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利用放缩法证明数列型不等式


利用放缩法证明数列型不等式
处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。 放缩法的本质是基于最初等的四则运算, 利用不等式的传递 性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度 很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例, 探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是

摸索的娃带来一盏明灯。

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式问题。裂项放缩法
主要有两种类型:

(1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。
例 1 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

2 3 4 1 2 设 Tn ? ,n ? 1, 2,3,? , 证明: Ti ? 。 a n ? ? 2n ?1 ? ,n ? 1, 2,3,? 。 3 3 3 2 Sn i ?1

n

?

n

证明:易得 Sn ?

2 n ?1 3 2n 3 1 1 (2 ? 1)(2n ? 1), Tn ? ? ( n ? n?1 ) , n ?1 n 3 2 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1

?T ? 2 ? ( 2 ?1 ? 2
i ?1 i i ?1 i

n

3

n

1

i ?1

1 3 1 1 1 1 1 1 )? ( 1 ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 ) ?1 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

=

3 1 1 3 ( 1 ? n ?1 ) ? 2 2 ?1 2 ?1 2
点评: 此题的关键是将

1 1 2n ? n ?1 裂项成 n ,然后再求和,即可达到目标。 n ?1 n 2 ?1 2 ?1 (2 ? 1)(2 ? 1)

(2)先放缩通项,然后将其裂成 n(n ? 3) 项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an (an?1 ?1) , bn ? an ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 和为 Sn ,

Tn ? S2n ? Sn ; (I)求证: Tn?1 ? Tn ; (II)求证:当 n ? 2 时, S2n ?

7n ? 11 。 12 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ?( ? ??? ) 证明: (I) Tn ?1 ? Tn ? n?2 n?3 2n ? 2 n ? 1 n ? 2 2n
∴ Tn?1 ? Tn .

?

1 1 1 1 ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 2)

(II)? n ? 2,?S2n ? S2n ? S2n?1 ? S2n?1 ? S2n?2 ? ?? S2 ? S1 ? S1 ? T2n?1 ? T2n?2 ? ?? T2 ? T1 ? S1

1 7 , S1 ? 1, T2 ? , 2 12 7 1 7n ? 11 ? S2n ? T2n?1 ? T2n?2 ? ?? T2 ? T1 ? S1 ? (n ? 1)T2 ? T1 ? S1 ? (n ? 1) ? ? 1 ? 12 2 12 7n ? 11 即当 n ? 2 时, S 2n ? 。 12
由(I)可知 Tn 递增,从而 T2n?1 ? T2n?2 ? ? ? T2 ,又 T1 ?
1

点评:此题(II)充分利用(I)的结论,Tn 递增,将 S2n 裂成 S2n ? S2n?1 ? S2n?1 ? S2n?2 ? ?? S 2 ? S1 ? S1 的 和,从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法:放缩法与迭乘法的结合,用放缩法构造迭乘形式,相乘时消去中间项。用于解决积式问题。
例 3 已 知 数 列

?an ?

的 首 项 为 a1 ? 3, 点 ?a n , a n ?1 ? 在 直 线 3x ? y ? 0(n ? N * ) 上 。 若

3 cn ? log3 an ? 2(n ? N * ), 证明对任意的 n ? N* ,不等式 (1 ?

1 1 1 )(1+ ) ??? (1+ ) ? 3 3n ? 1 恒成立. c1 c2 cn

证明: cn ? 3n ? 2 , (1+

1 3 3n ? 1 3 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n ? 1 ) ?( ) ? ? ? ? cn 3n ? 2 3n ? 2 3n ? 1 3n 3n ? 2

所以 [(1 ?

1 1 1 4 7 3n ? 1 1 1 1 )(1+ ) ?? ? (1+ )]3 ? ? ??? ? 3n ? 1 ,即 (1 ? )(1+ ) ??? (1+ ) ? 3 3n ? 1 。 c1 c2 cn 1 4 3n ? 2 c1 c2 cn

点评:此题是证明积式大于根式,由于左边没有根式,右边是三次根式,立方后比较更容易处理。

(1+

1 3 3n ? 1 3 ) ?( ) 可以看成是三个假分式的乘积,保持其中一项不变,另两项假分数分子分母同时加 1,加 cn 3n ? 2
3n ? 1 3 3n ? 1 3n 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 ) ? ? ? ? } 的数列在迭乘时刚好相消, ,而通项式为 { 3n ? 2 3n ? 2 3n ? 1 3n 3n ? 2 3n ? 2

2,则积变小, ( 从而达到目标。

3、迭代放缩法:通过放缩法构造递推不等关系,进行迭代,从而求解。
例 4 已知数列 {xn } 满足, x1 ?

1 2 1 1 , xn?1 ? , n ? N * ,证明: | xn ?1 ? xn |? ? ( ) n ?1 。 6 5 2 1 ? xn 1 ,结论成立。 6

证明:当 n ? 1 时, | xn ?1 ? xn |?| x2 ? x1 |? 当 n ? 2 时, 易知 0 ? xn ?1 ? 1,1 ? xn ?1 ? 2, xn ?

1 1 1 5 ? ? (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? (1 ? )(1 ? xn?1 ) ? 2 ? xn?1 ? 1 ? xn ?1 2 1 ? xn?1 2

? | xn?1 ? xn |?|

2 2 2 1 2 | xn ? xn?1 | 1 1 ? | xn ? xn ?1 |? ( ) 2 | xn ? xn ?1 |? ? ? ( ) n ?1 | x2 ? x1 |? ( ) n ?1 ? |? 5 5 6 5 1 ? xn 1 ? xn?1 (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) 5

点评:此题将目标式进行放缩得到递推不等关系,进行迭代,找到解题途径。

4、等比公式放缩法:先放缩构造成等比数列,再求和,最后二次放缩实现目标转化。
例 5 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, 且满足 a1 ? 2, 的前 n 项和为 xn ,且 f ( xn ) ?

an?1 ? 1 2an ? (n ? N ? ), 记 bn ? an 2 ? an ,数列 ?bn ? an ? 1 an?1

1 xn . 2

(I)数列 ?bn ? 和 ?an ? 的通项公式; (II)求证:

f ( xn ) n n ? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? ??? ? (n ? N ? ) . 2 f ( x2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2
2

略解: (I) bn ? 2n , an ?

1 ? 1 ? 2n ? 2 , f ( xn ) ? 2n ?1 。 2
? f ( xn ) n f ( x1 ) f ( x2 ) ? ??? ? . f ( x2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2

证明: (II)

f ( xn ) 2n ? 1 2n ? 1 1 ? n ?1 ? ? , 1 f ( xn ?1 ) 2 ? 1 2(2n ? ) 2 2

f ( xn ) 1 1 1 1 2n ? 1 1 1 ? ? n ?1 ? ? n ?1 , ? n?1 ? ? n ?1 n ?1 f ( xn?1 ) 2 ? 1 2 2(2 ?1) 2 2 ? (2 ? 2) 2 2
? f ( xn ) n f ( x1 ) f ( x2 ) 1 1 1 n 1 1 n ?1 ? ??? ? ? ( 2 ? 3 ? ? ? n?1 )= ? (1 ? n ) ? f ( x2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2



f ( xn ) n n ? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? ??? ? . 2 f ( x2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2
反思:右边是

n 1 n ?1 2n ? 1 1 ? ;左边是 ,感觉是 n 个 的和,而中间刚好是 n 项,所以利用 n ?1 不能用 2 2 2 2 ?1 2 n ?1 n 1 1 2n ? 1 ? ? ( ? f (n))( f (n) ? 0) ,试着考虑将 n?1 缩小成 ? cn ({cn } 是等比数 2 2 2 2 2 ?1

同样的方式来实现,想到

列) ,从而找到了此题的突破口。

二、放缩法的注意问题以及解题策略 1、明确放缩的方向:即是放大还是缩小,看证明的结论,是小于某项,则放大,是大于某个项,则缩小。 2、放缩的项数:有时从第一项开始,有时从第三项,有时第三项,等等,即不一定是对全部项进行放缩。 3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式:
( 1)根式的放缩:

1 1 1 ; ? ? k ? k ?1 2k k ? k ?1

( 2)在分式中放大或缩小分子或分母:

1 1 1 ? 2? (k ? 2) ; k (k ? 1) k k (k ? 1)

n n ?1 ? ; n ?1 n 2n ? 1 2n ? 假分数分子分母同时减一个正数,则变小,如 ; 2n 2n ? 1
真分数分子分母同时减一个正数,则变大; , ( 3)应用基本不等式放缩:

n n?2 n n?2 ? ?2 ? ? 2; n?2 n n?2 n

( 4)舍掉(或加进)一些项,如: | an ? a1 |?| a2 ? a1 | ? | a3 ? a2 | ??? | an ? an?1 | (n ? 2) 。

4、把握放缩的尺度:如何确定放缩的尺度,不能过当,是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。 这需要勤于观察和思考,抓住欲证命题的特点,只有这样,才能使问题迎刃而解。
再看例 2,若构造函数 f (n) ? S 2n ? (1 ? ) ? 1 ?

n 2

1 1 1 7n ? 11 ? ??? n ? (n ? N *) , 2 3 2 12
3

则 f (n ? 1) ? f (n) ? (1 ?

1 1 1 7n ? 18 1 1 1 7n ? 11 ? ? ? ? n ?1 ? ) ? (1 ? ? ? ? ? n ? ) 2 3 2 12 2 3 2 12 1 1 1 1 1 7 1 7 1 ? n ? n ?? ? n ? ? n ? 2n ? ? ? ? ? ? 0 n n 2 ?1 2 ? 2 2 ?2 2 2 ?2 12 2 12 12

前后不等号不一致,不能确定 f ( n) 的单调性,此时放缩过当,此题不适宜用单调函数放缩法。若要证明

n 1 1 1 n?3 S 2n ? (1 ? ) ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? (1 ? ? ? ? ? n ?1 ? ) 2 2 3 2 2 1 1 1 n?2 1 1 1 1 ?(1 ? ? ? ? ? n ? )? n ? n ?? ? n ? n 2 3 2 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?2 2 1 1 1 1 1 3 ? n ? 2n ? ? ? ? 0 , 所以 f (n ? 1) ? f (n) , 从而 f (n)(n ? N *) 递增,f (n) ? f (1) ? 1 ? ? ? 0 , n 2 ?2 2 2 2 2 2 n 所以 S 2n ? (1 ? ) 成立,此时用单调函数放缩法可行。同样的题干,稍有调整,我们所用的方法便有不同。 2 5、放缩法的策略以及精度的控制 1 例 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? , an ? 2 S n S n ?1 ? 0(n ? 2) 。 2
(I)数列 {

1 } 是否为等差数列?并证明你的结论; (II)求 Sn 和 an ; Sn
2 2 2 2

(III)求证: S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n ?

1 。 2

?1 (n ? 1) ? 1 ?2 简解: (1) (2) Sn ? ; , an ? ? 1 2n ?? (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)
(3)证法一:当 n ? 1 时, S1 ?
2

1 1 1 1 1 1 2 ? 成立;当 n ? 2, S n ? 2? ( ? ), 4 2 4n 4 n ?1 n

2 2 S12 ? S2 ? S32 ? ? ? Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ??? ] ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )= 4 4 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 4 4 2 2 3 n ?1 n
综上所述, S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n ?
2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ? ? 4 4 n 2 n 2
证法二: Sn ?
2

1 。 2

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 4n 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? 。 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 1 1 点评:两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将 2 放大成 2 ,需从第二项起,要分类 4n 4n ? 4n 1 1 1 1 1 2 2 讨论;而方法二是将 2 放大成 2 。明显 4n ? 1比 4n ? 4n 大很多, 2 比 2 更接近 2 。 4n 4n ? 1 4n ? 1 4n ? 4n 4n
2 2 S12 ? S2 ? S32 ? ? ? Sn ?

从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子,即放缩程度越小,精确程度越高,保留的项就越少,运算就 越简单。因此,在放缩时,要尽量缩小放缩度,提高放缩精度,避免运算上的麻烦。

4


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