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数学:1.4《全称量词与存在量词》课件


1.4 全称量词与 存在量词

1.4.1 全称量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3)之间,(2)(4)之间有 什么关系? (1)

x?3 ;

(2)2x+1是整数; (3)对所有的

x ? R, x ? 3;

(4)对任意一个

x ? Z , 2x+1是整数.

短语”对所有的””对任意一 个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 “ ? ”表示.含有全称 量词的命题,叫做全称命题,
常见的全称量词还有: “对所有的”,”对任意一个”,”对一 切”,”对每一个”,”任给”,”所有的” 等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。

符号
全称命题“对M中任意一个x有 p(x)成立”可用符号简记为

?x ? M , p( x)
读作“对任意x属于M,有p(x)成 立”.

例1判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; (2) ?x ? R, x ? 1 ? 1;
2
2

(3)对每一个无理数x, x 也是无 理数.

思考探究 如何判断全称命题的真假? 要确定一个全称命题是真命题, 需保证该命题对所有的元素都成立; 若能举出一个反例说明命题不成立, 则该全称命题是假命题.

练习.下列全称命题中真命题的个数为( ) ①末位是 0 的整数,可以被 2 整除;②角平分线上 的点到这个角的两边的距离相等;③正四面体中两侧面 的夹角相等. A.1 B.2 C.3 D.0

解析:①②③均为全称命题且均为真命题,故选 C.
答案:C

1.4.2 存在量词

思考?
下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之 间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)X能被2和3整除;

(3)存在一个x∈ R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

短语“存在一个”“至少有一个”在 逻辑上通常叫做存在量词,并用符号“ ? ” 表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题. 常见的存在量词还有“有些”“有 一个”“有的”“对某个”等.

例如,命题:
有的平行四边形是菱形;

有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定; 存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;

有一些实数不能取对数.

特称命题”存在M中的一个x,使p(x) 成立”可用符号简记为

?x ? M , p( x).
读做”存在一个x,使p(x)成立”.

例2 判断下列特称命题的真假
? 有一个实数x,使 x ? 2 x ? 3 ? 0;
2

? 存在两个相交平面垂直于同一条直线; ? 有些整数只有两个正因数.

练习

P26

思考探究 如何判断特称命的真假?
要确定一个特称命题是真命题,举出 一个例子说明该命题成立即可;若经过逻 辑推理得到命题对所有的元素都不成立, 则该特称命题是假命题.

1.下列命题: ①今天有人请假;②中国所有的江河都流入太 平洋;③中国公民都有受教育的权力;④每一个中 学生都要接受爱国主义教育;⑤有人既能写小说, 也能搞发明创造;⑥任何一个数除 0 都等于 0 其中是全称命题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.不少于 4 个

解析:②、③、④、⑥都含有全称量词. 答案:D

2.下列命题不是“存在 x0∈R,x2>3”的表述 0 方法的是( ) 2 A.有一个 x0∈R,使得 x0>3 成立 B.对有些 x0∈R,使得 x2>3 成立 0 2 C.任选一个 x∈R,使得 x >3 成立 D.至少有一个 x0∈R,使得 x2>3 成立 0
解析:C 答案已经是全称命题了.
答案:C

3.命题“有些负数满足不等式(1+ 2 x)(1-9x )>0”用“?”写成特称命题 2 为______________________________. ?x0∈R,x0<0,(1+x0)(1-9x0)>0
解析:“有些”即存在.

4. 判断下列命题是全称命题还是特称命题?并 判断其真假. 2 (1)存在一个实数,使等式 x +x+8=0 成立; (2)每个二次函数的图象都与 x 轴相交; 1 (3)若对所有的正实数, 不等式 m≤x+x都成立, 则 m≤2; (4)如果对任意的正整数 n, 数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a,b 为常数),那么数列{an}为等差数 列.

解:(1)特称命题. ∵x2+x+8=(x+12)2+314>0, ∴命题为假命题. (2)全称命题,假命题, 如?y=x2+x+1与x轴不相交.
(3)全称命题. ∵x是正实数, ∴x+1x≥2x?1x=2(当且仅当x=1时“=” 成立). 即x+1x的最小值是2,而m≤x+1x,从 而m≤2. 所以这个全称命题是真命题.

(4)全称命题. ∵Sn=an2+bn,∴a1=a+b. 当命题. n≥2时,an=Sn-Sn-1=an2+bn-a?(n-1)2 -b(n-1)=2na+b-a, 所以an=2an+b-a(n∈N*). 从而数列{an}是等差数列,即这个全称命题也是 真

1.全称命题与特称命题的构成形式 判断一个命题是否为全称命题或特称命题,关 键是看命题中是否含有全称量词或存在量词,并熟 悉以下表述方法

命题

表述 方法

特称命题“?x0∈M, 全称命题“?x∈M,p(x)” p(x0)” ①存在 x0∈M, 使 p(x0)成立 ②至少有一个 x0∈M, ①对所有的 x∈M,p(x)成立 使 p(x0)成立 ②对一切 x∈M,p(x)成立 ③对有些 x0∈M, ③对每一个 x∈M,p(x)成立 使 p(x0)成立 ④任选一个 x∈M,p(x)成立 ④对某个 x0∈M, ⑤凡是 x∈M,都有 p(x)成立 使 p(x0)成立 ⑤有一个 x0∈M, 使 p(x0)成立

注意:有些全称命题文字叙述中会省略全称量 词,如“等腰三角形两底角相等”,另外全称命题 和特称命题也可能包含多个变数. 如?x∈R,y∈R,(x+y)(x-y)>0. 2 2 ?x0∈R,y0∈R,x0+y0=1.

2.全称命题与特称命题真假的判断 (1)要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集 合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立; 但要判定全称命题 是假命题,却只要能举出集合 M 中的一个 x=x0,使得 p(x0) 不 成 立 即 可 ( 这 就 是 通 常 所 说 的 “ 举 出 一 个 反 例”). (2)判断特称命题“?x0∈M,p(x0)”的真假性的关 键是探究集合 M 中 x0 的存在性.若找到一个元素 x0∈ M, p(x0)成立, 使 则该命题是真命题; 若不存在 x0∈M, 使 p(x0)成立,则该命题是假命题.

含有量词的命题的应用 2 例 3 已知函数 f(x)=x -2x+5. (1)是否存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈ R 恒成立,并说明理由. (2)若至少存在一个实数 x0,使不等式 m-f(x0)>0 成立, 求实数 m 的取值范围.

[分析] 有关一元二次不等式 ax +bx+c>0(<0)恒 成立的问题,一是转化为二次函数的图象运用数形结合 求解,二是分离参数法求解.前者主要运用 Δ=b2-4ac 的符号,转化为不等式或不等式组,后者常常转化为求 函数的最大(小)值. 一般地,对任意的实数 x,a>f(x)恒成立,只需 a>f(x)max.若存在一个实数 x0 ,使 a>f(x0)成立,只需 a>f(x)min.

2

[解] 解法一:(1)不等式 m+f(x)>0 可化为 m>-f(x), 2 2 即 m>-x +2x-5=-(x-1) -4. 2 要使 m>-(x-1) -4 对于任意 x∈R 恒成立,只需 m> -4 即可. 故存在实数 m 使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成 立,此时需 m>-4.

(2)不等式 m-f(x0)>0,可化为 m>f(x0),若至少存在一 个实数 x0 使不等式 m>f(x0)成立,只需 m>f(x)min. 2 又 f(x)=(x-1) +4,∴f(x)min=4,∴m>4. 所以所求实数 m 的取值范围是(4,+∞).

解法二:(1)要使不等式 m+f(x)>0 对?x∈R 恒成立, 即 x2-2x+5+m>0 对?x∈R 恒成立, 2 ∴Δ=(-2) -4(5+m)<0,解得 m>-4, ∴当 m>-4 时,m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立. (2)若至少存在一个实数 x0, m-f(x0)>0 成立, x2- 使 即 0 2x0+5-m<0 成立. 只需 Δ=(-2)2-4(5-m)>0 即可,解得 m>4. 所以实数 m 的取值范围是(4,+∞).

[点拨] 解决有关存在性命题的参数取值范围问题,应 尽量分离参数,若得到 g(a)=f(x)成立,则只需求 f(x)的值域 B,进而确定使 g(a)∈B 的 a 的值即可.若 g(a)>f(x),则只 需确定 g(a)>f(x)的最小值即可.类似地,对于全称命题(特别 是恒成立)的问题,也应尽量用分离参数法来求解.

1.4.3 含有一个量词 的命题的否定

如何区分命题的否定与否命题? 区别: ①、概念:命题的否定形式是直接对命题进 行否定;而否命题则是原命题的条件和结论 分别否定后所组成的命题。 ②构成:对于“若p,则q”形式的命题,其否 定命题为“若p,则 q”,也就是不改变条件, 而否定结论;而其否命题则为“若非p,则非q”, 也就是条件和结论都否定。 ③、真值:否定命题的真值与原命题相反;而 否命题的真值与原命题无关。

探究
写出下列命题的否定

? 1)所有的矩形都是平行四边形; x ? M,p(x)

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)

3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论: 全称命题p:

?x ? M , P( x), 它的否定?p: ?x ? M,?p(x).

全称命题的否定是特称命题.

例 1 写出下列全称命题的否定,并判断真假: (1)p:正方形是矩形; 1 (2)p:?x>0,x+x≥2.

[分析] 全称命题的否定是特称命题.

[解] (1) p:存在一个正方形不是矩形,这是假命 题. 1 (2) p:?x0>0,x0+ <2,这是假命题. x0




[点拨] “正方形是矩形”是省略了全称量词“所有 的??都??”的全称命题,其否定形式为“?x∈M, ┐ p(x)”.全称命题及其否定真假性相反.

练习:写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p:对任意,的个位数字不等于3.

探究
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x ? R, x2 ? 1 ? 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)
?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变 成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:
特称命题 它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

p : ?x ? M,p(x)

特称命题的否定是全称命题.

例 2 写出下列特称命题的否定,并判断真假: (1)p:有的一元二次方程有实数根; π (2)p:?x0∈R,sin(x0+ )=sinx0. 2
[分析] 特称命题的否定是全称命题.

(1)非 p:所有的一元二次方程都没有实数 根,这是假命题. π (2)非 p:?x∈R,sin(x+ )≠sinx, 2 π π π 这是假命题,如 sin( + )=sin . 4 2 4
[解]

练习:写出下列特称命题的否定 (1) 1)p:?x ? R,x2 +2x+3 ? 0; (2)有的三角形是等边三角形;

(3)有一个素数含三个正因数.

正面 等于 词语

大于(>) 小于 (<)



都是

P或q

否定 不等于 不大于 不小 不 (《) 于 是 (》) 正面 至多有 至少有 任意 词语 一个 一个 的 否定 至少有 一个也 某个 两个 没有 所 有 的 某 些

不都 是 至多 有n个 到少 有 n+1 个

非p 且非 q P且q
任意 两个

非P 或非 某两 Q 个

求参数的取值范围 2 例 3 已知命题 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x +mx+1>0,如果?x∈R,r(x)为假命题且 s(x)为真 命题,求实数 m 的取值范围.

π [解] sinx+cosx= 2sin(x+ )∈[- 2, 2], 4 因为对任意的 x∈R,r(x)为假命题,即对任意的 x ∈R,不等式 sinx+cosx>m 恒不成立,所以 m≥ 2. 又对任意的 x∈R, s(x)为真命题, 即对任意的 x∈R, 2 2 不等式 x +mx+1>0 恒成立,所以 Δ=m -4<0, 解得-2<m<2.故如果对任意的 x∈R,r(x)为假命题 且 s(x)为真命题,应有 2≤m<2.

[点拨] 要正确理解题意:“?x∈R,r(x)为假 命 题 ” 即 “ ? x ∈ R , sinx + cosx≤m” , 得 m≥ 2.“?x∈R,s(x)为真命题”即“?x∈R,x2 +mx+1>0”,所以 Δ=m2-4<0,解得-2<m<2, 所以所求的 m 的取值范围是 2≤m<2.


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