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二次函数的对称性


1.2.8

二次函数的图象和性质——对称性

学习目标 1.能说出奇函数和偶函数的定义; 2.会判断具体函数的奇偶性; 3.会分析二次函数图象的对称性; 4.能求一个二次函数在闭区间上的最 值.

重点难点 重点:知道奇函数、偶函数的定义,会 判断函数的奇偶性,能运用奇偶性解决 简单的问题. 难点:二次函数的区间最值问

题.

1.函数的奇偶性 (1)如果对一切使 F(x)有定义的 x,F(-x)也有定义,并且 F(-x)=F(x)成立,则称 F(x)为 偶函数; (2)如果对一切使 F(x)有定义的 x,F(-x)也有定义,并且 F(-x)=-F(x)成立,则称 F(x) 为奇函数. 预习交流 1 奇函数和偶函数的定义域具有什么特点? 提示:奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提条件.若 一个函数的定义域不关于原点对称,则它一定是非奇非偶函数. 预习交流 2 如果一个函数是奇函数,且在 x=0 时有定义,那么能否求得 f(0)的值? 提示:必有 f(0)=0.因为 f(-0)=-f(0)=f(0),从而 f(0)=0. 预习交流 3 是否存在既是奇函数又是偶函数的函数? 提示:存在.所有定义域关于原点对称,解析式经化简后为零的函数既是奇函数又是偶 函数,例如:y= 1-x2+ x2-1,y= 9-x2+ x2-9等就是既奇又偶函数. 2.二次函数图象的对称性 b (1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线 x=- ; 2a (2)如果函数 f(x)对任意的 h 都有 f(s+h)=f(s-h),那么 f(x)的图象关于直线 x=s 对称. 预习交流 4 二次函数图象的对称轴与二次函数的单调性、最值有何关系? 提示:二次函数的单调性与对称轴有关,在对称轴两侧的单调性恰好相反;二次函数的 最值恰好在对称轴处取得,若开口向上,则在对称轴处取最小值,反之取最大值.

一、函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+x; (2)f(x)=|x+2|+|x-2|; (3)f(x)=x2+ x; 2x2+2x (4)f(x)= ; x+1 (5)f(x)= x2-4+ 4-x2. 思路分析:根据定义判断函数的奇偶性时,首先看定义域是否关于原点对称,即定义域
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关于原点对称是函数具有奇偶性的前提;然后判断表达式 f(-x)与 f(x)之间的关系,若总满足 f(-x)=-f(x),则为奇函数,若总满足 f(-x)=f(x),则为偶函数. 解:(1)函数定义域为 R,且 f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x),所以该函 数是奇函数; (2)函数定义域为 R,且 f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以该函数是偶 函数; (3)函数定义域是{x|x≥0},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数; (4)函数定义域是{x|x≠-1},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数; ? 2 ?x -4≥0, (5)要使函数有意义,需满足? 解得 x=± 2,即函数的定义域是{2,-2},这时 2 ? ?4-x ≥0, f(x)=0. 所以 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),因此该函数既是奇函数又是偶函数. 判断下列函数的奇偶性: 2x (1)f(x)= 2 ; x +3 x4 (2)f(x)= 2 ; x -1 (3)f(x)=(x2-1) x+1. -2x -2x 解:(1)函数定义域为 R,且 f(-x)= = =-f(x).故该函数是奇函数; (-x)2+3 x2+3 (-x)4 x4 (2)函数定义域为{x|x≠± 1},关于原点对称,且 f(-x)= = 2 =f(x).故 f(x)是 2 (-x) -1 x -1 偶函数. (3)函数定义域是{x|x≥-1},不关于原点对称,所以是非奇非偶函数. 1.判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: (1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于 原点对称,则应进一步判断 f(-x)是否等于± f(x),或判断 f(-x)± f(x)是否等于 0,从而确定奇偶 性.注意当解析式中含有参数时,要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定. (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于 y 轴对称,则 函数为偶函数. (3)还有如下性质可判定函数奇偶性: 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶) 数个奇函数的积、 商(分母不为零)为奇(偶)函数; 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. (注: 利用以上结论时要注意各函数的定义域) 2.判断函数奇偶性前,不宜盲目化简函数解析式,若必须化简,要在定义域的限制之下 进行,否则很容易影响判断,得到错误结果. 二、函数奇偶性的简单应用 (1)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( ). A.-3 B.-1 C.1 D.3 (2)若函数 f(x)=x3+3x+a 是奇函数,则实数 a=__________. 思路分析:对于(1),可根据 f(x)是奇函数得 f(1)=-f(-1),而 f(-1)的值可代入解析式求 值;对于(2),可按照奇函数的定义求解.也可由 f(0)=0 求得 a 的值. 答案:(1)A (2)0 解析:(1)因为当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, 所以 f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3. 又 f(x)是奇函数,所以 f(1)=-f(-1)=-3,选 A. (2)(方法一)因为 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 都成立,
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即-x3-3x+a=-x3-3x-a 对任意 x∈R 都成立. 所以 a=0. (方法二)因为 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义. 必有 f(0)=0,即 03+3×0+a=0,解得 a=0. 1.已知 f(x)是偶函数,且 f(4)=5,那么 f(4)+f(-4)的值为( ). A.5 B.10 C.8 D.不确定 答案:B 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(4)+f(-4)=f(4)+f(4)=2f(4)=2×5=10. 2.若函数 y=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a=( ). A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案:C 解析:因为 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x)对任意 x∈R 都成立, 即(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a). 整理得 2(a-1)x=0, ∵x∈R,∴必有 a-1=0,即 a=1. 1.利用奇偶性求值时,主要根据 f(x)与 f(-x)的关系将未知转化为已知求 解,若需要借助解析式求值,代入自变量值时,该自变量值必须在该解析式对应的区间上, 否则不能代入求值,而应转化. 2.已知函数是奇函数或偶函数,求解析式中参数值时,通常有两种办法:一是利用奇、 偶函数的定义建立关于参数的方程求解,二是采用特殊值法,尤其是在 x=0 处有定义的奇函 数,还可根据 f(0)=0 求解. 三、二次函数的区间最值问题 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)用 a 表示出函数 f(x)在区间[-5,5]上的最值. 思路分析:对于(1),可将 a=-1 代入 f(x)解析式,然后配方,写出最值;对于(2),由于 a 的值不确定,f(x)图象的对称轴不确定,那么 f(x)在[-5,5]上的单调性就不确定,因此要对 a 的值分类讨论才能求出相应的最值. 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 因为 1∈[-5,5],故当 x=1 时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=1; 当 x=-5 时,f(x)取得最大值, f(x)max=f(-5)=(-5-1)2+1=37. (2)函数 f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2 的图象开口向上,对称轴为 x=-a. ①当-a≤-5,即 a≥5 时,函数在区间[-5,5]上递增,所以 f(x)max=f(5)=27+10a, f(x)min=f(-5)=27-10a; ②当-5<-a≤0,即 0≤a<5 时,函数图象如图(1)所示. 由图象可得 f(x)min=f(-a)=2-a2, f(x)max=f(5)=27+10a; ③当 0<-a<5,即-5<a<0 时,函数图象如图(2)所示,由图象可得 f(x)max=f(-5)=27 -10a, f(x)min=f(-a)=2-a2;

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④当-a≥5, a≤-5 时, 即 函数在区间[-5,5]上递减, 所以 f(x)min=f(5)=27+10a, max f(x) =f(-5)=27-10a. 求函数 f(x)=-x2-mx+6(m<0)在区间[0,2]上的最大值. m m2 解:f(x)=-x2-mx+6=-?x+ 2 ?2+ +6, ? ? 4 m 该函数曲线开口向下,对称轴为直线 x=- . 2 m (1)当- >2,即 m<-4 时,f(x)在[0,2]上单调递增,其最大值为 f(2)=2-2m. 2 m m2 m (2)当 0<- ≤2,即-4≤m<0 时,f(x)在[0,2]上的最大值为 f?- 2 ?= +6. ? ? 4 2 1.对于定义域为 R 的二次函数,其最值和值域可通过配方法求解. 2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非 R)内的最值或值域,则以对称轴是否在该区间内为 依据分类讨论: (1)若对称轴不在所求区间内,则可根据单调性求值域; (2)若对称轴在所求区间内,则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得, 比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域. 1.下列函数为奇函数的是( ). A.y=|x| B.y=3-x 1 C.y= D.y=-x2+4 x 答案:C 解析:A 项和 D 项中的函数为偶函数,B 项中的函数是非奇非偶函数,选 C. 2.对于定义在 R 上的函数 f(x),给出下列判断: (1)若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)是偶函数; (2)若 f(-2)≠f(2),则函数 f(x)不是偶函数; (3)若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)不是奇函数. 其中正确的判断的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析: (1)仅有 f(-2)=f(2)不足以确定函数的奇偶性, 不满足奇函数、 偶函数定义中的“任 意”,故(1)错误; (2)当 f(-2)≠f(2)时,该函数就一定不是偶函数,故(2)正确; (3)若 f(-2)=f(2),则不能确定函数 f(x)不是奇函数.如若 f(x)=0,x∈R,则 f(-2)=f(2), 但函数 f(x)=0,x∈R 既是奇函数又是偶函数,故(3)错误. 3.函数 y= x-1· x+1( ). A.是奇函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.是偶函数 D.是非奇非偶函数 答案:D 解析:函数定义域是{x|x≥1},不关于原点对称,是非奇非偶函数,选 D. 4.函数 f(x)=-2x2+x-1 在区间[-1,2]上的值域是( ).
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7 A.?-∞,-8? ? ? 7 C.?-7,-8? ? ? 答案:C

B.[-7,-4] 7 D.?-4,-8? ? ?

1 1 7 1 解析:由于 f(x)=-2x2+x-1=-2?x-4?2- ,而 ∈[-1,2],所以 f(x)最大值是 f?4?=- ? ? 8 ? ? 4 7 7 ,最小值为 f(2)=-7,故值域为?-7,-8?,故选 C. ? ? 8 5.如果定义在区间[3-a,5]上的函数 f(x)为偶函数,那么 a=__________. 答案:8 解析:∵f(x)为区间[3-a,5]上的偶函数, ∴区间[3-a,5]关于坐标原点对称, ∴3-a=-5,即 a=8.
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