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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第三章3.4


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§3.4

学习要求
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1.学会应用不等式解决实际生活中的有关问题. 2.能应用一元二次不等式解决实际生活中的一些简单问题. 3.能应用均值不等式解决实际生活中的一些简单问题.

§3.4

学法指导 要正确理解应用题的含义可以从以下几个步骤入手: (1)略读识大意.应用题实际上是一篇说明文,一般文字比较多,信 息量比较大.这就需要快速浏览一遍,理解题目的大意:题目叙述 的是什么事,是什么问题(比如不等式问题,是求最值还是要解不等
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式得出结论等).条件是什么,求解的是什么,涉及哪些基本概念, 可以一边阅读一边写下主要内容,或者列表显示主要条件和要求的 结论. (2)细读抓关键.题目中关键词和重要语句往往是重要的信息所在, 将其辨析出来.是实现综合认知的出发点.因此,在略读以后还要 对题目进行逐字逐句地细读,弄清具体含义及各量之间的关系. (3)精读巧转换.领会题意的关键是“内部转化”,即把一个抽象的 内容转化为一个具体的内容,把符号转化为文字,把文字叙述转化 为符号或图表,总之,大脑要有灵活的转化思维.

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.4

1.设a,b是两个正数,则

2ab a+b

a+b ab ≤______≤________≤ 2

a2+b2 . 本 2 课 时 2.已知x,y是正数,如果xy是常数p,则x+y有最____值, 小
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2 p 大 且这个值是____;如果x+y是常数s,则xy有最____值,
12 s 且这个值是______. 4 a+m a < 3.若a>b>0,m>0,则 ___ ; b+m b a+m a > 若0<a<b,m>0,则 ___ . b+m b

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.4

4.解有关不等式应用题的步骤 (1)设未知数.用字母表示题中的未知数.
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(2)列不等式(组).找出题中的不等量关系,列出关于未知数 的不等式(组). (3)解不等式(组).运用不等式知识求解不等式(组),同时要注 意未知数在实际问题中的取值范围. (4)答.规范地写出答案.

研一研·问题探究、课堂更高效

§3.4

[问题情境] 生活中的许多实际问题,通过设未知数将其数学化后,可以应
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用不等式的知识加以解释.例如: 向一杯a克糖水中加入m克糖,糖水变得更甜了.你能把这一 现象用一个不等式表示出来吗?

研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 和不等式性质有关的应用题 问题

§3.4

一般情况下,建筑民用住宅时,民用住宅窗户的总面积

应小于该住宅的占地面积,而窗户的总面积与占地面积的比
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值越大,住宅的采光条件越好.同时增加相等的窗户面积和 占地面积,住宅的采光条件是变好了还是变差了? 提示 设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的 值,m表示窗户和占地所增加的面积的值,面积单位都相同, 只需比较增加相加面积前后窗户的总面积与占地面积的比值大 小,即可作出正确的判断.

研一研·问题探究、课堂更高效
解 由题意得0<a<b,m>0,则 a+m a ?a+m?b-a?b+m? m?b-a? - = = . b+m b b?b+m? b?b+m?
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§3.4

∵b>a>0,m>0, m?b-a? ∴b-a>0, >0. b?b+m? a+m a ∴ > . b+m b 即窗户和住宅的占地同时增加相等的面积,住宅的采光条件变 好了.

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探究点二 问题 和均值不等式有关的应用题

§3.4

某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费

为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运 费与总存储费用之和最小,则x= 20 吨.
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解析

设一年的总运费与总存储费用之和为y万元, ? 400? 400 则y= ×4+4x=4 ?x+ x ?≥160, x ? ? 400 当且仅当x= ,即x=20时取到最小. x

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探究点三 问题 和一元二次不等式有关的应用题

§3.4

汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段

距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析
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事故的一个重要因素.在一个限速 40 km/h 以内的弯道上,甲,乙两 辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现 场测得甲车的刹车距离略超过 12 m,乙车刹车距离略超过 10 m.又 知甲、乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之间分别有如下关 系: S 甲=0.1x+0.01x2,S 乙=0.05x+0.005x2. 问超速行驶谁应负主要责任?

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解 由题意列出不等式

§3.4

S甲=0.1x+0.01x2>12, S乙=0.05x+0.005x2>10.
分别求解,得
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x<-40,或x>30. x<-50,或x>40.
由于x>0,从而得x甲>30 km/h,x乙> 40 km/h. 经比较知乙车超过限速,应负主要责任.

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典型例题

§3.4

例1 甲乙两人同时从宿舍到教室,甲一半路程步行,一半路 程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步;如果两人步行、 跑步速度均相同,则谁先到教室?
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解 设路程为s,跑步速度为v1,步行速度为v2, s s s?v1+v2? t甲= + = 2v1 2v2 2v1v2 t乙 t乙 2s s= 2 ·1+ 2 ·2?t乙= v v , v1+v2
t甲 ?v1+v2?2 ?2 v1v2?2 ∴ = ≥ =1. 4v1v2 4v1v2 t乙 ∴t甲≥t乙,当且仅当v1=v2时“=”成立.

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由实际情况知v1>v2, ∴t甲 >t乙. ∴乙先到教室.

§3.4

小结 不等关系在现实生活和生产中有着广泛的应用.因此我
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们必须学会运用所学习的不等关系的有关知识分析解决有关实 际问题.若问题中涉及各个量之间的大小关系时,常用作差法 或作商法来比较大小.

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跟踪训练1 如图所示为某三岔路口交通环岛的 简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口 A,B,C的机动车辆数如图所示,图中x1,x2, x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA
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§3.4

的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段 中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则 ( C ) A.x1>x2>x3 B.x1>x3>x2 C.x2>x3>x1 D.x3>x2>x1

解析 ∵x1=50+(x3-55)=x3-5?x3>x1, x2=30+(x1-20)=x1+10?x2>x1, x3=30+(x2-35)=x2-5?x2>x3,
∴x2>x3>x1.

( (

(

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例2 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,

§3.4

要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙
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对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧墙 的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m, 设利用的旧墙长 度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小 总费用.

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解 (1)设矩形的另一边长为a m,

§3.4

则y=45x+180(x-2)+180×2a =225x+360a-360. 360 由已知xa=360,得a= , x 3602 所以y=225x+ -360(x>2). x 3602 (2)∵x>0,∴225x+ ≥2 225×3602=10 800. x 3602 ∴y=225x+ -360≥10 440. x 3602 当且仅当 225x= x 时,等号成立.即当 x=24 m,修建围墙的
总费用最小,最小总费用是 10 440 元.

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§3.4

小结
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不等式的应用性问题,最值问题是重点,要读懂题意、

理解实际背景、领悟数学实质,抽象归纳出其中的数量关系, 建立数学模型,常用均值不等式求解.

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§3.4

跟踪训练2 某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池,并且在 四周要修建出宽为2 m和4 m的小路(如图所示).则占地面积的最 小值为
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648 m2.

392 解析 设游泳池的长为x m,则游泳池的宽为 m, x

又设占地面积为 y m2,依题意, ?392 ? ? 784? 得 y=(x+8)? x +4?=424+4?x+ x ? ? ? ? ? ≥424+224=648. 784 当且仅当 x= x ,即 x=28 时,取“=” .

研一研·问题探究、课堂更高效

§3.4

例3 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定, 农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分 点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市 场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定
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x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的 78%.

解 设税率调低后的“税收总收入”为y元. y=2 400 m(1+2x%)· (8-x)% 12 =-25 m(x2+42x-400)(0<x≤8).

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依题意,y≥2 400 m×8%×78% 12 即:- m(x2+42x-400)≥2 400m×8%×78% 25 整理得x2+42x-88≤0,
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§3.4

解得-44≤x≤2. 根据x的实际意义,知0<x≤8, 所以0<x≤2为所求. 小结 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清 题意,准确找出其中不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定 答案时应注意变量具有的“实际含义”.

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§3.4

跟踪训练3 某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为 了减小耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每 5 年的耕地损失可减少 t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项 2
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税收一年不少于9 000万元,t应在什么范围内变动?

解 由题意可列不等式如下: ? 5? ?20- t?· 000· t%≥9 000?3≤t≤5. 2 ? 24 ? 所以t%应控制在3%到5%范围内.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.4

1.某种田专业户,2012年粮食产量为50吨.由于实施了科学 种田,该专业户计划到2014年粮食产量不低于60.5吨,他
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的粮食产量的年平均增长率最低不能低于 A.5% B.10% C.15% D.20%

( B )

解析 设他的粮食产量的年平均增长率最低不能低于x,由 题意可得50(1+x)2≥60.5,解得x≥0.1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.4

2.某出版社,如果以每本2.50元的价格发行一种图书,可 发行80 000本.如果一本书的定价每升高0.1元,发行量 就减少2 000本,那么要使收入不低于20 0000元,这种 图书的定价范围是
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( C ) C.[2.5,4] D.[3,4]

A.[2,3]

B.[2.5,3.5]

解析

设最高定价可定为x元.

? 由题意得?80 ? ?

? x-2.50 ? 000- 0.1 ×2 000?x≥20 0000, ? 解得2.5≤x≤4.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.4

3.甲、乙两人完成某项工作,甲单独完成比乙单独完成快 15天.如果甲单独工作10天后,再由乙单独工作15天, 2 所完成的工作量不少于这项工作总量的 .则甲单独工作 3 30 天. 最多需要

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解析 设甲单独工作最多需要x(x>0)天能完成任务,则乙单 独完成需(x+15)天,由题意可得 10 15 2 + ≥ ,化简得2x2-45x-450≤0. x x+15 3
解得0<x≤30,∴x=30. 所以甲单独工作最多需要30天能完成任务.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§3.4

4.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,其中一条侧棱长为1,另 两条侧棱长的和为4,则此三棱锥体积的最大值是
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2 3



解析 设一条侧棱长为x,另一条长为4-x, 11 1?x+4-x?2 2 ? 则V=3·x(4-x)≤6? = . ? 2 2 ? 3 ? ? 当且仅当x=2时“=”成立.

§3.4

1.解有关不等式的实际问题时,若文字较长,数据较多,要学 会正确地梳理数据,准确地找出数据之间的主要联系,建立 本 课 能反映问题实质的数学模型,再利用不等式求解. 时 栏 目 2.解不等式实际应用题的思路 开 建模 解题?利用不等式? 实际问题 ―――――――――→ 数学问题 ――――――→ 关 审题、抽象、转化 推理运算 检验 数学问题答案 ――→ 实际问题结论


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