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北京市海淀区2014届高三上学期期中考试 数学(文)试题 Word版含解析


第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项。
1.已知集合 A ? {?1,0,1,2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ? ( ) A. {2} B. {1, 2} C. {?1,2} D. {?1,1, 2}

2.下列函数中,为奇函数的是( A. f ( x ) ? x

)
x C. f ( x) ? 2

B. f ( x) ? ln x

D. f ( x) ? sin x

3.已知向量 a ? (1, ?2), b ? (m, ?1) ,且 a / / b ,则实数 m 的值为(

)

A. ?2 【答案】C 【解析】

?
B.

1 2

1 C. 2

D. 2

试题分析:因为,向量 a ? (1, ?2), b ? ( m, ?1) ,且 a / / b ,所以, 考点:平面向量的坐标运算,共线向量.

m ?1 1 ? , m ? ,选 C. 1 ?2 2

4.“

??

π 1 sin ? ? 6 ”是“ 2 ”的(



A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.已知数列 A. 3

?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? ?10, an?1 ? an ? 3 (n ? N* ) ,则 Sn 取最小值时,n 的值是(
C. 5 D. 6



B. 4

6.若函数 A. (0,1]

? ? ? tan x, ? ? x ? 0, f ( x) ? ? 2 ? a ( x ? 1) ? 1, x ? 0 ?
B.

π (? , ??) 在 2 上单调递增,则实数 a 的取值范围(
C. [1, ??) D.

)

(0,1)

(0, ??)

【答案】A

7.若函数 f ( x) ? sin x ? kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是( A. ( ?1,1) B. [0,1) C. (1, ??)

) D. (??, ?1)

8.已知点 B(1,0) , P 是函数 y ? e 图象上不同于 A(0,1) 的一点.有如下结论:
x

①存在点 P 使得 ?ABP 是等腰三角形; ②存在点 P 使得 ?ABP 是锐角三角形; ③存在点 P 使得 ?ABP 是直角三角形. 其中,正确的结论的个数为( A. 0 【答案】B B.1 ) C. 2 D. 3

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
2 9.函数 y ? x ? x 的定义域是____________.

【答案】 (??, ?1] ? [0, ??)

考点:函数的定义域

a 10.已知 10 ? 5, b ? lg 2 ,则 a ? b ? ________.

【答案】1 【解析】
a 试题分析:因为, 10 ? 5, b ? lg 2 ,所以, a ? lg 5 , a ? b ? lg5 ? lg 2 ? lg10 ? 1 ,故答案为 1.

考点:对数的性质及对数运算

11.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 4, S3 ? 3 ,则公差 d ? ___________.

π 12..函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?) (? ? 0,| ? | ? ) 的图象如图所示,则 ? ? ______________, ? ? __________. 2 y

1
O

3

x

2π π 【答案】 3 , 6
【解析】 试题分析:观察图象可知,函数的周期为 3,即 ? ? 将点 (0,1) 代入得, 2sin ? ? 1,sin ? ?

2π π 2π , f ( x) ? 2sin( x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ) , 3 2 3

1 ? , 所以, ? ? , 6 2

2π π 故答案为 3 , 6 .
考点:正弦型函数的图象和性质

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 13.向量 AB , AC 在正方形网格中的位置如图所示.设向量 a ? AC ? ? AB ,若 a ? AB , 则实数 ? ? __________.

C

A

B

【答案】3

14.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足:
? x ? 1, 1 ? x ? 2, ①当 x ? [1,3) 时, f ( x) ? ? ② f (3x) ? 3 f ( x) . ?3 ? x, 2 ? x ? 3,

(i) f (6) ?



( ii ) 若 函 数 F ( x) ? f ( x) ? a 的 零 点 从 小 到 大 依 次 记 为 x1 , x2 ,?, xn ,? , 则 当 a ? (1,3) 时 ,
x1 ? x 2? ? ? x n ? ?1x n ?2 _____________. 2

【答案】3, 6(3n ? 1)

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15(本小题满分 14 分)

π 已知函数 f ( x) ? 3 cos 2 x ? 2cos 2 ( ? x) ? 1 . 4
(I)求 f ( x ) 的最小正周期;

π π (II)求 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上的取值范围. 3 2

π ? 2sin(2 x ? ) 3
f ( x ) 最小正周期为 T ? π ,
(II)因为 ?

-------------------------------------------------6 分 -------------------------------------------------8 分

π π 4π π π --------------------------------------10 分 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? 3 2 3 3 3 3 π 所以 ? ---------------------------------------12 分 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3 π 所以 ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ,所以 f ( x ) 取值范围为 [ ? 3,2] .---------------14 分 3
考点:和差倍半的三角函数,三角函数的图象和性质.

16.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A ? 60? , 3b ? 2c, S?ABC ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin B 的值.

3 3 . 2

(Ⅱ)因为 b ? 2, c ? 3 , A ? 60? , 由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 可得 ------------------------------------7 分 ------------------------------------9 分

a 2 ? 22 ? 32 ? 6 ? 7 ,即 a ? 7 .
由正弦定理

a b 可得------------------------------------11 分 ? sin A sin B

7 2 ,------------------------------------12 分 ? ? sin B sin 60
所以 sin B ?

21 .------------------------------------13 分 7

考点:正弦定理、余弦定理的应用,三角形面积.

17.(本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 满足 a3 ? a1 ? 3, a1 ? a2 ? 3 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ? an 2 ? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和公式.

(II)由(I)可得 bn ? an 2 ? 1 ? 4n ?1 ? 1 易得数列 {4n?1} 是公比为 4 的等比数列,

------------------------------8 分

由等比数列求和公式可得

Sn ?

1 ? 4n 1 ? n ? (4n ? 1) ? n .------------------------------13 分 1? 4 3

考点:等比数列的通项公式、求和公式

18.(本小题满分 13 分) 如图,已知点 A(11,0) ,函数 y ? x ? 1 的图象上的动点 P 在 x 轴上的射影为 H ,且点 H 在点 A 的左侧.设

| PH |? t , ?APH 的面积为 f (t ) .
(I)求函数 f (t ) 的解析式及 t 的取值范围; (II)求函数 f (t ) 的最大值.

3 3 (II) f '(t ) ? 6 ? t 2 ? ? (t ? 2)(t ? 2) 2 2
由 f '(t ) ? 0 ,得 t ? ?2 (舍),或 t ? 2 . 函数 f (t ) 与 f '(t ) 在定义域上的情况如下:

--------------------------7 分 --------------------------8 分

t
f '(t )

(0, 2)
+ ↗

2 0 极大值

(2, 2 3)
?

f (t )

↘ ------------------------------------12 分

所以当 t ? 2 时,函数 f (t ) 取得最大值 8. 考点:三角形面积,应用导数研究函数的最值.

------------------------------------13 分

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (I)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)若函数 f ( x) 没有零点,求 a 的取值范围.

(III)由(II)可知函数的单调区间及函数取得极值的情况. 注意讨论 a 的不同取值情况 a ? 0 、 a ? 0 、 a ? 0 ,根据函数的单调性即极值情况,确定 a 的取值范围. 试题解析:解: (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f '( x ) ? 1 ?

1 ( x ? 0) ------------------------------1 分 x

f (1) ? 1 , f '(1) ? 2
所以切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 (II) f '( x) ?

-------------------------------3 分 --------------------------------5 分 -----------------------------6 分

x?a ( x ? 0) x

当 a ? 0 时,在 x? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;-8 分

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下:

x
f '( x )

(0, ?a)
?

?a
0 极小值

( ?a, ??)
+ ↗

f ( x)



------------------------------------10 分

20.(本小题满分 13 分)
? an , an为3的倍数, 已知数列 {an } 的首项 a1 ? a, 其中 a ? N* , an ?1 ? ? 3 ? ?an ? 1 , an不为3的倍数. ?

? 令集合 A ? {x | x ? an , n=1,2,3, } .
(I)若 a ? 4 ,写出集合 A 中的所有的元素; (II)若 a ? 2014 ,且数列 {an } 中恰好存在连续的 7 项构成等比数列,求 a 的所有可能取值构成的集合; (III)求证: 1? A . 【答案】 (I)集合 A 的所有元素为:4,5,6,2,3,1. (II)首项 a 的所有可能取值的集合为{ 36 ,2 ? 36 , 36 ? 1,2 ? 36 ? 1, 36 ? 2,2 ? 36 ? 2 }. (III)见解析.

(II)不妨设成等比数列的这连续 7 项的第一项为 ak ,

1 如果 ak 是 3 的倍数,则 ak ?1 ? ak ;如果 ak 是被 3 除余 1,则由递推关系可得 ak ?2 ? ak ? 2 ,所以 ak ?2 3 1 是 3 的倍数,所以 ak ?3 ? ak ? 2 ;如果 ak 被 3 除余 2,则由递推关系可得 ak ?1 ? ak ? 1 ,所以 ak ?1 是 3 的倍数, 3 1 所以 ak ? 2 ? ak ?1 . 3 1 所以,该 7 项的等比数列的公比为 . 3
又因为 an ? N* ,所以这 7 项中前 6 项一定都是 3 的倍数,而第 7 项一定不是 3 的倍数(否则构成等比数列 的连续项数会多于 7 项) , 设第 7 项为 p ,则 p 是被 3 除余 1 或余 2 的正整数,则可推得 ak ? p ? 36 因为 36 ? 2014 ? 37 ,所以 ak ? 36 或 ak ? 2 ? 36 . 由递推关系式可知,在该数列的前 k ? 1 项中,满足小于 2014 的各项只有:

ak ?1 ? 36 ? 1, 或 2 ? 36 ? 1 , ak ?2 ? 36 ? 2, 或 2 ? 36 ? 2 ,
所以首项 a 的所有可能取值的集合为

{ 36 ,2 ? 36 , 36 ? 1,2 ? 36 ? 1, 36 ? 2,2 ? 36 ? 2 }.

-----------------------8 分


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