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定值问题


数学专题辅导:定值问题
研究原因:2008 年中考压轴题出现定值问题,近几年未考,是比较难的一部分内容 24.(本小题 9 分) 已知:抛物线 y=ax +bx+c(a≠0),顶点 C(1,-3) ,与 x 轴交于 A、B 两点,A (-1,0). (1)求这条抛物线的解析式. (2)如图,以 AB 为直径作圆,与抛物线交于点 D,与抛物线对称轴交于点 E,依次 连接 A、D、B、E,点 P 为线段 AB 上一个动点(P 与 A、B 两点不重合) ,过点 P 作 PM ⊥AE 于 M,PN⊥DB 于 N,请判断 不是,请说明理由. (3)在(2)的条件下,若点 S 是线段 EP 上一点,过点 S 作 FG⊥EP,FG 分别与边 AE、BE 相交于点 F,G(F 与 A、E 不重合,G 与 E、B 不重合) ,请判断 否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
y A y=x M B N C x
2

PM PN ? 是否为定值?若是,请求出此定值;若 BE AD

PA EF ? 是 PB EG

?
O

引例:如图,在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上,点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转,旋转角为 θ,当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转.旋转过程中,AB 边交直线 y=x 于点 M,BC 边交 x 轴于点 N. (1)当 A 点第一次落在直线 y=x 上时,求 A、B 两点坐标(直接写出结果) ; (2)设△MBN 的周长为 p,在旋转正方形 OABC 的过程中,p 值是否有变化?请证 明你的结论.

1

Ⅰ.专题精讲: 几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几 何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法 是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求 出定值,再给出证明.求定值是几何题中颇有难度的一类问题,由于这类问题具有 很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相 结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法. Ⅱ.典型例题剖析: ①形成图形寻“定” 等腰△ABC中,AB=AC=5,点P为BC上一动点,过P作PE∥AC交AB于E,过P作 PF∥AB交AC于F,则PE+PF是一个定值吗?若点P在BC的延长线上又如何?

②解题方法寻“定” 等腰三角形ABC中, AB=AC=5, 底边BC=6,P为BC上一动点,过P作PE⊥AB于E, PF⊥AC于F,则PE+PF还是定值吗?若是,那么是多少?若点P在BC的延长线上又 如何?

变式 1.☆已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,对角线 AC、BD 交于 O,过 AB 上任意 的一点 E 作 EM⊥AO,EN⊥BO,垂足分别是 M 和 N,求 EM+EN 的值.

2

变式2.已知P为边长为a的等边△ABC内 任意一动点, P到三边的距离分别为h1,h2, . h3,则P到三边的距离之和是否为定值?若点P为△ABC形外一点又如何?

③已知条件寻“定” 如图,直角坐标系中,点A的坐标为(1,0) ,以线段OA为边在第一象限内作等边△ AOB,点C在x的正半轴上,且OC>1,连接BC,以线段BC为边在第一象限内作等边 △CBD.当点C沿x轴向右移动时,直线DA交y轴于点P, 求点P坐标.

变式1.如图,点C是线段AB上的一个动点,△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边 三角形,DM,EN分别是△ACD和△BCE的高,点C在线段AB上沿着从点A向点B的方 向移动(不与点A,B重合),连接DE,得到四边形DMNE.这个四边形的面积变化 情况为 ④基本图形寻“定” k 1.如图,在平面直角坐标系中,A是反比例函数y= (x>0)图象上一点,作AB⊥x x 轴于B点,AC⊥y轴于C点,得正方形OBAC的面积为16. (1)求A点的坐标及反比例函数的解析式; .

3

16 (2)点P(m, )是第一象限内双曲线上一点,请问:是否存在一条过P点的直线l 3 与y轴正半轴交于D点,使得BD⊥PC?若存在,请求出直线l的解析式;若不存在, 请说明理由; (3) 连BC, 将直线BC沿x轴平移, 交y轴正半轴于D, 交x轴正半轴于E点 (如图所示) , DQ⊥y轴交双曲线于Q点,QF⊥x轴于F点,交DE于H,M是EH的中点,连接QM、 QM OM.下列结论:①QM+OM的值不变;② 的值不变.可以证明,其中有且只有一 OM 个是正确的,请你作出正确的选择并求值.

1 2.如图,已知动点P在函数y= (x>0)的图象上运动,PM⊥x轴于点M,PN⊥y 2x 轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:y=-x+1交于点E,F,则AF?BE的值 为 .

1 变式:点P是反比例函数y= 在第一象限内的图像上一点,其横坐标x0满足0<x0< 2x 1.过点P作两个坐标轴的垂线PM、PN,PM、PN分别交一次函数y=1-x的图像于点 E、F.试求∠EOF(O为原点). k 3.如图,一次函数y=ax+b与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y= 相交于C, x D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE,EF.有 下列四个结论:①△CEF与△DEF的面积相等;②△AOB∽△FOE;③△DCE≌△ CDF;④AC=BD.其中正确的结论 .

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⑤旋转变化寻“定” 1.如图,正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心, 正方形OMNP绕O点旋转,证明:无论正方形OMNP旋转到何种位置,这两个正方形 重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值.

2.把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD(如下图) .有一个含60° 角的三 角尺,使三角尺的60° 角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合. (1)将三角尺绕点A按逆时针方向旋转,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD 相交于点E,F时(如图1) ,通过观察或测量AE,AF的长度,你能得出什么结论?并 证明你的结论; (2)在旋转过程中四边形AECF的周长是否发生变化?如果没有变化,请说明理由; 如果有变化,请求出周长的最小值; (3)若将(1)中三角尺的60° 角的顶点P在AC上移动且与点A、C都不重合,三角尺 的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图3) ,那么PE、PF之间又有 什么数量关系?并证明你的结论.

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变式1:如图1,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到△ABD 和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起. (1)操作:如图2,将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点 F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合) ,FE交DA于点 G(G点不与D点重合) . 求证:BH?GD=BF2 (2)操作:如图3,△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合) , 且CF始终经过点A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG.

探究:FD+DG=

.请予证明.

变式2:△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形,其中∠ABC与∠DBE、∠A 与∠D为对应角. (1)如图1,若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形, 且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时,请直接写出线段AD与线 段EC的关系; (2) 若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形,且两个三角形旋转到如图2的位 置时,试确定线段AD与线段EC的关系,并说明理由; (3)若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形,且∠ACB=α,∠BDE=β,在绕点B 旋转的过程中,直线AD与EC夹角的度数是否改变?若不改变,直接用含α、β的式子 表示夹角的度数;若改变,请说明理由.

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变式3:如图1、2是两个相似比为1:2的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置, 小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合. (1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F, 如图4.求证:AE2+BF2=EF2; (2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于 点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不 成立,请说明理由. (3)如图6,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长 等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、 MN、 DN能否构成三角形的三边长?若能, 指出三角形的形状, 并给出证明; 若不能, 请说明理由.

图1

图2

图3

图4

图5

图6

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⑥对称图形寻“定” 设AB为⊙O的直径,动弦CD与AB成45?角,与AB交于点P点.则PC2+PD2的值.

变式:如图,在直角坐标系中,⊙O 的圆心 O 在坐标原点,直径 AB=8,点 P 是直 径 AB 上的一个动点(点 P 不与 A、B 两点重合) ,过点 P 的直线 PQ 的解析式 为 y=x+m,当直线 PQ 交 y 轴于 Q,交⊙O 于 C、D 两点时,过点 C 作 CE 垂 直于 x 轴交⊙O 于点 E,过点 E 作 EG 垂直于 y 轴,垂足为 G,过点 C 作 CF 垂 直于 y 轴,垂足为 F,连接 DE. (1)点 P 在运动过程中, sin ∠CPB= (2)当 m=3 时,试求矩形 CEGF 的面积; (3)当 P 在运动过程中,探索 PD2+PC2 的值是否会发生变化?如果发生变化,请 你说明理由;如果不发生变化,请你求出这个不变的值; (4)如果点 P 在射线 AB 上运动,当△PDE 的面积为 4 时,请你求出 CD 的长度. ;

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