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2012年杭州市第二次高考科目教学质量检测评分标准(文科数学)答案


2012 年杭州市第二次高考科目教学质量检测 数学文科卷评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 2 3 4 5 6 题号 A D C D B A 答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.8 15. r tan
2

7 B

8 A
<

br />9 D

10 A

12. 3

13.

3 8
17. 3

14. ?

? 5 ? , 34 ? ? 5 ?

θ
2

16. ( ?∞,

65 ] 8

解答题: 三. 解答题 (本大题有 5 小题, 共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 解(Ⅰ)由题意知: a cos C +

1 1 c = b 得 sin Acos C + sin C = sin B , 2 2 又 sin B = sin ( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C ,

2分 2分

1 1 ∴ sin C = cos A sin C ,Q sinC ≠ 0 ,∴ cos A = , 2 2
又Q 0 < A < π ∴ A =

π



2分

3

或由余弦定理同样得分。 (Ⅱ)由正弦定理得: b =

a sin B 2 2 = sin B , c = sin C , sin A 3 3 2 2 l = a + b + c = 1+ ( sin B + sin C ) = 1 + ( sin B + sin ( A + B ) ) 3 3 ? 3 ? 1 π? ? = 1+ 2? sin B + cos B ? = 1 + 2 sin ? B + ? , ? 2 ? 2 6? ? ? ? π ? π 5π ? π? ?1 ? π ? 2π ? ? Q A = , ∴ B ∈ ? 0, ? , ∴ B + ∈ ? , ? ,∴ sin ? B + ? ∈ ? ,1? 。 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? 3 ? 3 ? ? 故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ( 2,3] .
2 2 2

3分

3分

2 分

(Ⅱ)解 2:周长 l = a + b + c = 1 + b + c , 由(1)及余弦定理 a = b + c ? 2bc cos A

∴ b 2 + c 2 = bc + 1 ,

3分 3分

∴ (b + c) 2 = 1 + 3bc ≤ 1 + 3(

b+c 2 ) ,即 b + c ≤ 2 , 2 又 b + c > a = 1∴ l = a + b + c > 2 ,

即 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ( 2,3] . 19.(本题满分 14 分) (I)证明: Q AM ⊥ D ′E , AM ⊥ EF ,

2分

数文答第 1 页(共 3 页)

又 Q D′E , EF是平面D′EF内两条相交直线 ,
∴ AM ⊥ 平面D′EF ,∴ AM ⊥ D′F ,
6分

(II)由(I)知 AM ⊥ 平面D′EF ,∴ 平面 D ′EF ⊥ 平面 ABCM ,且 ∠D ′EF =

π


3

∴过D′作平面的ABCM 垂线,垂足H 必在EF 上,
∴ ∠D′EF 是D′F 与平面ABCD所成角 , 2分

Q ∠D′EF =

π
3

, 且∠D′FE =

π
3

,∴?D′EF 是等边三角形 , 3分

∴ D ′E = EF 即 DE = EF ,∴△ DAF 是等腰直角三角形, 设 AD = 2 ,∴ AF = 2, 且EF =

2,∴四棱锥D′ ? ABCM 的高D′H = D ′H 6 . = AD ′ 4

6 . 2
3分

设直线 AD ′ 与平面 ABCP 所成角为 α ,则 sin α =

20.(本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则依题意

?1 + d = q ?q = 2 ? 2 , ?1 + 3d = q ? ? ?d = 1 ?q ≠ 1 ?

4分

∴ a n = 1 + ( n ? 1) × 1 = n , bn = 1 ? 2
an bn = n ? 2n?1 ,

n ?1

= 2 n?1 .

n(n + 1) , 4分 2 n ? 2 n ?1 n ? 2n 2 n +1 2n = = ? , 4分 (Ⅱ) C n = (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n + 2 n + 1 2 2 21 23 2 2 2 n +1 2n 2 Rn = C1 + C 2 + L + C n = ( ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) 3 2 4 3 n + 2 n +1 2 n +1 = ?1. 3 分 n+2 Sn =
21. (本题满分 15 分) 解: (I) F ( x ) = ln x ?

1 2 1 1 4 ? x2 x ,∴ F ′( x) = ? x = > 0( x > 0) , 8 x 4 4x 故 F (x ) 的单调递增区间为 (0,2) .
G ( x) x ?1 G (t ) t ?1

5分

(II) tG ( x ) ? xG ( t ) ≤ G ( x ) ? G ( t )

? ( t ? 1) G ( x ) ≤ ( x ? 1) G ( t ) ?



?

f ( x ) f (t ) ≤ , g ( x) g (t )

4分

数文答第 2 页(共 3 页)

设 h( x ) =

f ( x) ,问题等价于 h( x ) ≤ h(t ) 在 (1,t 上恒成立, h(t ) 为 h(x ) 的最大值,2 分 g ( x)

]

f ( x) 2 ln x 而 h( x) = = 2 ,所以 h ′( x) = g ( x) x

1 2( ? x 2 ? 2 x ln x) 2(1 ? 2 ln x) x = ( x > 0) , 2 分 4 x x3
e ,即实数 t 的
2分

故 h(x ) 在区间 ( e ,+∞) 上单调递减,在区间 (1, e ) 上单调递增,因此 t ≤ 最大值为 e .

22. (本题满分 14 分)

p | 0 ? ? 1| p 5 2 2 解 (Ⅰ)焦点 F(0. ) ,由条件得: = , 2 8 2 1 解得: p = ∴抛物线 C 的方程 x 2 = y , 4 分 2 2 2 (Ⅱ) 得 B (1,1) ,设 A x1 , x1 , C x 2 , x 2 ,

(

)

(

)

设直线 BC 方程: y ? 1 = k ( x ? 1) , 由 ? y ? 1 = k ( x ? 1)

? 2 ?x = y

? x 2 ? kx + k ? 1 = 0,

(第 22 题)

所以 1 + x 2 = k , ? x 2 = k ? 1 , C ( k ? 1, ( k ? 1) 2 ), 同理 A( ? k ? 1, ( k + 1) 2 ), 线段 AC 的中点 M 的坐标为(-1,k2+1) , 由 y`=2x 及条件,设 DC: y ? (k ? 1)2 = 2(k ? 1)( x ? k + 1) , 设 AD: y ? (k + 1) 2 = ?2(k + 1)( x + k + 1) , 联立解得 D(– 1,1 – k2) , 连接 DM,则|DM|=2k2, 则三角形 ACD 的面积 S= S?AMD + S?CMD = ? 2k 2 (| k ? 2 | + | k |) , 当 k ≥ 2 时,S= k 2 (2k ? 2) > 8 >4,所以 k 无解; 当 0 ≤ k < 2 时,S= 2k 2 =4,解得 k = 2 , 当 k < 0 时,S= k 2 (2 ? 2k ) =4,解得 k = – 1. 综合上述,直线 BC 的斜率为 2 或– 1. 3分
1 2

3分

2分

2分

数文答第 3 页(共 3 页)


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