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3.数列中已知前n项和Sn求an


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已知数列 {an } 前 n 项和 Sn 求 an
一、数列 {an } 前 n 项和 Sn 求 an 理论知识点:
S1 an = Sn ? Sn?1 (n ? 2)
注意:数列 {an } 的通项公式是否需要分段表示? ( n ?1)

二、典例剖析
(一)已知 Sn 与 n 的关系时

,求 an 1、已知数列 {an } 的前项和为 Sn ,且 Sn ? log 1 ( n ?1) ,则 a10 ? a11 ? ? ? a99 ?
2



2、已知数列 {an } 的前项和为 Sn ,且 log 2 ( Sn ?1) ? n ?1 ,求 an 。

3. (湖北卷) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=3x-2 的图像上。 n

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立 20 a n a n ?1

的最小正整数 m。

4. (2009 浙江)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

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5.(2009 山东卷)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn) ,均在 函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)(文)当 b=2 时,记

?

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

(二)已知 Sn 与 an 的关系时,求 an 1. (福建)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn (n ? N*) 。 (1)求数列 {an } 的通 项 an ; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn 。

2. (四川卷)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 等差数列 ?bn ? 的各项为正, 其前 n 项和为 Tn , 且 T3 ? 15 , 又 a1 ? b b, 1 ,a 2 ?2 3a ? 3 b 成 等比数列,求 Tn

3.(上海卷)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? Sn ? 4096 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 ?Tn ? ,从第几项起 Tn ? ?509 ?

4.在正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n , an ? 2 Sn ? 1 , 求证:数列 {an } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式

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2 2 5.(湖南卷)设 Sn 是数列 {an } ( n ? N * )的前 n 项和, a1 ? a ,且 Sn ? 3n2an ? Sn ?1 ,

3, 4, ?. an ? 0 , n ? 2, (I)证明:数列 {an? 2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列;
(II)试找出一个奇数 a ,使以 18 为首项,7 为公比的等比数列 {bn } ( n ? N * )中的所有 项都是数列 {an } 中的项,并指出 bn 是数列 {an } 中的第几项.

6. ( 重 庆 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn > 1 , 且

6Sn ? (an ? 1 ) a (n ? 2 ) n,?

N.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

( Ⅱ ) 设 数 列 { bn } 满 足 a n 2 n ? 1 ? 1, 并 记 Tn 为 { bn } 的 前 n 项 和 , 求 证 :

?

?

3Tn ? 1 >log2 (an ? 3), n ? N .

7. (陕西卷) 已知正项数列{an}, 其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列, 求数列{an}的通项 an .

8.(上海卷)已知有穷数列 { an } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该数列的前 n 项 和为 S n ,且 a n ?1 = (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { an } 是等比数列; (2)若 a =2
2 2 k ?1

,数列 { bn } 满足 bn =

1 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) ,求数 n
3 3 3 3 |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - | 2 2 2 2

列 { bn } 的通项公式; (3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - ≤4,求 k 的值.

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9. (全国卷 I)设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

n 2n 3 (Ⅱ)设 Tn ? , n ? 1, 2,3,? ? ?,证明: ? Ti ? 2 Sn i ?1

10. (安徽卷)数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

(Ⅰ)写出 Sn 与 S n ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 Sn 关于 n 的表达式; (Ⅱ)设 f n ? x ? ?

1 , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2

S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n

11. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 a1 ? 1, an ? 2Sn ? Sn?1 ? 0(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的 通项 an ;

2S n 1 12. 已知数列 ?an ? 中,an ? 0( n ? 1), a1 ? , 前 n 项和 Sn 满足:an ? , 求数列 ?an ? 2 2Sn ? 1 的通项 an ;

2

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【小结】已知数列 {an } 前 n 项和 Sn 求 an
1、当 Sn 与 an 的关系比较直接时,消 Sn 求 an ; 2、当 Sn 与 an 的关系不直接时, ①转化为 Sn 与 an 较直接的关系,消 Sn 求 an ; ②不能转化为 Sn 与 an 较直接的关系时,消 an 求 Sn ,再求 an 。

三、强化训练
20.(2009 广东) 已知点(1,

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 3

项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + Sn?1 (n ? 2). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

( 19 ) ( 2009 安徽)已知数列 { an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 2n ,数列 { bn } 的前 n 项和
2

Tn ? 2 ? bn
(1)求数列{ an }与{ bn }的通项公式;
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2 (2)设 cn ? an ? bn ,证明:当且仅当 n≥3 时, cn ?1 < cn

n ?1 17.(2009 湖北卷理)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明。 n 2n ? 1

18. (2009 四川卷文) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 对任意的正整数 n , 都有 an ? 5Sn ? 1 成 立,记 bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式;
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(II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由;
* (III) 记 cn ? b2n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 n1 ? (n ? N ) ,

有 Tn ?

3 ; 2

19.(2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

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