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第三章 第三节 三角函数的图象和性质1


第 三 章 三 角 函 数、 解 三 角 形

第 三 节
三 角 函 数 的 图 象 和 性 质

抓 基 础 明 考 向
教 你 一 招

提 能 力
我 来 演 练

[备考方向要明了]
考什么 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的

图象,了解三角 函数的周期性. 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数 ? π π? 在?-2,2?上的性质. ? ?

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怎 么 考 1.三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考 考查的重点.

2.主要以选择题、填空题的形式考查,也常与三角恒等变
换相结合在解答题中考查.

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正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y=sinx y=cosx y=tanx



π {x|x≠2+kπ, k∈Z}

定义域

R

R

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函数

y=sinx {y|-1≤y≤1}

y=cosx {y|-1≤y≤1}

y=tanx R

值域

π (- 2+kπ, π π [(2k-1)π,2kπ] [- +2kπ, +2kπ] 2 2 单调 上递增,k∈Z; π+kπ) 2 上递增,k∈Z;



[2kπ,(2k+1)π] π 3π [ +2kπ, +2kπ] 2 2 上递减,k∈Z 上递减,k∈Z

上递增,

k∈Z

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函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

π x= +2kπ 时 时, x=2kπ 时 ,ymax 2 ymax=1(k∈Z); =1(k∈Z);x= 最值 无最值 π x= - +2kπ 时 时, π+2kπ 时ymin= 2 ymin=-1(k∈Z) -1(k∈Z)

奇偶性







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函数
对称

y=sinx
(k,0),

y=cosx
π (kπ+2,0), k∈Z

y=tanx
kπ ( 2 ,0), k∈Z


称 性

中心 对称 轴l:

k∈Z
π x=kπ+2, k∈Z

x=kπ, k∈Z 2π π



周期性



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1.函数y=tan

?π ? ? -x?的定义域是 ?4 ?

(

)

? ? π A.?x|x≠4,x∈R? ? ? ? ? π B.?x|x≠-4,x∈R? ? ? ? ? π ?x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R? C. 4 ? ? ? ? 3π ?x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R? D. 4 ? ?

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π π 3 解析:∵x-4≠kπ+2,∴x≠kπ+4π,k∈Z.

答案: D

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2.函数f(x)=2cos

? 5π? ?x+ ?是 2? ?

(

)

A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的偶函数
? π? ?x+ ?=-2sin 2? ?

解析:因为f(x)=2cos

x是奇函数,T=2π.

答案: A

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3.函数y=|sin x|的一个单调增区间是
? π π? A.?-4,4? ? ? ? 3π? C.?π, 2 ? ? ? ?π 3π? B.?4, 4 ? ? ? ?3π ? D.? 2 ,2π? ? ?

(

)

解析:作出函数y=|sin x|的图象.观察可知,函数y=|sin x|
? 3π? 在?π, 2 ?上递增. ? ?

答案: C 返回

4.比较大小,sin

? ? π? π? ?- ?________sin ?- ?. ? 18? ? 10?

解析:因为y=sin 故sin

? π ? π π x在?-2,0?上为增函数且-18>-10, ? ?

? ? π? π? ?- ?>sin ?- ?. ? 18? ? 10?

答案:>

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5.(教材习题改编)y=2-3cos 此时x=________.

? π? ?x+ ?的最大值为________. 4? ?

解析:当cos

? π? ?x+ ?=-1时, 4? ? ? π? ?x+ ?取得最大值5, 4? ?

函数y=2-3cos

π 3 此时x+4=π+2kπ,从而x=4π+2kπ,k∈Z. 3 答案:5 4π+2kπ,k∈Z

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1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y= Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单 调区间,求出x所在的区间.应特别注意,考虑问题应

在函数的定义域内考虑.注意区分下列两种形式的单
调增区间不同;

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(1)y=sin (2)y=sin

? π? ?2x- ?; 4? ? ?π ? ? -2x?. ?4 ?

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2.周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义

域范围内的每一个x值都满足f(x+T)=f(x),其中T是
不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x+T)= f(x),或找到哪怕只有一个x值不满足f(x+T)=f(x), 都不能说T是函数f(x)的周期.

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[精析考题] [例1] (2012· 珠海模拟)函数y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x

的定义域为________.

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[自主解答]

要使函数有意义,必须有

1 ? sin x>2, ?2sin x-1>0, ? ? ? 即? ?1-2cos x≥0 ? ?cos x≤1. 2 ? 5 ?π +2kπ<x<6π+2kπ, ?6 解得? ?π+2kπ≤x≤5π+2kπ 3 ?3

(k∈Z),

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π 5π ∴3+2kπ≤x< 6 +2kπ(k∈Z).
?π ? 5π 故所求函数的定义域为?3+2kπ, 6 +2kπ?(k∈Z). ? ?

[答案]

?π ? 5π ? +2kπ, +2kπ?(k∈Z) 6 ?3 ?

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[例2]

(2010· 江西高考)函数y=sin2x+sin x-1的值域为( 5 B.[-4,-1] 5 D.[-1,4]

)

A.[-1,1] 5 C.[-4,1]

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[自主解答]

令t=sin x,则t∈[-1,1],y=t

2

? 1?2 5 +t-1=?t+2? -4, ? ?

? 5 ? t∈[-1,1],∴y∈?-4,1?. ? ?

[答案] C

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若例2中函数变为“y=2cos2x+5sin x-4”试求值域.

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解:y=2cos x+5sin

2

? x-4=-2?sin ?

5?2 9 x-4? + . 8 ?

∴当sin x=1时,ymax=1, 当sin x=-1时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sin x-4的值域为[-9,1].

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 苏州模拟)函数y= sin x+ 16-x2的定义域为________.
?sin x≥0 ? 解析:由已知得? ?16-x2≥0 ? ?2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z ? ,∴? ?-4≤x≤4 ?

.

如图:

∴所求定义域为[-4,-π]∪[0,π].

答案: [-4,-π]∪[0,π]

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2.(2012· 湛江模拟)函数y=2sin ________.

? π? ? π π? ?2x+ ??- <x< ?的值域为 3 ?? 6 6? ?

π π π 2π 解析:∵-6<x<6,∴0<2x+3< 3 . ∴0<sin
? π? ?2x+ ?≤1. 3? ? ? π? ?2x+ ?的值域为(0,2]. 3? ?

∴y=2sin

答案: (0,2]

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[冲关锦囊] 1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,
常借助三角函数线或三角函数图象来求解.

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2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下
方法 (1)利用sin x、cos x的值域; (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步 分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值

域;
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数 在区间上的值域(最值)问题.

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[精析考题] [例3] (2011· 新课标全国卷)设函数f(x)=sin
? π? ?2x+ ?+cos 4? ? ? π? ?2x+ ?,则 4? ?

(

)

? π? π ?0, ?单调递增,其图象关于直线x= 对称 A.y=f(x)在 2? 4 ? ? π? π B.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图象关于直线x=2对称 ? ? ? π? π C.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图象关于直线x=4对称 ? ? ? π? π D.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图象关于直线x=2对称 ? ?

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[自主解答]
? π? ?2x+ ?= 2? ?

因为 y=sin

? ? π? π? ?2x+ ?+cos ?2x+ ?= 4? 4? ? ?

2sin

2cos 2x,所以 y= 2cos

? π? 2x,在?0,2?单调递减, ? ?

kπ 对称轴为 2x=kπ,即 x= 2 (k∈Z).

[答案]

D

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
π 3.(2012· 桂林模拟)若函数f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x<2, 则f(x)的最大、最小值分别为 A. 2和1 C.2和 2 B.2和1 D.2和 3 ( )

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解析:f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x= 2sin π π π 3π ∵0≤x<2,∴4≤x+4< 4 . ∴1≤f(x)≤ 2.

? π? ?x+ ?. 4? ?

答案: A

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4.(2012· 宁德质检)函数y=tan 为________.
解析:把函数y=tan

?π ? ? -x?的单调递减区间 ?3 ?

?π ? ? π? ? -x?变为y=-tan ?x- ?. 3? ?3 ? ?

π π π 由kπ-2<x-3<kπ+2,k∈Z, π 5 得kπ-6<x<kπ+6π,k∈Z.
? π 5 ? 答案:?kπ-6,kπ+6π?(k∈Z) ? ?

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5.(2012· 华南师大附中模拟)已知函数y=sin (1)函数的周期; (2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.

?π ? ? -2x?,求: ?3 ?

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解:由y=sin

?π ? ? π? ? -2x?可化为y=-sin ?2x- ?. 3? ?3 ? ?

2π 2π (1)周期T= ω = 2 =π. π π π π (2)令2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z,得kπ-12≤x≤kπ 5π +12,k∈Z.

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所以x∈R时,y=sin

?π ? ? -2x?的减区间为 ?3 ?

? π 5π? ?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12? ?

从而x∈[-π,0]时,y=sin
? ? 7π? ? π ?-π,- ?,?- ,0?. 12? ? 12 ? ?

?π ? ? -2x?的减区间为 ?3 ?

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[冲关锦囊] 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,

ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解
答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整 体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x(x∈R), y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).

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[精析考题] [例4] (2010· 湖北高考)函数f(x)= 3sin
?x π? ? - ?,x∈R的最 ?2 4 ?

小正周期为 π A.2 C.2π B.π D.4π

(

)

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[自主解答]

2π 依题意得函数f(x)的最小正周期是 1 =4π. 2

[答案] D

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[例5] (2010· 陕西高考)函数f(x)=2sin xcos x是 (

)

A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 [自主解答] T=π. [答案] C 返回 因为f(x)=2sin xcos x=sin 2x是奇函数,

[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
?π π? 6.(2012· 青岛模拟)下列函数中,周期为π,且在?4,2?上为减 ? ?

函数的是 A.y=sin C.y=sin
? π? ?2x+ ? 2? ? ? π? ?x+ ? 2? ?

( B.y=cos D.y=cos
? π? ?2x+ ? 2? ? ? π? ?x+ ? 2? ?

)

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解析:对于选项A,注意到y=sin π π 且在[4,2]上是减函数.

? π? ?2x+ ?=cos 2? ?

2x的周期为π,

答案:A

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7.(2012· 黄冈模拟)我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组 “平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行直线与两 条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段相等.已知函数f(x)= π tan(ωx+3)(ω>0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y=2 012相 交于A,B两点,且|AB|=3π,则f(π)= A.2+ 3 C. 3 B.- 3 D. 3- 2 ( )

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π 解析:设f(x)=tan(ωx+3)与x轴的两个交点为C、D,由“平 行曲线”的性质可知|CD|=3π,所以函数f(x)的最小正周期为 π 1 3π,由ω=3π可得ω=3, π π 2π 则f(π)=tan(3+3)=tan 3 =- 3.

答案:B

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[冲关锦囊] 1.判断函数的奇偶性,首先要看函数的定义域是否关于 原点对称,若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与 f(x)的关系,进而确定其奇偶性.

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2.求三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周 2π π 期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| (3)利用图象.

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答题模板(四)三角函数的图象和性 质题目规范解答

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[考题范例] (12 分) (2011· 北京高考)已知函数 f(x)=4cos xsin (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求
? π π? f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? ? π? ?x+ ?-1. 6? ?

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[规范解题] (1)因为f(x)=4cos xsin
2

? π? ?x+ ?-1=4cos 6? ?

? x? ? ?

? 3 1 ? sin x+2cos x?-1= 3 2 ? ? π? ?2x+ ?, 6? ?

sin 2x+2cos x-1= 3sin 2x+cos 2x=2sin 所以f(x)的最小正周期为π.

(5分) (6分)

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π π (2)因为-6≤x≤4, π π 2π 所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是,当2x+6=2,即x=6时,f(x)取得最大值2; π π π 当2x+6=-6,即x=-6时,f(x)取得最小值-1. (8分) (10分) (12分)

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[高手点拨] 解决这类题目的一般思路就是变换函数解析式,将其化为 y= Asin(ωx+φ)+h 的形式,一般要求 A>0,ω>0(当然这不是绝对的), 然后根据 y=Asin(ωx+φ)+h 的性质解决问题. 对于函数 y=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0)的性质,完全可以令 z=ωx+φ,与函数 y=sin z 的 性质类比得到,解决相应的问题.对于本题的失误点是不能正确利 π π π 用 2x+ 的范围,而误认为 x=- , 时取最值. 6 6 4

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