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高三数学(理)《选修4-2


高三数学(理) 《矩阵与变换》专题练习
1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组 ?

?2x ? 3y ? 2 其中正确的是( ?x ? 2y ? ?1
B、 ?



A、 ?

?2 3 ? ? x ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ?1 ? 2? ? y ? ?? 1?



?2 1 ? ? x ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ?3 ? 2? ? y ? ?? 1? ? 3 2? ? x ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ?? 2 1? ? y ? ?? 1?

C、 ?

?2 3 ? ? x ? ?? 2? ?? ? ? ? ? ?1 ? 2? ? y ? ? 1 ?

D、 ?

2、已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(-1,0) ,B(1,0) ,C(1,1) ,D(-1,1) ,四边形 ABCD 在矩阵 ? A、

?a 0 ? ? 变换作用下变成正方形,则 a =( ?0 1 ?
B、2 C、3



1 2

D、

1 3


3、若矩阵 M1= ?

?1 0 ? ?1 0? ?1 0 ? ,M2= ? ,M3= ? ? ? ,则由 M1,M2,M3 确定的变换分别是( ? 0 1 1 0 0 ? 1 ? ? ? ? ? ?
B、恒等变换、投影变换、反射变换 D、反射变换、恒等变换、投影变换

A、恒等变换、反射变换、投影变换 C、投影变换、反射变换、恒等变换

4、 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点的横坐标与纵坐标都变为原来的 3 倍, 则该变换的矩阵是 (



A、 ?

?1 0 ? ? ?0 3?

B、 ?

?0 3? ? ?3 0?

C、 ?

?3 0? ? ?0 3?


D、 ?

?3 0? ? ?0 1 ?

5、已知矩阵 A ? ?

? 1 1? ? 2 ?1? ? ,B ? ? ? ,则 AB 等于( ? ?1 1? ? ?1 1 ?
B、 ?

A、 ?

?3 1 ? ? ? ?2 0 ?

?1 0 ? ? ? ?3 2 ?

C、 ?

?1 ?3 ? ? ?0 2 ?


D、 ?

?1 ?3 ? ? ?2 0 ?

6、已知矩阵 A ? ?

?1 ?1? -1 ? ,则矩阵 A 的逆矩阵 A 等于( 1 1 ? ?
1? ?1 ?2 ?2? B、 ? ? ?1 1 ? ? ? ?2 2 ? ?1 ?2 C、 ? ?? 1 ? ? 2 1? 2? ? 1? ? 2?

? 1 ?? 2 A、 ? ?1 ? ?2

1? 2? ? 1? ? 2?

?1 1 ? ?2 2 ? D、 ? ? ?1 ?1? ? ? ?2 2?

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7、点(-1,k)在伸压变换矩阵 ?

? m 0? ,则 m、k 的值 ? 之下的对应点的坐标为(-2, -4 ) ? 0 1?
D、-2,-4 ) D、 ?

分别为( ) A、2,4 B、-2,4 C、2,-4 8、设 T 是以 ox 轴为轴的反射变换,则变换 T 的矩阵为( A、 ?

?1 0 ? ? ?0 ? 1?

B、 ?

? ? 1 0? ? ? 0 1?

C、 ?

?? 1 0 ? ? ? 0 ? 1?

?0 1 ? ? ?1 0 ?

9、设 A 是到 ox 轴的正投影变换,A 把点 P(x,y)变成点 P′(x,0) ,B 是到 oy 轴的正投影变 换 B 把点 P(x,y)变成点 P″(0,y) ,则变换 A 和 B 的矩阵分别为( ). A、?

?1 0 ? ? 0 0 ? ? ,? ? ?0 0 ? ?0 1 ?

B、?

? 0 0 ? ?1 0 ? ? ,? ? ?0 1 ? ?0 0 ?

C、?

?1 0? ?1 0? ? ? ,? ?1 0? ?0 0?

D、?

?1 0? ?1 0? ? ,? ? ?0 0? ?1 0?

10、计算: ?

?0 1? ? 2 ? ? ? ? =__________ ?1 1? ?? 3? ? 2 ? 2? ? 对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 0 1 ? ?

11、点 A(1,2)在矩阵 ?

12、若点 A 在矩阵 ? ?1 2 ? 对应的变换作用下下得到的点为(2,4) ,则点 A 的坐标为_________ ? ?2 2 ? ? ? 13、将向量 a ? ? ? 绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b ,则向量 b 的坐标为___________ 4 ?1? 14、在某个旋转变换中,顺时针旋转 15、曲线 y ?

?2?

?

? 所对应的变换矩阵为______ 3

?0 1 ? x 在矩阵 ? ? 作用下变换所得的图形对应的曲线方程为______ ?1 0 ?
,变换对应的矩阵是__

16、曲线 xy=1 绕坐标原点逆时针旋转 90°后得到的曲线方程是

1 17、若曲线 y ? cos 3x 经过伸压变换 T 作用后变为新的曲线 y ? cos x ,试求变换 T 对应的矩 2 阵 M ? ____.
18、求矩阵 A ? ?

? 3 2? ? 的逆矩阵. ?2 1? ?1 1 ? ?之 ?1 ?1?

19、已知△ABO 的顶点坐标分别是 A(4,2) ,B(2,4) ,O(0,0),计算在变换 TM= ? 下三个顶点 ABO 的对应点的坐标.

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20、 在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 在矩阵? 求 F 的方程.

2 0? 对应的变换作用下得到曲线 F, ?0 1?

21、求曲线 C: xy ? 1 在矩阵 M ? ?

? 1 1? ? 对应的变换作用下得到的曲线 C1 的方程. ? ?1 1?

22、求将曲线 y 2 ? x 绕原点逆时针旋转 90? 后所得的曲线方程.

23、直角坐标系 xOy 中,点(2,-2)在矩阵 M ? ?

?0 1 ? , ? 对应变换作用下得到点(-2,4) ? a 0?

曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 M 对应变换作用下得到曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程.

24、设点 P 的坐标为(1,-2) ,T 是绕原点逆时针方向旋转 应的矩阵,并求点 P 在 T 作用下的象点 P′的坐标.

? 的旋转变换,求旋转变换 T 对 3

25、 在平面直角坐标系 xOy 中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设 k≠0,k∈R, M= ?

?k 0? ?0 1 ? ,N= ? ? ?, ? 0 1? ?1 0 ?

点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点 A1,B1,C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求实数 k 的值.

26、若点 A(2 , 2) 在矩阵 M ? ? ? sin ? ? 求矩阵 M 的逆矩阵.

? cos?

? sin ? ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B (?2, 2) , cos? ? ?

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27、已知矩阵 M= ?

?1 2 ? ? 的一个特征值为 3,求其另一个特征值. ?2 x ?

28、设矩阵 A=?

1 a? 2 3 n * n * (a≠0) 、 (1)求 A ,A ; (2)猜想 A (n∈N ) ; (3)证明:A (n∈N )的 ?0 1? 特征值是与 n 无关的常数,并求出此常数.

29、已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于 x 轴的反射变换,再将所得图形 绕原点逆时针旋转 90°. (1)分别求两次变换所对应的矩阵 M1,M2; (2)求点 C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.

30、已知矩阵 A=?

? 3 ? c

3? ?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为α 1=? ?,属于特征值 1 d? ?1?

的一个特征向量为α 2=?

? 3 ? ?、求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2?

31、已知矩阵 A ? ?

?1 ? ?1

2? ?7 ? ,向量 ? ? ? ? . ? 4? ?4?

(1)求 A 的特征值 ?1 、 ? 2 和特征向量 ? 1 、 ? 2 ;

(2)计算 A 5? 的值.

a? ?2? ,A 的一个特征值 ? ? 2 ,其对应的特征向是是 ?1 ? ? ? . ? b? ?1 ? ?7 ? (1)求矩阵 A ; (2)若向量 ? ? ? ? ,计算 A5 ? 的值. ?4?

32、已知矩阵 A ? ?

?1 ? ?1

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