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2015—2016学年高一数学第一次月考试卷(集合与函数概念)


2015—2016 学年高一数学第一次月考试卷(集合与函数概念)
一、选择题 1.集合 {a, b} 的子集有 ( A.2 个 B.3 个 ) C.4 个 D.5 个 )

2. 设集合 A ? ?x | ?4 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. (?4,3) B. (?4, 2] C. (??, 2]

D. (??,3) ) D. x ? 6 x ? 10
2

3.已知 f ?x ? 1? ? x 2 ? 4x ? 5 ,则 f ?x ? 的表达式是( A. x ? 6 x
2

B. x ? 8 x ? 7
2

C. x ? 2 x ? 3
2

4.下列对应关系: (



① A ? {1, 4,9}, B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}, f : x ? x 的平方根 ② A ? R, B ? R, f : x ? x 的倒数 ③ A ? R, B ? R, f : x ? x ? 2
2

④ A ? ??1,0,1 ?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 A.①③ B.②④ C.③④ D.②③

?? x ( x ?0 ) 1 ? 2 5. 下列四个函数: ① y ? 3? x ; ②y? 2 ; ③ y ?x ? 2 ④y?? 1 . x? 1 0 ; x ?1 ( x ?0 ) ?? ? x
其中值域为 R 的函数有 A.1 个 B.2 个 6. 已知函数 y ? ? A.-2 ( ) C.3 个 D.4 个 )

? x2 ? 1 ? ?2 x

( x ? 0) ,使函数值为 5 的 x 的值是( ( x ? 0)
5 2
C. 2 或-2 D.2 或-2 或 ? )

B.2 或 ?

5 2

7.下列函数中,定义域为[0,∞)的函数是 ( A. y ?

x

B. y ? ?2 x 2

C. y ? 3 x ? 1

D. y ? ( x ? 1)2

8.若 x, y ? R ,且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f ( x) ( ) A. f (0) ? 0 且 f ( x) 为奇函数 B. f (0) ? 0 且 f ( x) 为偶函数 C. f ( x) 为增函数且为奇函数 D. f ( x) 为增函数且为偶函数 9.下列图象中表示函数图象的是 ( y y ) y y

0

x

0

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x

0

x

0

x

(A) 10.若 x ? R, n ? N * ,规定:

(B)

(C )

(D)

H

n x

? x( x ? 1)( x ? 2) ????? ( x ? n ? 1) ,例如: (
5



H

4 ?4

? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 ,则 f ( x ) ? x ? H x ? 2 的奇偶性为
B.是偶函数不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

A.是奇函数不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 二、填空题

11.若 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?x | x ? 3a, a ? A? ,则 A ? B ?



12.已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N=



13.函数 f ? x ? ? ?

? x ? 1, x ? 1, 则 f ? f ? 4? ? ? ?? x ? 3, x ? 1,



14.某班 50 名学生参加跳远、铅球两项测试,成绩及格人数分别为 40 人和 31 人,两项测试 均不及格的人数是 4 人,两项测试都及格的有 人. 15.已知函数 f(x)满足 f(xy)=f(x)+f(y),且 f(2)=p,f(3)=q,那么 f(36)= 三、解答题 16.已知集合 A= x 1 ? x ? 7 ,B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集 R. (Ⅰ)求 A∪B,(CRA)∩B; (Ⅱ)如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围. .

?

?

17.集合 A={x|x2-ax+a2-19=0} ,B={x|x2-5x+6=0} , 2 C={x|x +2x-8=0} . (Ⅰ)若 A=B,求 a 的值; (Ⅱ)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

18.已知方程 x ? px ? q ? 0 的两个不相等实根为 ? , ? .集合 A ? {? , ? } ,
2

B ? {2,4,5,6}, C ? {1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ? ,求 p, q 的值?

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19.已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 1 . (Ⅰ)用定义证明 f ( x ) 是偶函数; (Ⅱ)用定义证明 f ( x ) 在 (??, 0] 上是减函数; (Ⅲ)作出函数 f ( x ) 的图像,并写出函数 f ( x ) 当 x ? [?1, 2] 时的最大值与最小值.

y

o x

20. 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ( a ? 0 、b ? R ) , 若 f (?1) ? 0 , 且对任意实数 x( x ? R ) 不等式 f ( x) ? 0 恒成立. (Ⅰ)求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ)当 x ?[-2,2]时, g ( x) ? f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围.

21.已知 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={ x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},且 ? (A∩B),A∩C= ? ,求 a 的值.

1 ∈A,a≠1 且 1 ∈ A. 1-a (1)若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素. 1 (2)A 能否为单元素集合?请说明理由.(3)若 a∈A,证明:1- ∈A. a
22.设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

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22.求函数 f(x)=2x2-2ax+3 在区间[-1,1]上的最小值.

23.已知定义域为 R 的函数 f(x)=

- 2 x +b
2 x+1+a

是奇函数.(1)求 a,b 的值;(2)若对任意的 t

∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

高一数学必修一单元测试题参考答案
一、 选择题 CBACB AAACB 二、 填空题 11.

?0,3?

12. {(3, -1)}

13. 0

14. 25

15.

2( p ? q)
三、 解答题 16. 解: (Ⅰ) A∪B={x|1≤x<10} (CRA)∩B={x|x<1 或 x≥7}∩{x|2<x<10} ={x|7 ≤x<10}(Ⅱ)当 a>1 时满足 A∩C≠φ 17.解: 由已知,得 B={2,3} ,C={2,-4}(Ⅰ)∵A=B 于是 2,3 是一元二次方程

?2 ? 3 ? a x2-ax+a2-19=0 的两个根,由韦达定理知: ? 2 ?2 ? 3 ? a ? 19

解之得 a=5.(Ⅱ)由 A∩B

? ? A ∩ B ? ? ,又 A∩C= ? ,得 3∈A,2 ? A,-4 ? A,由 3∈A,得 32-3a+a2-
19=0,解得 a=5 或 a=-2 ? 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3} ,与 2 ? A 矛盾; 2 当 a=-2 时,A={x|x +2x-15=0}={3,-5} ,符合题意∴a=-2. 18. 解: 由 A∩C=A 知 A ? C 又 A ? {? , ? } , 则 ? ? C ,? ? C . 而 A∩B= ? , 故 ? ? B ,? ? B
显然即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3. 不仿设 ? =1, ? =3. 对于方程 x
2

? px ? q ? 0 的两根

? , ? 应用韦达定理可得 p ? ?4, q ? 3 .19. (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 的定义域为 R ,对于任意的
x ? R ,都有 f (? x) ? 2(? x)2 ?1 ? 2x2 ?1 ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数. (Ⅱ)证明:在区


(??, 0]







x1 , x2





x1 ? x2



则 ,

有 ∵

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x12 ?1) ? (2x22 ?1) ? 2( x12 ? x22 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )
第 4 页 共 6 页

x1, x2 ? (??,0] , x1 ? x2 , ∴ x1 ? x 2? ?? x ? 1 x ?20, 即 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0



(Ⅲ)解:最大值为 f (2) ? 7 ,最小 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x) 在 (??, 0] 上是减函数. 值为 f (0) ? ?1 . 20 . 解 : ( Ⅰ ) ∵ f (?1) ? 0 ∴

a ? b ?1? 0 ∵任意实数

x 均 有 f ( x) ? 0 成 立



?a ? 0 ? 2 ?? ? b ? 4a ? 0

解 得 : a ?1 ,

b?2

( Ⅱ ) 由 ( 1 ) 知

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 ∴ g ( x) ? f ( x) ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 的 对 称 轴 为 x ?

k ?2 2

∵当

x ? [ - 2 , 2] 时, g ( x) 是单调函数∴

k ?2 k ?2 ? ?2 或 ? 2 ∴实数 k 的取值范围是 2 2


(??,?2] ? [6,??)

. 21 . 解 : ( Ⅰ ) 令 m ? n ? 1

f (1) ? f (1) ? f (1) 所 以

1 1 1 1 f (1) ? 0 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? ?1 ? f ( ) ? 0 所以 f ( ) ? 1 ( Ⅱ ) 证明:任取 2 2 2 2

0 ? x1 ? x2 , 则

x2 x ? 1 因 为 当 x ? 1 时 , f ( x) ? 0 , 所 以 f ( 2 ) ? 0 所 以 x1 x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ?

x2 x ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) 所以 f ( x) 在 ?0,??? 上是减函数.三、解答 x1 x1

题 17.∵B={x|x2-5x+6=0}={2,3},C={x|x2+2x-8=0}={-4,2}, 2 2 ∴由 A∩C= ? 知,- 4 A ,2 ∈ ∈ A;由 ? (A∩B)知,3∈A.∴3 -3a+a -19=0,解得 a=5 或 a=-2.当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}=B,与 A∩C= ? 矛盾.当 a=-2 时, 经检验,符合题意. 18.参考答案:(1)∵ 2∈A,∴

1 1 1 1 1 = =-1∈A;∴ = = ∈A; ∴ 1-a 1-2 1-a 1+1 2

1 1 1 = =2∈A.因此,A 中至少还有两个元素:-1 和 .(2)如果 A 为单元素集合, 2 1-a 1- 1 2

则 a=

1 ,整理得 a2-a+1=0,该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能是单元素 1-a

集.(3)证明: a∈A?

1-a 1 1 1 ∈A? ∈A? ∈A,即 1- ∈A.19.参考答 1 a 1-a 1-a+1 1- 1-a

a2 a? a ? 案: f(x)=2 ? x- ? +3- .(1)当 <-1,即 a<-2 时,f(x)的最小值为 f(-1)=5 2 2 2 ? ?

2

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+2a;(2)当-1≤

a2 a ?a? ≤1,即-2≤a≤2 时,f(x)的最小值为 f ? ? =3- ; 2 2 ?2?

(3)当

a >1,即 a>2 时,f(x)的最小值为 f(1)=5-2a.综上可知,f(x)的最小值为 2

?5+2a, a<-2, ? ? - 1 + b ? a2 20. 参考答案: (1)∵函数 f(x)为 R 上的奇函数,∴ f(0)=0, 即 -2 ≤ a ≤ 2, ?3- , 2 2+a ? ?5-2a, a>2. ? ?

=0 ,解得 b=1, a≠-2,从而有 f(x)=

-2 x+1 2
x+1

+a

.又由 f(1)=- f(- 1)知

-2+1 =- 4+a

1 - +1 -2 x+1 1 1 2 ,解得 a=2.(2)先讨论函数 f(x)= x+1 =- + x 的增减性.任取 x1, 1+a 2 2 +2 2 +1

x2∈R,且 x1<x2,f(x2)-f(x1)=

1 2 + 1
x2



1 2 + 1
x1



2 x1 -2 x2 (2 +1)(2 +1)
-2 x+1
x2 x1

,∵指数函数 2x 为增函

数, ∴ 2 x1 -2 x2 <0, ∴ f(x2)<f(x1), ∴函数 f(x)=

2

x+1

+2

是定义域 R 上的减函数. 由 f(t2

-2t)+f(2t2-k)<0 得 f(t2-2t)<-f(2t2-k),∴ f(t2-2t)<f(-2t2+k),∴ t2-2t>-2t2

1 1 1 1 +k ( ? ).由( ? )式得 k<3t2-2t. 又 3t2-2t=3(t- )2- ≥- ,∴只需 k<- 3 3 3 3

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