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高中数学北师大版选修2-1课时作业:3.3.4 双曲线的简单性质(2) 含解析


第三章 §3 课时作业 31 一、选择题 1. [2014· 课标全国卷Ⅰ]已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦 点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. C. 3 3m ) B .3 D.3m x2 y2 解析:由题意知,双曲线的标准方程为 - =1,其中 a2=3m,b2=3, 3m 3 故 c= a2+b2= 3m+3, 不妨设 F 为双曲线的右焦点, 故 F( 1 m x,即 x- 3m+3, 0). 其 中一条渐近线的方程为 y= my=0,由点到直线的距离公式可得 d= | 3· m+1| 1+?- = m?2 3,故选 A. 答案:A 2. 设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( A. 2 3+1 2 B. 3 5+1 2 ) C. D. b2-a2= 解析:如图,可得 a2=b c2-a2· c2-2a2, 从而 e2= 答案:D 3+ 2 5 = 1+5+2 4 5 1+ 5 ,故 e= . 2 x2 y2 3. 已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,它的一条渐近 2 b 线方程为 y=x,点 P( A.-12 C.0 解析:由渐近线方程 y=x,得 b= 得 y0=± 1.不妨取 P( 3,1), →· → 3,y0)在该双曲线上,则PF 1 PF2等于( B.-2 D.4 2,把点 P( x2 y2 3,y0)代入 - =1 中, 2 2 ) ∵F1(-2,0),F2(2,0), →· → ∴PF 1 PF2=(-2- 答案:C 4. 设 F1、F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲 a b 线右支上存在点 P, 满足|PF2|=|F1F2|, 且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实 轴长,则该双曲线的渐近线方程为( A.3x± 4y=0 C.4x± 3y=0 ) B.3x± 5y=0 D.5x± 4y=0 x2 y2 3,-1)· (2- 3,-1)=3-4+1=0. 解析:设 PF1 的中点为 M,由|PF2|=|F1F2|, 故 F2M⊥PF1,即|F2M|=2a, 在直角三角形 F1F2M 中, |F1M|= ?2c?2-?2a?2=2b,故|PF1|=4b, 根据双曲线定义 4b-2c=2a,即 2b-a=c, 即(2b-a)2=a2+b2,即 3b2-4ab=0, b 即 3b=4a,故双曲线的渐近线方程是 y=± x, a 4 即 y=± x,即 4x± 3y=0. 3 故选择 C. 答案:C 二、填空题 5. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= a b x2 y2 3x,它的 一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦点相同,则双曲线的方程为________. 解析:由条件知双曲线的焦点为(4,0), a2+b2=16, ? ? 所以?b = 3, ? ?a 解得 a=2,b=2 3, x2 y2 故双曲线的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 答案: - =1 4 12 6. 双曲线 2- 2=1, 2- 2=1 的离心率分别为 e1,e2,则 e1+e2 的最 a b b a 小值为________. a2+b2 ,e2= a a2+b2 b 1 a2+b2 a x2 y2 y2 x2 解析:由已知得 e1= a2+b2

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