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【聚焦典型题】(人教B版)《平面向量基本定理及坐标表示》


双 向 固 基 础 ?点 面 讲 考 向 ?多 元 提 能 力 ?教 师 备 用 题
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第26讲 平面向量基本定理及 坐标表示

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考试大纲
1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算. 4.理解用坐

标表示平面向量共线的条件.

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第26讲
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平面向量基本定理及坐标表示

双 向 固 基 础

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如果?1,e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对 e —— 知 识 梳 理 —— 这一平面内的任一向量 a,________一对实数 λ1,λ2,使 有且只有 一、平面向量的基本定理 a=λ1e1+λ2e2 _____________.其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这 基底 一平面内所有向量的一组________. 注意:e1,e2 是同一平面内的一组基底,如果有且只 有一对实数(λ1,λ2),使 a=λ1e1+λ2e2,则 a,e1,e2 共面.

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第26讲
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平面向量基本定理及坐标表示

双 二、两个向量的夹角 向 非零 固 1.定义:已知两个________向量a与b,作=a,=b, 基 则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 础
2.a与b的几种特殊的位置关系如下表:

位置 同向 反向 关 0° 180° 系 夹角θ ________ ________ 图形

垂直
90°

________

三、平面向量的正交分解 互相垂直 把一个向量分解为两个________的向量,叫做把向量正 交分解.
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平面向量基本定理及坐标表示

双 四、平面向量的坐标表示 向 固 1.平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别 基取与x轴、y轴方向________的两个________向量i,j作为 相同 单位 础基底.由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a
可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因 (x,y) a=(x,y) 此把________叫做向量a的坐标,记作________,其中x叫 做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标. 注意:两个向量相等的充要条件是这两个向量在________ y轴 x轴 与________上的坐标分别相等.

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平面向量基本定理及坐标表示

双 2.平面向量的坐标运算 向 固 基 向量 a b a+b 础
坐标 (x1, y1) (x2, y2)

a-b

λa
(λx1,λy1)

(x1+x2, (x1-x2, y______ y______ 1-y2) 1+y2)

__

__

______ __

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平面向量基本定理及坐标表示

双 向 3.向量的坐标求法 固 → (x2-x1,y2-y1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=________________,即 基 终点 础一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________坐标减
始点 去________的坐标. 注意:向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点 的具体位置无关,只与其相对位置有关系. 4.向量平行的充要条件的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 a≠0,则 x1y2-x2y1=0 向量 a 与 b 共线?b=λa?______________.

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平面向量基本定理及坐标表示

双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.向量的线性表示 (1) 平 面 内 任 意 两 个 向 量 都 可 以 作 为 一 组 基 底.( ) (2)a,b 不共线,若 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2, μ1=μ2.( )

[答案] (1)×

(2)√

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平面向量基本定理及坐标表示

双 向 [解析] (1)平面内任意两个不共线的向量可以作为一组基 固 底;(2)根据平面向量基本定理,用一组基底表示一个向量,基底 基 的系数是唯一的. 础

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平面向量基本定理及坐标表示

双 向 固 基 础

2.向量的坐标运算 1 (1)已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a 2 3 - b=(-1,2).( ) 2 (2)已知向量 a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),则 c =-a+2b.( ) ? 1 ? (3)a=(1,2),b=?-2,-1?,则 a,b 能作为平面向 ? ? 量的一组基底.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×

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平面向量基本定理及坐标表示

双 ?1 1? ?3 3? 1 3 1 3 向 [解析] (1) a- b= (1, 1)- (1, -1)=?2,2?-?2,-2? 2 2 2 2 固 ? ? ? ? 基 ?1 3 1 3? 础 =?2-2,2+2?=(-1,2);(2)设 c=λa+μb,则(3,4)=λ (1, ? ?
2)+μ(2,3)=(λ +2μ,2λ+3μ), ?λ+2μ=3, ?λ=-1, ? ? ∴? 解得? ?2λ+3μ=4, ?μ=2. ? ? 1 (3)由于 1×(-1)-2×- =0,即 a,b 共线,所以不能 2 作为平面向量的一组基底.

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平面向量基本定理及坐标表示

考点统计
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点 面 讲 1.平面向量基本定 考 向 理的应用

题型 (考 题型示例(难度) 频) 0

2012年广东 2.平面向量的坐标 选择(2) T3(A), 运算 解答(2) 2012年安徽 T8(B) 3.平面向量共线的 0 返回目录 坐标表示的应用

第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

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点 面 讲 考 ? 向
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说明:A表示简单题,B表示中等题, C表示难题,考频分析2012年课标地区真 题卷情况.
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平面向量基本定理及坐标表示

例 1 (1)[2012· 山西五校联考] 在平行四边形 ABCD 中, 1→ → 1 → 探究点一 → ,CE 与 BF 相交于 G 点.若AB=a,AD → ? ? = AB,AF= AD平面向量基本定理的应用 → ? 点 AE 3 4 面 → 讲 =b,则AG=( ) 考 2 1 2 3 3 1 4 2 向 A.7a+7b B.7a+7b C.7a+7b D.7a+7b (2)[2012· 大连模拟] 在△ABC 中,过中线 AD 的中点 E → → 任作一条直线分别交 AB,AC 于 M,N 两点,若AM=xAB, → → AN=yAC,则 4x+y 的最小值为( ) 9 9 5 7 A. B. C. D. 4 5 3 4
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平面向量基本定理及坐标表示

(1)分析:依据两组三点共线各自性质; → → 推理:分别求出向量AG,令其相等;结论:得出向量AG;
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[思考流程]

(2)分析:依据两组三点共线各自性质;推理:分别求 点 面 出向量AE并令其相等得到 x,y;结论:得到 4x+y 的最 → 讲 考 小值. 向
[答案] (1)C (2)A

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平面向量基本定理及坐标表示

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点 面 讲 考 向

[解析] (1)∵B,G,F 三点共线, → =λAF+(1-λ)AB=1λb+(1-λ)a. → → ∴AG 4 ∵E,G,C 三点共线, → =μAE+(1-μ)AC=1μa+(1-μ)(a+b). → → ∴AG 3 ?λ ?4=1-μ, 由平面向量基本定理得,? ?1-λ=1-2μ, 3 ? ? 4 ?λ=7, → =3a+1b. ∴? ∴AG 7 7 6 ?μ= , 7 ?
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平面向量基本定理及坐标表示

→ 1 → → → 1→ (2)如图所示,由题意知AD=2(AB+AC),AE=2AD,
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点 面 讲 考 向

→ AE → → → 又 M, N 三点共线,→ =λNM,→ -AN=λ(AM-AN), E, NE → → → 所以AE=λAM+(1-λ)AN(其中 0<λ<1), → → → → 又AM=xAB,AN=yAC, 1 → → → → 所以 (AB+AC)=λxAB+(1-λ)yAC, 4 ?4λx=1, ? 1 1 ? 因此有 解得 x=4λ,y= , ?4(1-λ)y=1, 4(1-λ) ? 1 1 1 t 令 λ =t,则 t>1,则 4x+y= λ + =t+ 4(1-λ) 4(t-1) 1 5 9 =(t-1)+ + ≥ , 4(t-1) 4 4 3 2 当且仅当 t=2,即 λ=3时取得等号.
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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

[点评] 解决此类问题的关键在于以一 面 组不共线的向量为基底,通过向量的加、减、 讲 考 数乘,把其他相关的向量用这一组基底表示 向 出来,再利用向量相等建立方程组,从而解 出相应的值.通过下面变式题可以发现,只 要是平面内不共线的两个向量都可以作为基 底,平面内的向量都可以用这一组基底表 示.
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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

归纳总结 平面向量基本定理的作用. 面 讲 ①平面向量基本定理是建立向量坐标的基 ? 考 础,它保证了向量与坐标是一一对应的,即a 向 与(x,y)一一对应,向量一一对应点A(x,y). ? ②用向量证明几何问题的一般思路:先选 择一组基底,并运用平面向量基本定理将条 件和结论表示成向量的形式,再通过向量的 运算来证明.
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平面向量基本定理及坐标表示

如图 4-26-1 所示,设 P,Q 为△ABC 内 → =2AB+1AC,AQ=2AB+1AC,则△ABP 的两点,且AP 5 → 5 → → 3 → 4 → ?? 的面积与△ABQ 的面积之比为________. 点

变式题

面 讲 考 向

图 4-26-1

[答案]

4 5

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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

[解析] 因三角形的面积与底和高有关,所以可利用“同 底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积 → → → 比. 题设条件中用AB和AC给出了点 P 和点 Q, 故可利用AP和

→ 面 AQ构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决. 讲 → =2AB,AN=1AC,则由平行四边形法 → → → 根据题意,设AM 考 5 5 向

→ → → 则,得AP=AM+AN,且四边形 AMPN 为平行四边形,于是 → S△ABP |AN| 1 S△ABQ 1 S△ABP NP∥AB, 所以 = = , 同理, 可得 = .故 = S△ABC |AC| 5 → S△ABC 4 S△ABQ 4 5.

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平面向量基本定理及坐标表示

例 2 (1)[2013· 郑州模拟] 已知向量 a=(1,2),b= 探究点二 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( ) ?? ? 点 (1,0),c=(3,4).若 平面向量的坐标运算 1 1 面 A. B. C.1 D.2 讲 4 2

考 向

(2)[2012· 重庆卷] 设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b= (1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10

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平面向量基本定理及坐标表示

[思考流程] (1)分析:依据 a+λb 的坐标表示;推理:利用 平行向量坐标的关系列出关于 λ 的方程;结论:得出 λ 的值. (2)分析:依据向量的位置关系;推理:列出向量的坐标关系 ?点 得出 a,b 向量坐标;结论:得出向量 a+b 的模.

面 讲 考 向

[答案]

(1)B

(2)B

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平面向量基本定理及坐标表示

[解析] (1)a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),由(a+λb)∥c 1 得,4(1+λ)-3×2=0,解得 λ=2.故选 B. (2)因为 a⊥c, 所以 a· c=0, 2x-4=0, 即 解得 x=2, b∥c, 由 ?点 面 得-4=2y,解得 y=-2,所以 a=(2,1),b=(1,-2),所以 a 讲 +b=(3,-1),所以|a+b|= 32+(-1)2= 10. 考



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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

[点评] 利用向量的坐标运算解题,主要 面 是利用加、减、数乘运算法则进行,然后根 讲 考 据“相等的向量坐标相同”这一原则,通过 向 方程(组)进行求解.若已知有向线段两端点的 坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中 要注意方程思想的运用及正确使用运算法 则.利用向量的坐标运算,建立了向量与实 数的联系,构造函数和方程,利用函数与方 程的思想解题.
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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

归纳总结 向量的坐标表示把点与数联 面 系起来,实际上是向量的代数表示,即引入 讲 考 平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成 向 为数与形结合的载体,可以使很多几何问题 的解答转化为我们熟知的数量运算.

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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

面 讲 ? 考 向

变式题 (1)已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m), 且 a∥b,则 2a+3b=( ) A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10) (2)[2013· 太原模拟] 已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1), m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量 集合,则 P∩Q=( ) A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)}

[答案]

(1)C

(2)A
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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

面 讲 ? 考 向

[解析] (1)由 a=(1, b=(-2, 且 a∥b, 1×m 2), m), 得 =2×(-2),m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b =2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8). (2)根据题意知,a=(1,0)+m(0,1)=(1,m),b=(1, 1)+n(-1,1)=(1-n,1+n), ?1=1-n, ?n=0, ? ? ? 令 a=b 得, 解得? ∴a=(1,1)= ?m=1+n, ?m=1, ? ? b. ∴P∩Q={(1,1)}.

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平面向量基本定理及坐标表示

例 3 (1) 已 知 a = (2 , - 3) , b = (sinα , cos2α) , ? π π? ) ?? ? ?探究点三a∥b,则 tanα=( 点 α∈?-2,2?,若 平面向量共线的坐标表示的 ? 面 应用 A.- 3 B. 3 讲 3 2 考 ? 向 2 2 C.3 D.-3 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC.已知点 A(-2,0),B(6,8),C(8,6), 则 D 点的坐标为________.

[答案] (1)A (2)(0,-2)
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平面向量基本定理及坐标表示

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点 面 讲 考 向

sinα cos2α [解析] (1)∵a∥b, ∴ 2 = , ∴2cos2α =-3sinα , -3 ∴2sin2α -3sinα -2=0, 1 ∵|sinα |≤1,∴sinα =-2, ? π π? 3 3 ? ? ∵α ∈?- , ?,∴cosα = ,∴tanα =- . 2 3 2 2? ? (2)由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行,可以判断 → → 该四边形 ABCD 是平行四边形.设 D(x,y),则有AB=DC, 即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得(x,y)=(0,-2).

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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

[点评] 向量共线(平行)的坐标表示实质 面 是把向量问题转化为代数运算,它提供了通 讲 考 过坐标公式建立参数的方程(组),进而解方程 向 (组)求出参数的值,来解决向量共线(平行)的 方法,也为点共线、线平行问题的处理提供 了简易的方法,体现方程的思想在向量中的 运用.

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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

面 讲 考 向

归纳总结 向量共线的充要条件的两种形式. ①a∥b?b=λa(a≠0). ②a∥b?x1y2-x2y1=0(其中 a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 向量共线定理常用于解决交点坐标问题和三点共线问 题.

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平面向量基本定理及坐标表示

变式题 [2012· 保定模拟] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b- a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为________.
?? 点

面 讲 ? 考 向

[答案] 60°

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平面向量基本定理及坐标表示

?? 点

[解析] 由 p∥q 得(a+c)(c-a)=b(b-a), 整理得 b2+a2-c2=ab, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cosC= = ,∴C=60°. 2ab 2

面 讲 ? 考 向

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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

例 4 2012· 哈尔滨模拟] 已知⊙C:(x+2)2+(y-1)2 ?? =9 及定点 A(-1,1),M 是⊙C 上任意一点,点 N 在射 点 ? 探究点四 平面向量坐标运算的简单应 面线 AM 上,且|AM|=2|MN|,动点 N 的轨迹为 C,求曲线 C 用 讲的方程.

考 向

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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

条件:如题;目标:得曲线 C 的方程; → → 方法:设出 N 点坐标,根据AM和MN的向量关系列出坐标 [思考流程]
?

点 关系. 面 讲 考 向

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平面向量基本定理及坐标表示

解:设 N(x,y),M(x0,y0),∵N 在射线 AM 上,且|AM| → → → → =2|MN|,∴AM=2MN或AM=-2MN, → → AM=(x0+1,y0-1),MN=(x-x0,y-y0), ?x0+1=2(x-x0), ?x0+1=-2(x-x0), ?点 ? ? 面 ∴? 或? ?y0-1=2(y-y0) ?y0-1=-2(y-y0), ? ? 讲 考 1 ? 向 ?x0=3(2x-1), ?x0=2x+1, ? ∴? 或? ? ?y0=1(2y+1), ?y0=2y-1, 3 ? 代入圆的方程得(2x+5)2+(2y-2)2=81 或(2x+3)2+(2y -2)2=9.

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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

归纳总结 坐标问题是高考中的一种常见题型,一 般情况下,题目难度不大,在复习时,首先要明晰向量平 行与垂直的两个充要条件,然后由题设条件建立相关参数 ?点 面的方程组求解即可.

讲 考 向

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平面向量基本定理及坐标表示

设△ABC 的内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, ? 3? 已知 c=2b,向量 m=?sinA,2?,n=(1,sinA+ 3cosA),且 m ? ? ? 点 与 n 共线. 面 (1)求角 A 的大小; 讲 a 考 (2)求c 的值. 向

变式题

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平面向量基本定理及坐标表示

3 解 : (1)∵m∥n , ∴sinA(sinA + 3 cosA) - = 0 , 即 2 ? π? ? sin?2A- ?=1. ?点 ? 6? ? 面 π ? π 11π ? ? 讲 ∵A∈(0,π ),∴2A- 6 ∈?- , . ? 6 6 ? ? ? 考 向 π π π ∴2A- 6 = 2 .∴A= 3 . π (2)由余弦定理及 c=2b,A= 得, 3 ? c ?2 π c 2 ? ? +c2-2· · a=2 2 ccos 3 , ? ? 3 2 3 a 2 a =4c ,∴c = 2 .
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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

思想方法

10

向量坐标化在解题中的应用

例 [2012· 青岛模拟] 如图 4-26-2,在四边形 ABCD 中, AB=BC=CD=1, 且∠B=90° ∠BCD=135° , , → → → 记向量AB=a,AC=b,则AD=( )
? 2? ? A. 2a-?1+ ?b 2? ? ? ? 2? ? B.- 2a+?1+ ?b 2? ? ? ? 2? ? C.- 2a+?1- ?b 2? ? ? ? 2? ? D. 2a+?1- ?b 2? ? ?

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多 元 提 能 力

图4-26-2
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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[分析] 根据图形特征建立坐标系,把向量坐标化后, 根据已知向量等式即可得出结果.

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多 元 提 能 力
图 4-26-3
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平面向量基本定理及坐标表示

[解析] B 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形,由 ∠BCD=135° ,得∠ACD=135° -45° =90° B 为原点,AB 所 .以 在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴建立如图 4-26-3 所示的 直角坐标系,并作 DE⊥y 轴于点 E,则△CDE 也为等腰直角三 2 角形,由 CD=1,得 CE=ED= 2 ,则 A(1,0),B(0,0),C(0, ? 2 2? ? → → → 1),D ? ,1+ ? ,∴AB =(-1,0),AC =(-1,1),AD = ? 2? ? 2 ?多 ? 2 2? ? 元 -1,1+ ?,令AD=λAB+μAC, → → → ? 2 ? 2? ? 提 能 2 ? ?-λ-μ= 2 -1, ?λ=- 2, 力 ? 则有? 得? 2 ?μ=1+ 2 , ?μ=1+ 2, ? 2 ? ? 2? ? → ∴AD=- 2a+?1+ ?b. 2? ? ?
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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

(1)[2012· 江西卷] 在直角三角形 ABC 中,点 D |PA|2+|PB|2 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 |PC|2 = ( ) A.2 B.4 C.5 D.10 → → (2)已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在 x 轴上取一点 P, → BP → 使AP· 有最小值,则 P 点的坐标是________.

自我检评

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多 元 提 能 力

[答案]

(1)D

(2)(3,0)

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平面向量基本定理及坐标表示

[解析] (1)考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的数量 积及其应用,考查化归转化能力.解题的突破口是建立平面直角 坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解,或利用平面向量基本 定理,将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解. → =1(CA+CB).∵P 是 CD 中 方法一:∵D 是 AB 中点,∴CD 2 → → → =1(CA+CB),∴AP=CP-CA=-3CA+1CB,BP=CP → → → → → → → → → 点,∴CP 4 4 4 ? 多 → 1→ 3→ 元-CB=4CA-4CB. 提 → · =0,∴AP2= 9 CA2+ 1 CB2,BP2= 1 CA2+ 9 CB2, → → → → → → → 能 ∵CA CB 16 16 16 16 力 1 → 1 → → CP2= CA2+ CB2, 16 16 |PA|2+|PB|2 ∴ |PC|2 =10.
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平面向量基本定理及坐标表示

→ → → → → → 方法二:∵D 是 AB 中点,∴PA+PB=2PD,PA-PB=BA, → → PB → → → PA → PB → → → ∴2(|PA|2 ∴PA2+2PA· +PB2=4PD2,→ 2-2PA· +PB2=BA2, +|PB|2)=4|PD|2+|AB|2.∵D 是 AB 的中点,∴2|CD|=|AB|.∵P 是 |PA|2+|PB|2 CD 中点,∴|CD|=2|PC|,∴|PA|2+|PB|2=10|CP|2,故 |PC|2 =10. 方法三:以 C 为坐标原点,AC,BC 所在的直线为 x 轴,y ?a b? ?a b? ?多 轴, 设 0), b), P 元 建立平面直角坐标系, A(a, B(0, 则 D?2,2?, ?4,4?, ? ? ? ? 2 2 2 2 提 2 a +b 9a2 b2 9b2 a2 10(a +b ) 2 2 能 +|PB| = 16 +16+ 16 +16= |PA| ,而|PC| = , 16 16 力 |PA|2+|PB|2 故 |PC|2 =10.

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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

(2)设 P 点坐标为(x,0), → → 则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1). → BP → AP· =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1) =x2-6x+10=(x-3)2+1. → BP → 当 x=3 时,AP· 有最小值 1. 此时点 P 坐标为(3,0).
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多 元 提 能 力

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平面向量基本定理及坐标表示

【备选理由】 例1考查平面向量基本定理,用一组基底表示其他向 量;例2考查向量的坐标运算;例3是一道提高题,内容是 关于平面向量基本定理的应用.

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教 师 备 用 题
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平面向量基本定理及坐标表示

如图,在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA, 1 → 在 OB 上取点 D, DB=3OB, 与 OA 交于点 E.设OA= 使 DC → → → a,OB=b,用 a,b 表示向量OC,DC.

例1

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教 师 备 用 题
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平面向量基本定理及坐标表示

解:因为 A 是 BC 的中点, → =1(OB+OC),即OC=2OA-OB=2a-b. → → → → → 所以OA 2 → =OC-OD=OC-2OB, DC → → → 3 → 2 5 =2a-b-3b=2a-3b.

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教 师 备 用 题
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平面向量基本定理及坐标表示

例 2 已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M, N 是 AB, 的中点, 是 BC 的中点, AC D MN 与 AD 交于点 F, → 求DF.

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教 师 备 用 题
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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

解:因为 A(7,8),B(3,5),C(4,3), → → 所以AB=(-4,-3),AC=(-3,-5). → =1(AB+AC)=(-3.5,- → → 又因为 D 是 BC 的中点,有AD 2 4),而 M,N 分别为 AB,AC 的中点,所以 F 为 AD 的中点, → =1DA=-1AD=(1.75,2). → → 故有DF 2 2

?

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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

已知 G 是△ABC 的重心,直线 EF 过点 G 且与边 → =αAB,AF=βAC,则1+1的 → → → AB,AC 分别交于点 E,F,AE α β 值为________.
[答案] 3

例3

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第26讲

平面向量基本定理及坐标表示

[解析] 连接 AG 并延长交 BC 于 D,∵G 是△ABC 的重 → 2→ 1 → → 心,∴AG= AD= (AB+AC). 3 3 → → → → → → 设EG=λGF,∴AG-AE=λ(AF-AG), 1 → λ → → ∴AG= AE+ AF, 1+λ 1+λ 1→ 1→ α → λβ → → → ∴ AB+ AC= AB+ AC,∵AB与AC不共线, 3 3 1+λ 1+λ 1 3 ? α ?1 ? ? = = , α , 1+λ ?1+λ 3 1 1 ? ? ∴ ∴? ∴α+β=3. 1 1 3λ λβ ? = , ?β= , ?1+λ 3 1+λ ? ? ?教

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