a1 0 满 足 :
C1

C2

D2

E1

aj ai

?

3 2

,1 ? i ? j ? 1 0

, 则 a1 0 的 最 小 可 能 值
D1



.
17

3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ?

, co t ? ? co t ? ? co t ? ? ?

4 5

, cot ? cot ? .
A D

6 17 ? co t ? co t ? ? co t ? co t ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? ? 5

??

4.已知关于 x 的方程 l g ? kx ? ? 2 l g? x ? 1 仅有一个实数 ? 解,则实数 k 的取值范围是 . 5.如图, ? A E F 是边长为 x 的正方形 A B C D 的内接三角 形 , 已 知 ? AEF ? 90? , AE ? a, EF ? b, a ? b , 则
x ?

F

.

B

E

C

3 1 3 6 . 方 程 2 m ? 3 n ? ?1 n ? 2 m ? 的 非 负 整 数 解

?m, n ? ?

.

7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一 个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率 是 .(用数字作答) 8 . 数 列 ? a n ? 定 义 如 下 : a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ?
am ? 2 ? 2011 2012
2 ? n ? 1? n?2 a n ? 1? n n?2 a n , n ? 1, 2, ?

.若

,则正整数 m 的最小值为

.

1

二、解答题 9. (本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, A B ? x , B C ? 1 ,对 角线 AC 与 BD 的夹角 ? B O C ? 45 ? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h ( x ) . 求 h ( x ) 的表达式,并写出 x 的取值范围.
A D C

O B

10. (本题满分 14 分)给定实数 a ? 1 ,求函数 f ( x ) ? 最小值.

( a ? sin x )( 4 ? sin x ) 1 ? sin x



11. (本题满分 16 分)正实数 x , y , z 满足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: (1) xy ? yz ? zx ?
4 3



(2) x ? y ? z ? 2 .

2

12. (本题满分 16 分)给定整数 n ( ? 3) ,记 f ( n ) 为集合 ?1, 2, ? , 2 n ? 1? 的满足 如下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值: (a) 1 ? A , 2 n ? 1 ? A ; (b) A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同)元素的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 .

3

参考答案: 1、
9 3 4

2、92 4、 ? ? ? , 0 ? ? ? 4?
a
2

3、11 5、
2

a ? (a ? b)

2

6、 ? 3, 0 ? , ? 2, 2 ? 8、4025

7、

2 5

9.解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
OB ? OC
2 2

?

1 2

( AB ? BC ) ?
2 2

1 2

( x ? 1) .
2

① ???????(2 分)

在△OBC 中,由余弦定理
BC
2

? O B ? O C ? 2 O B ? O C cos ? B O C
2 2

, ② ③

所以 由①, ②得

OB ? OC ?
2 2

2O B ? O C ? 1 ,
x ?1
2

OB ?OC ?



2 2

???????(5 分) 所以
SA
B C D

? 4 S?

O B C

1 ? 4 ? O B ? O Ci n ? B O C s 2
x ?1
2

?

2OB ?OC ?



2 x ?1
2



AB ? h( x) ?



2 x ?1
2

所以

h(x) ?



??????? (10 分)

2x

由③可得, x 2 ? 1 ? 0 ,故 x ? 1 . 因为 O B 2 ? O C 2 ? 2 O B ? O C ,结合②,③可得
1 2 ( x ? 1) ? 2 ?
2

x ?1
2



2 2

解得(结合 x ? 1 )

1? x ?

2 ?1 .
4

综上所述, h ( x ) ? 10.解 f ( x ) ? 当1 ? a ?
7 3

x ?1
2

,1 ? x ? 2 ? 1 .
? 1 ? sin x ? 3( a ? 1) 1 ? sin x

???????(14 分)
?a?2

2x

( a ? sin x )( 4 ? sin x ) 1 ? sin x



时, 0 ? 3( a ? 1) ? 2 ,此时
f ( x ) ? 1 ? sin x ? 3( a ? 1) 1 ? sin x ? a ? 2 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2 ,
f m in ( x ) ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2

且当 sin x ? 3( a ? 1) ? 1 ?? ? ? 1, 1 ? ? 时不等式等号成立, 故
7 3



???????(6 分) 当a ? 时, 3( a ? 1) ? 2 ,此时“耐克”函数 y ? t ?
3( a ? 1) 2 3( a ? 1) t 5( a ? 1) 2

在 ? 0, 3( a ? 1) ? ?

内是递减,故此时
f m in ( x ) ? f (1) ? 2 ? ?a?2?



7 ? 2 3( a ? 1) ? a ? 2, 1 ? a ? ; ? 3 综上所述, f m in ( x ) ? ? ? 7 ? 5( a ? 1) , a ? . ? 2 3 ?

???????(14 分)

11.证 (1)记 t ?

xy ? yz ? zx 3

,由平均不等式
3 2 3

xyz ?

?

3

( xy )( yz )( zx )

?

? xy ? yz ? zx ? 2 ?? ? . 3 ? ?

???????(4 分)
于是 所以
2

4 ? 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9 t ? 3 t
3

2



? 3t ? 2 ? ? 3t 2

? 3t ? 2 ? ? 0 ,

而 3 t ? 3 t ? 2 ? 0 ,所以 3t ? 2 ? 0 ,即 t ?
x y? yz ?

2 3

,从而

4 z? x 3



???????(10 分)

(2)又因为
( x ? y ? z ) ? 3( xy ? yz ? zx ) ,
2

所以 故

(x ? y ? z) ? 4 ,
2

x? y?z? 2



???????(16 分)

5

12.解 (1)设集合 A ? ?1, 2, ? , 2 3 ? 1? ,且 A 满足(a)(b) 1 ? A , 7 ? A .由 , .则 于 ?1, m , 7 ? ? m ? 2, 3, ? , 6 ? 不满足(b) ,故 A ? 3 . 又 ?1, 2, 3, 7 ? , ?1, 2, 4, 7 ? , ?1, 2, 5, 7 ? , ?1, 2, 6, 7 ? , ?1, 3, 4, 7 ? , ?1, 3, 5, 7 ? , ?1, 3, 6, 7 ? , ,故 ?1, 4, 5, 7 ? , ?1, 4, 6, 7 ? , ?1, 5, 6, 7 ? 都不满足 (b)
A ? 4



而集合 ?1, 2, 4, 6, 7 ? 满足(a)(b) , ,所以 f (3) ? 5 . ???????(6 分) (2)首先证明
f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 2, n ? 3, 4, ? .



事实上,若 A ? ?1, 2, ? , 2 n ? 1? ,满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f ( n ) . 令 B ? A ? ? 2 n ? 1 ? 2, 2 n ? 1 ? 1? ,由于 2 n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ,故 B ? f ( n ) ? 2 . 又 2 n ?1 ? 2 ? 2(2 n ? 1), 2 n ?1 ? 1 ? 1 ? (2 n ?1 ? 2) ,所以,集合 B ? ?1, 2, ? , 2 n ? 1 ? 1? , 且 B 满足(a)(b) , .从而
f ( n ? 1) ? B ? f ( n ) ? 2 .

???????(10 分)

其次证明:
f (2 n ) ? f ( n ) ? n ? 1, n ? 3, 4, ? .



事实上,设 A ? ?1, 2, ? , 2 n ? 1? 满足(a)(b) , ,且 A 的元素个数为 f ( n ) .令
B ? A ? ? 2 ( 2 ? 1), 2 ( 2 ? 1), ? , 2 ( 2 ? 1), 2
n 2 n n n 2n

? 1? ,

由于

2(2 ? 1) ? 2 (2 ? 1) ? ? ? 2 (2 ? 1) ? 2
n 2 n n n

2n

?1,

所以 B ? ?1, 2, ? , 2 2 n ? 1? ,且 B ? f ( n ) ? n ? 1 .而
2
k ?1

(2 ? 1) ? 2 (2 ? 1) ? 2 (2 ? 1), k ? 0,1, ? , n ? 1 ,
n k n k n

2

2n

? 1 ? 2 (2 ? 1) ? (2 ? 1)
n n n



从而 B 满足(a)(b) , ,于是
f (2n) ? B ? f (n) ? n ? 1 .

???????(14 分)


由①,②得 反复利用②,③可得

f (2 n ? 1) ? f ( n ) ? n ? 3 .

6

f (100) ? f (50) ? 50 ? 1 ? f (25) ? 25 ? 1 ? 51 ? f (12) ? 12 ? 3 ? 77 ? f (6) ? 6 ? 1 ? 92 ? f (3) ? 3 ? 1 ? 99 ? 108 .

???????(16 分)

7


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